Üçgen, üç kenarı (üç köşesi) olan bir çokgendir. Çoğu zaman, kenarlar, zıt köşeleri ifade eden büyük harflere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Bu yazımızda bu geometrik şekillerin çeşitlerini, bir üçgenin açılarının toplamının ne olduğunu belirleyen teoremi öğreneceğiz.
Açılara göre görünümler
Aşağıdaki üç köşeli çokgen türleri ayırt edilir:
- tüm köşelerin keskin olduğu dar açılı;
- dikdörtgen, bir dik açısı olan, onu oluşturan kenarlara bacak, dik açının karşısına yerleştirilen kenara ise hipotenüs denir;
- bir köşe geniş olduğunda geniş;
- İki kenarın eşit olduğu ve yanal olarak adlandırılan ve üçüncünün üçgenin tabanı olduğu ikizkenar;
- eşkenar, üç kenarı da eşit.
Özellikler
Her üçgen türünün özelliği olan ana özellikleri vurgularlar:
- Büyük kenarın karşısında her zaman daha büyük bir açı vardır ve bunun tersi;
- eşit büyüklükteki zıt taraflar eşit açılardır ve bunun tersi;
- her üçgenin iki dar açısı vardır;
- bir dış köşe, ona bitişik olmayan herhangi bir iç köşeden daha büyüktür;
- iki açının toplamı her zaman 180 dereceden azdır;
- dış köşe, onunla kesişmeyen diğer iki köşenin toplamına eşittir.
Açıların üçgen toplamı teoremi
Teorem, Öklid düzleminde bulunan belirli bir geometrik şeklin tüm açılarını toplarsanız, toplamlarının 180 derece olacağını belirtir. Bu teoremi kanıtlamaya çalışalım.
Köşeleri KMN olan rastgele bir üçgen alalım.
M köşesi boyunca, KN düz çizgisine paralel düz bir çizgi çizin (bu çizgiye Öklid düz çizgisi de denir). A noktasını, K ve A noktaları MN düz çizgisinin farklı taraflarında bulunacak şekilde işaretliyoruz. İç açılar gibi çapraz olarak uzanan ve paralel olan KN ve MA düz çizgileri ile birlikte MN sekantının oluşturduğu eşit açılar AMN ve KNM elde ederiz. Bundan, M ve H köşelerinde bulunan üçgenin açılarının toplamının, KMA açısının boyutuna eşit olduğu takip edilir. Üç açının tümü, KMA ve MKN açılarının toplamına eşit olan toplamı oluşturur. Bu açılar iç açılara göre tek kenarlı olduğundanparalel düz çizgiler KN ve MA, kenan KM ile, toplamları 180 derecedir. Teorem kanıtlandı.
Sonuç
Aşağıdaki sonuç, yukarıda kanıtlanan teoremden çıkar: herhangi bir üçgenin iki dar açısı vardır. Bunu kanıtlamak için, verilen bir geometrik şeklin yalnızca bir dar açısı olduğunu varsayalım. Ayrıca açıların hiçbirinin dar olmadığı varsayılabilir. Bu durumda, 90 dereceye eşit veya daha büyük en az iki açı olmalıdır. Ancak o zaman açıların toplamı 180 dereceden büyük olacaktır. Ancak bu olamaz, çünkü teoreme göre, bir üçgenin açılarının toplamı 180 ° - ne daha fazla ne daha az. Kanıtlanması gereken buydu.
Dış köşe özelliği
Bir üçgenin dış açılarının toplamı nedir? Bu soruya iki yoldan biriyle cevap verilebilir. Birincisi, her köşede birer, yani üç açıdan alınan açıların toplamını bulmak gerekir. İkincisi, köşelerdeki altı açının toplamını bulmanız gerektiği anlamına gelir. İlk olarak, ilk seçenekle ilgilenelim. Bu nedenle, üçgen altı dış köşe içerir - her bir tepe noktasında iki tane.
Dikey oldukları için her çiftin açısı eşittir:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Ayrıca, bir üçgenin dış açısının onunla kesişmeyen iki iç açının toplamına eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Bundan, harici toplamınher köşede bir tane alınan köşeler şuna eşit olacaktır:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Açıların toplamı 180 derece olduğu için, ∟A + ∟B + ∟C=180° olduğu söylenebilir. Bu da ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° olduğu anlamına gelir. İkinci seçenek kullanılırsa, altı açının toplamı sırasıyla iki kat daha büyük olacaktır. Yani üçgenin dış açılarının toplamı şöyle olacaktır:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Dik üçgen
Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı nedir? Bu sorunun cevabı yine bir üçgendeki açıların toplamının 180 derece olduğunu söyleyen teoremden gelir. Ve ifademiz (özellik) şuna benzer: bir dik üçgende dar açıların toplamı 90 dereceye kadar çıkar. Doğruluğunu kanıtlayalım.
Bize ∟Н=90° olan bir KMN üçgeni verilsin. ∟K + ∟M=90° olduğunu kanıtlamak gerekir.
Yani, açı toplamı teoremine göre ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Durumumuz ∟Н=90° olduğunu söylüyor. Böylece, ∟K + ∟M + 90°=180° çıkıyor. Yani, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Kanıtlamamız gereken buydu.
Bir dik üçgenin yukarıdaki özelliklerine ek olarak şunları da ekleyebilirsiniz:
- bacaklara yaslanan açılar keskindir;
- hipotenüs herhangi bir bacaktan daha fazla üçgendir;
- bacakların toplamı hipotenüsten büyüktür;
- bacak30 derecelik bir açının karşısında yer alan bir üçgen hipotenüsün yarısıdır, yani yarısına eşittir.
Bu geometrik şeklin bir başka özelliği olarak Pisagor teoremi ayırt edilebilir. 90 derecelik (dikdörtgen) bir üçgende, bacakların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtiyor.
İkizkenar üçgenin açılarının toplamı
Daha önce ikizkenarın, iki eşit kenar içeren üç köşesi olan bir çokgen olduğunu söylemiştik. Belirli bir geometrik şeklin bu özelliği bilinmektedir: tabanındaki açılar eşittir. Hadi kanıtlayalım.
İkizkenar olan KMN üçgenini alın, KN onun tabanıdır.
∟К=∟Н olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Diyelim ki MA, KMN üçgenimizin açıortayıdır. MCA üçgeni, eşitliğin ilk işaretini dikkate alarak, MCA üçgenine eşittir. Yani, koşulla KM=NM, MA bir ortak kenardır, ∟1=∟2, çünkü MA bir açıortaydır. Bu iki üçgenin eşit olduğu gerçeğini kullanarak ∟K=∟Н olduğunu söyleyebiliriz. Yani teorem kanıtlandı.
Ama biz bir üçgenin (ikizkenar) açılarının toplamının ne olduğuyla ilgileniyoruz. Bu açıdan kendine has özellikleri olmadığı için, daha önce ele alınan teoremden başlayacağız. Yani ∟K + ∟M + ∟H=180° veya 2 x ∟K + ∟M=180° diyebiliriz (∟K=∟H'den beri). Üçgen toplam teoreminin kendisi daha önce kanıtlandığı için bu özelliği kanıtlamayacağız.
Tartışılanlar dışındabir üçgenin açılarıyla ilgili özellikler, ayrıca çok önemli ifadeler var:
- bir ikizkenar üçgende, tabana indirilen yükseklik hem ortancadır, eşit kenarlar arasındaki açının açıortayı hem de tabanının simetri eksenidir;
- Böyle bir geometrik şeklin kenarlarına çizilen medyanlar (ortaylar, yükseklikler) eşittir.
Eşkenar üçgen
Sağ da denir, tüm kenarları eşit olan üçgendir. Bu nedenle açıları da eşittir. Her biri 60 derecedir. Bu özelliği ispatlayalım.
Bir KMN üçgenimiz olduğunu varsayalım. KM=NM=KN olduğunu biliyoruz. Ve bu, bir ikizkenar üçgende tabanda bulunan açıların özelliğine göre, ∟К=∟М=∟Н anlamına gelir. Teoreme göre, bir üçgenin açılarının toplamı ∟К + ∟М + ∟Н=180° olduğundan, 3 x ∟К=180° veya ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Böylece ifade ispatlanmış olur.
Teoreme dayalı yukarıdaki ispattan da görebileceğiniz gibi, bir eşkenar üçgenin açılarının toplamı, diğer herhangi bir üçgenin açılarının toplamı gibi, 180 derecedir. Bu teoremi tekrar kanıtlamaya gerek yok.
Eşkenar üçgenin karakteristik özellikleri de vardır:
- medyan, bisektör, yükseklik böyle bir geometrik şekilde aynıdır ve uzunlukları (a x √3) olarak hesaplanır: 2;
- Belirli bir çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlarsanız, yarıçapıeşittir (a x √3): 3;
- eşkenar üçgene bir daire çizerseniz, yarıçapı (a x √3) olacaktır: 6;
- Bu geometrik şeklin alanı şu formülle hesaplanır: (a2 x √3): 4.
Dik açılı üçgen
Geniş üçgenin tanımına göre, açılarından biri 90 ile 180 derece arasındadır. Ancak bu geometrik şeklin diğer iki açısının dar olduğu göz önüne alındığında, bunların 90 dereceyi geçmediği sonucuna varabiliriz. Bu nedenle, açıların toplamı teoremi, geniş bir üçgende açıların toplamını hesaplarken çalışır. Yukarıda bahsedilen teoreme dayanarak, geniş bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu güvenle söyleyebiliriz. Yine, bu teoremin yeniden kanıtlanmasına gerek yoktur.
