Yan yüzeyin alanı ve kesik bir piramidin hacmi: formüller ve tipik bir problem çözme örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Üç boyutlu uzaydaki şekillerin özelliklerini stereometri çerçevesinde incelerken, genellikle hacim ve yüzey alanını belirlemek için problemler çözmek gerekir. Bu yazıda, iyi bilinen formüller kullanarak kesik bir piramit için hacim ve yan yüzey alanının nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.

Geometride piramit

Geometride, sıradan bir piramit, uzayda düz bir n-gon üzerine inşa edilmiş bir figürdür. Tüm köşeleri, çokgenin düzleminin dışında bulunan bir noktaya bağlanır. Örneğin, burada beşgen piramidi gösteren bir fotoğraf var.

Bu şekil yüzler, köşeler ve kenarlardan oluşur. Beşgen yüze taban denir. Kalan üçgen yüzler yan yüzeyi oluşturur. Tüm üçgenlerin kesişme noktası piramidin ana tepe noktasıdır. Ondan tabana bir dikey indirilirse, kesişme noktasının konumu için iki seçenek mümkündür:

• geometrik merkezde, o zaman piramit düz bir çizgi olarak adlandırılır;
• içeride değilgeometrik merkez, o zaman şekil eğik olacaktır.

İleride, yalnızca normal n-gonal tabanlı düz rakamları ele alacağız.

Bu şekil nedir - kesik bir piramit?

Kesilmiş bir piramidin hacmini belirlemek için, özellikle hangi şeklin söz konusu olduğunu açıkça anlamak gerekir. Bu konuyu açıklığa kavuşturalım.

Sıradan bir piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi aldığımızı ve onunla yan yüzeyin bir kısmını kestiğimizi varsayalım. Bu işlem yukarıda gösterilen beşgen piramit ile yapılırsa aşağıdaki şekildeki gibi bir şekil elde edeceksiniz.

Fotoğraftan bu piramidin zaten iki tabanı olduğu ve üsttekinin alttakine benzer olduğu ancak boyut olarak daha küçük olduğu görülebilir. Yan yüzey artık üçgenlerle değil, yamuklarla temsil edilir. Bunlar ikizkenardır ve sayıları tabanın kenar sayısına karşılık gelir. Kesik şeklin normal bir piramit gibi bir ana tepe noktası yoktur ve yüksekliği paralel tabanlar arasındaki mesafeye göre belirlenir.

Genel durumda, incelenen şekil n-köşeli tabanlardan oluşuyorsa, n+2 yüzü veya kenarı, 2n köşesi ve 3n kenarı vardır. Yani, kesik piramit bir çokyüzlüdür.

Kesilmiş bir piramidin hacmi için formül

Sıradan bir piramidin hacminin, yüksekliğinin ve taban alanının çarpımının 1/3'ü olduğunu hatırlayın. Bu formül, iki tabanı olduğu için kesik piramit için uygun değildir. ve hacmitüretildiği normal rakam için her zaman aynı değerden daha az olacaktır.

İfadeyi elde etmenin matematiksel detaylarına girmeden, kesik bir piramidin hacminin son formülünü sunuyoruz. Şu şekilde yazılmıştır:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Burada S₁ ve S_{2 sırasıyla alt ve üst tabanların alanlarıdır, h şeklin yüksekliğidir. Yazılı ifade sadece düz bir düzgün kesik piramit için değil, aynı zamanda bu sınıfın herhangi bir şekli için de geçerlidir. Üstelik taban çokgenlerinin türü ne olursa olsun. V ifadesinin kullanımını sınırlayan tek koşul, piramidin tabanlarının birbirine paralel olması gerekliliğidir.}

Bu formülün özelliklerini inceleyerek birkaç önemli sonuç çıkarılabilir. Yani, üst tabanın alanı sıfırsa, sıradan bir piramidin V formülüne geliriz. Tabanların alanları birbirine eşitse, prizmanın hacminin formülünü elde ederiz.

Yan yüzey alanı nasıl belirlenir?

Kesilmiş bir piramidin özelliklerini bilmek, yalnızca hacmini hesaplama becerisini değil, aynı zamanda yan yüzey alanının nasıl belirleneceğini de bilmeyi gerektirir.

Kesilmiş piramit iki tür yüzden oluşur:

• ikizkenar yamuk;
• çokgen tabanlar.

Tabanlarında düzgün bir çokgen varsa, o zaman alanının hesaplanması büyük bir poligonu temsil etmez.zorluklar. Bunu yapmak için sadece a kenarının uzunluğunu ve n sayısını bilmeniz gerekir.

Bir yan yüzey durumunda, alanının hesaplanması, n yamukların her biri için bu değerin belirlenmesini içerir. Eğer n-gon doğruysa, yan yüzey alanı formülü şu şekilde olur:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Burada h_b şeklin apotemi olarak adlandırılan yamuğun yüksekliğidir. a₁ ve a_{2miktarları düzgün n-köşeli tabanların kenar uzunluklarıdır.}

Her normal n-gonal kesilmiş piramit için, apotema h_b, a₁ ve a _{parametreleri aracılığıyla benzersiz bir şekilde tanımlanabilir 2ve şeklin h yüksekliği.}

Bir şeklin hacmini ve alanını hesaplama görevi

Düzenli bir üçgen kesilmiş piramit verildi. h yüksekliğinin 10 cm olduğu ve tabanların kenarlarının uzunluklarının 5 cm ve 3 cm olduğu bilinmektedir. Kesilmiş piramidin hacmi ve yan yüzeyinin alanı nedir?

Önce V değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için şeklin tabanlarında bulunan eşkenar üçgenlerin alanlarını bulun. Bizde:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Verileri formülde V yerine koyun, istenen hacmi elde ederiz:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Yan yüzeyi belirlemek için bilmeniz gerekenlerözlü uzunluk h_{b. Piramidin içinde karşılık gelen dik açılı üçgeni göz önünde bulundurarak onun eşitliğini yazabiliriz:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Özetin değeri ve üçgen tabanların kenarları S_{bifadesinde değiştirilir ve şu yanıtı alırız:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Böylece problemin tüm sorularını cevapladık: V ≈ 70.72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.