Düz bir prizmanın yüzey alanı: formüller ve bir problem örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Hacim ve yüzey alanı, üç boyutlu uzayda sonlu boyutları olan herhangi bir cismin iki önemli özelliğidir. Bu yazıda, çokyüzlülerin iyi bilinen bir sınıfını ele alıyoruz - prizmalar. Özellikle düz bir prizmanın yüzey alanı nasıl bulunur sorusu ortaya çıkacaktır.

Prizma nedir?

Bir prizma, birkaç paralelkenar ve paralel düzlemlerde yer alan iki özdeş çokgen ile sınırlanan herhangi bir çokyüzlüdür. Bu çokgenler şeklin tabanı olarak kabul edilir ve paralelkenarları kenarlardır. Tabanın kenar (köşe) sayısı şeklin adını belirler. Örneğin, aşağıdaki şekil beşgen bir prizmayı göstermektedir.

Tabanlar arasındaki mesafeye şeklin yüksekliği denir. Yükseklik herhangi bir yan kenarın uzunluğuna eşitse, böyle bir prizma düz olacaktır. Düz bir prizma için ikinci yeterli özellik, tüm kenarlarının dikdörtgen veya kare olmasıdır. eğer, yine deBir taraf genel bir paralelkenar ise, şekil eğimli olacaktır. Aşağıda düz ve eğik prizmaların görsel olarak nasıl farklılık gösterdiğini dörtgen şekiller örneğinde görebilirsiniz.

Düz bir prizmanın yüzey alanı

Geometrik bir şekil n köşeli bir tabana sahipse, n tanesi dikdörtgen olan n+2 yüzden oluşur. Tabanın kenar uzunluklarını a_i olarak gösterelim, burada i=1, 2, …, n ve şeklin boyuna eşit olan yüksekliğini gösterelim. yan kenar, h gibi. Tüm yüzlerin yüzeyinin alanını (S) belirlemek için, tabanların her birinin ve kenarların (dikdörtgenler) tüm alanlarının S_{o alanını ekleyin. Böylece, genel formdaki S formülü şu şekilde yazılabilir:}

S=2S_o+ S_b

S_{b yan yüzey alanıdır.}

Düz bir prizmanın tabanı kesinlikle herhangi bir düz çokgen olabileceğinden, S_{ohesaplamak için tek bir formül verilemez ve genel olarak bu değeri belirlemek için durumda geometrik analiz yapılmalıdır. Örneğin, taban, kenarı a olan bir normal n-gon ise, alanı şu formülle hesaplanır:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

S_{b değerine gelince, hesaplanması için ifade verilebilir. Düz bir prizmanın yan yüzey alanı:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Yani, değerS_{b şeklin yüksekliğinin ve tabanının çevresinin çarpımı olarak hesaplanır.}

Problem çözme örneği

Alınan bilgileri aşağıdaki geometrik problemi çözmek için uygulayalım. Tabanı 5 cm ve 7 cm dik açılı kenarları olan bir dik üçgen olan bir prizma verildiğinde, şeklin yüksekliği 10 cm'dir, bir dik üçgen prizmanın yüzey alanını bulmak gerekir.

Önce üçgenin hipotenüsünü hesaplayalım. Şuna eşit olacaktır:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Şimdi bir matematiksel hazırlık işlemi daha yapalım - tabanın çevresini hesaplayın. Olacak:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Şeklin yan yüzeyinin alanı, P değeri ile h=10 cm yüksekliğinin çarpımı, yani S_b=206 cm olarak hesaplanır. ^2.

Tüm yüzeyin alanını bulmak için bulunan değere iki taban alanı eklenmelidir. Bir dik üçgenin alanı, bacakların çarpımının yarısı tarafından belirlendiğinden, şunu elde ederiz:

2S_o=257/2=35cm²

Ardından düz üçgen prizmanın yüzey alanının 35 + 206=241 cm2 olduğunu elde ederiz.