Okul geometri kursu iki büyük bölüme ayrılmıştır: planimetri ve katı geometri. Stereometri, mekansal figürleri ve özelliklerini inceler. Bu yazıda düz prizmanın ne olduğuna bakacağız ve köşegen uzunlukları, hacim ve yüzey alanı gibi özelliklerini açıklayan formüller vereceğiz.
Prizma nedir?
Okul çocuklarından bir prizmanın tanımını söylemeleri istendiğinde, bu şeklin, kenarları paralelkenarlarla birbirine bağlanan iki özdeş paralel çokgen olduğu yanıtını verirler. Bu tanım mümkün olduğu kadar geneldir, çünkü çokgenlerin şekline, paralel düzlemlerde karşılıklı düzenlenmesine ilişkin koşullar getirmez. Ek olarak, sınıfı da bir kare, bir eşkenar dörtgen ve bir dikdörtgen içeren paralel paralelkenarların varlığını ima eder. Aşağıda dörtgen prizmanın ne olduğunu görebilirsiniz.
Bir prizmanın n + 2'den oluşan bir çokyüzlü (çokyüzlü) olduğunu görüyoruz.kenarlar, 2 × n köşe ve 3 × n kenar, burada n çokgenlerden birinin kenar (köşe) sayısıdır.
Her iki çokgene de genellikle şeklin tabanı denir, diğer yüzler prizmanın kenarlarıdır.
Düz prizma kavramı
Farklı prizmalar vardır. Böylece düzgün ve düzensiz şekiller hakkında, üçgen, beşgen ve diğer prizmalar hakkında konuşurlar, dışbükey ve içbükey şekiller vardır ve son olarak eğimli ve düzdürler. İkincisi hakkında daha ayrıntılı konuşalım.
Bir dik prizma, tüm yan dörtgenleri dik açılara sahip, incelenen çokyüzlüler sınıfının böyle bir figürüdür. Bu tür dörtgenlerin yalnızca iki türü vardır - bir dikdörtgen ve bir kare.
Şeklin dikkate alınan formunun önemli bir özelliği vardır: düz bir prizmanın yüksekliği, yan kenarının uzunluğuna eşittir. Şeklin tüm yan kenarlarının birbirine eşit olduğuna dikkat edin. Yan yüzlere gelince, genel durumda birbirlerine eşit değildirler. Eşitlikleri, prizmanın düz olmasının yanı sıra doğru olması durumunda da mümkündür.
Aşağıdaki şekil beşgen tabanlı düz bir şekli göstermektedir. Tüm yan yüzlerinin dikdörtgen olduğu görülebilir.
Prizma köşegenleri ve doğrusal parametreleri
Herhangi bir prizmanın ana doğrusal özellikleri, yüksekliği h ve tabanının kenarlarının uzunluklarıdır ai, burada i=1, …, n. Taban düzgün bir çokgen ise, özelliklerini tanımlamak için bir kenarının a uzunluğunu bilmek yeterlidir. İşaretli lineer parametreleri bilmek, bize açık bir şekildebir şeklin hacmi veya yüzeyi gibi özelliklerini tanımlayın.
Düz bir prizmanın köşegenleri, bitişik olmayan herhangi iki köşeyi birbirine bağlayan parçalardır. Bu tür köşegenler üç tipte olabilir:
- taban düzlemlerinde uzanmak;
- yan dikdörtgenlerin düzlemlerinde bulunur;
- hacime ait rakamlar.
Bu köşegenlerin tabana göre uzunlukları n-gon tipine göre belirlenmelidir.
Yan dikdörtgenlerin köşegenleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
d1i=√(ai2+ h2).
Hacim köşegenlerini belirlemek için, karşılık gelen taban köşegeninin uzunluğunun ve yüksekliğinin değerini bilmeniz gerekir. Tabanın bazı köşegenleri d0i harfiyle gösteriliyorsa, d2i hacim köşegeni şu şekilde hesaplanır:
d2i=√(d0i2+ h2).
Örneğin, düzgün bir dörtgen prizma olması durumunda, hacim köşegeninin uzunluğu:
d2=√(2 × a2+ h2).
Bir dik üçgen prizmanın, adlandırılmış üç köşegen türünden yalnızca birine sahip olduğuna dikkat edin: yan köşegen.
Çalışılan şekil sınıfının yüzeyi
Yüzey alanı, bir şeklin tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır. Tüm yüzleri görselleştirmek için prizmanın bir taramasını yapmalısınız. Örnek olarak, beşgen bir şekil için böyle bir tarama aşağıda gösterilmiştir.
Düzlem rakamlarının sayısının n + 2 olduğunu ve n'nin dikdörtgen olduğunu görüyoruz. Tüm taramanın alanını hesaplamak için, iki özdeş tabanın alanlarını ve tüm dikdörtgenlerin alanlarını ekleyin. Ardından ilgili formül şöyle görünecektir:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Bu eşitlik, incelenen prizma türü için yanal yüzey alanının, şeklin yüksekliği ile tabanının çevresinin çarpımına eşit olduğunu gösterir.
So'ın taban alanı uygun geometrik formül uygulanarak hesaplanabilir. Örneğin, bir dik prizmanın tabanı bir dik üçgense, o zaman şunu elde ederiz:
So=a1 × a2 / 2.
Nerede bir1 ve bir2 üçgenin bacaklarıdır.
Taban, eşit açılara ve kenarlara sahip bir n-gon ise, aşağıdaki formül adil olacaktır:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Hacim Formülü
Herhangi bir tür prizmanın hacmini belirlemek, taban alanı So ve yüksekliği h biliniyorsa zor bir iş değildir. Bu değerleri birlikte çarparak, şeklin V hacmini elde ederiz, yani:
V=So × h.
Düz bir prizmanın h parametresi yan kenarın uzunluğuna eşit olduğundan, hacmi hesaplamanın tüm sorunu So alanını hesaplamaya gelir. yukarıda bizzaten birkaç kelime söyledi ve So belirlemek için birkaç formül verdi. Burada sadece, rastgele şekilli bir taban söz konusu olduğunda, onu basit parçalara (üçgenler, dikdörtgenler) ayırmanız, her birinin alanını hesaplamanız ve ardından S elde etmek için tüm alanları eklemeniz gerektiğini not ediyoruz. o.
