Lisede, şekillerin düzlemdeki özelliklerini çalıştıktan sonra prizma, küre, piramit, silindir ve koni gibi uzamsal geometrik nesnelerin ele alınmasına geçerler. Bu yazımızda düz üçgen prizmanın en eksiksiz açıklamasını vereceğiz.
Üçgen prizma nedir?
Makaleye daha sonra tartışılacak olan şeklin tanımıyla başlayalım. Geometri açısından bir prizma, aynı açıları düz çizgi parçalarıyla birbirine bağlanan paralel düzlemlerde bulunan iki özdeş n-gon tarafından oluşturulan uzaydaki bir şekildir. Bu segmentlere lateral kaburgalar denir. Tabanın kenarlarıyla birlikte, genellikle paralelkenarlarla temsil edilen bir yan yüzey oluştururlar.
İki n-gon, şeklin temelidir. Yan kenarlar onlara dik ise, düz bir prizmadan bahsederler. Buna göre, çokgenin tabanlarındaki kenar sayısı n ise üç ise, böyle bir şekle üçgen prizma denir.
Üçgen düz prizma yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. Bu rakam, tabanları eşkenar üçgenler olduğu için düzenli olarak da adlandırılır. Şekilde h harfi ile gösterilen şeklin yan kenarının uzunluğuna yüksekliği denir.
Şekil, tabanı üçgen olan bir prizmanın, ikisi eşkenar üçgen ve üçü de aynı dikdörtgen olan beş yüz tarafından oluşturulduğunu göstermektedir. Yüzlere ek olarak, prizmanın tabanlarında altı köşesi ve dokuz kenarı vardır. Ele alınan elemanların sayıları birbiriyle Euler teoremi ile ilişkilidir:
kenar sayısı=köşe sayısı + kenar sayısı - 2.
Bir dik üçgen prizmanın alanı
Söz konusu şeklin iki tip (iki üçgen, üç dikdörtgen) beş yüzden oluştuğunu yukarıda öğrendik. Bütün bu yüzler prizmanın tam yüzeyini oluşturur. Toplam alanları, şeklin alanıdır. Aşağıda, önce şekilden iki taban kesilerek ve ardından bir kenar boyunca kesilerek ve yan yüzey açılarak elde edilebilen üçgen bir prizma açılmaktadır.
Bu taramanın yüzey alanını belirlemek için formüller verelim. Bir dik üçgen prizmanın tabanlarıyla başlayalım. Üçgenleri temsil ettikleri için, her birinin S3 alanı şu şekilde bulunabilir:
S3=1/2aha.
Burada a üçgenin kenarıdır, ha üçgenin tepe noktasından bu tarafa indirilen yüksekliktir.
Üçgen eşkenar ise (düzenli), o zaman S3 için formül yalnızca bir parametre a'ya bağlıdır. Şuna benziyor:
S3=√3/4a2.
Bu ifade, a, a/2, ha doğru parçalarının oluşturduğu bir dik üçgen dikkate alınarak elde edilebilir.
Normal bir rakam için So taban alanı, S3: değerinin iki katıdır
So=2S3=√3/2a2.
Sb yan yüzey alanına gelince, onu hesaplamak zor değil. Bunu yapmak için, a ve h taraflarının oluşturduğu bir dikdörtgenin alanını üç ile çarpmak yeterlidir. Karşılık gelen formül:
Sb=3ah.
Böylece, tabanı üçgen olan düzgün bir prizmanın alanı şu formülle bulunur:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Prizma düz fakat düzensiz ise, alanını hesaplamak için dikdörtgenlerin birbirine eşit olmayan alanlarını ayrı ayrı toplamanız gerekir.
Bir figürün hacmini belirleme
Bir prizmanın hacmi, kenarları (yüzleri) tarafından sınırlanan alan olarak anlaşılır. Dik üçgen prizmanın hacmini hesaplamak, yüzey alanını hesaplamaktan çok daha kolaydır. Bunu yapmak için, tabanın alanını ve şeklin yüksekliğini bilmek yeterlidir. Düz bir şeklin h yüksekliği onun yan kenarının uzunluğu olduğundan ve taban alanının nasıl hesaplanacağını daha önce vermiştik.noktada, istenen hacmi elde etmek için bu iki değeri birbiriyle çarpmak kalır. Bunun formülü şu şekildedir:
V=S3h.
Bir tabanın alanı ile yüksekliğin çarpımının sadece düz bir prizmanın değil, aynı zamanda eğik bir şeklin ve hatta bir silindirin hacmini vereceğine dikkat edin.
Problem Çözme
Cam üçgen prizmalar, optikte dağılım olgusundan dolayı elektromanyetik radyasyon spektrumunu incelemek için kullanılır. Normal bir cam prizmanın taban kenar uzunluğu 10 cm ve kenar uzunluğu 15 cm olduğu bilinmektedir. Cam yüzlerinin alanı nedir ve hangi hacmi içerir?
Alanı belirlemek için yazıdaki formülü kullanacağız. Bizde:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536.6cm2.
V hacmini belirlemek için yukarıdaki formülü de kullanırız:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649.5 cm3.
Prizmanın kenarları 10 cm ve 15 cm uzunluğunda olmasına rağmen, şeklin hacmi sadece 0,65 litredir (10 cm kenarlı bir küpün hacmi 1 litredir).
