Maddenin gaz toplam halinin özelliklerinin incelenmesi, modern fiziğin önemli alanlarından biridir. Gazları mikroskobik ölçekte ele aldığımızda, sistemin tüm makroskobik parametreleri elde edilebilir. Bu makale, gazların moleküler kinetik teorisinin önemli bir sorununu ortaya çıkaracaktır: Moleküllerin hızlar cinsinden Maxwell dağılımı nedir.
Tarihsel arka plan
Mikroskobik hareketli parçacıklardan oluşan bir sistem olarak gaz fikri eski Yunanistan'da ortaya çıktı. Bilimin onu geliştirmesi 1700 yıldan fazla sürdü.
Gazın modern moleküler-kinetik teorisinin (MKT) kurucusu Daniil Bernoulli'yi düşünmekte haklı. 1738'de "Hidrodinamik" adlı bir eser yayınladı. İçinde Bernoulli, MKT'nin bugüne kadar kullanılan fikirlerini özetledi. Böylece bilim adamı, gazların her yöne rastgele hareket eden parçacıklardan oluştuğuna inanıyordu. çok sayıda çarpışmadamar duvarlı parçacıklar, gazlarda basıncın varlığı olarak algılanır. Parçacık hızları, sistemin sıcaklığı ile yakından ilişkilidir. Bilim camiası Bernoulli'nin cesur fikirlerini kabul etmedi çünkü enerjinin korunumu yasası henüz kurulmamıştı.
Ardından, birçok bilim adamı gazların kinetik bir modelini oluşturmaya başladı. Bunların arasında, 1857'de basit bir gaz modeli yaratan Rudolf Clausius belirtilmelidir. İçinde bilim adamı, moleküllerde öteleme, dönme ve titreşim serbestlik derecelerinin varlığına özellikle dikkat etti.
1859'da Clausius'un çalışmalarını inceleyen James Maxwell, moleküler hızlar üzerinde sözde Maxwell dağılımını formüle etti. Aslında Maxwell, MKT'nin fikirlerini matematiksel bir aparatla destekleyerek doğruladı. Daha sonra, Ludwig Boltzmann (1871), Maxwell dağılımının sonuçlarını genelleştirdi. Moleküllerin hızlar ve enerjiler üzerinde daha genel bir istatistiksel dağılımını öne sürdü. Şu anda Maxwell-Boltzmann dağılımı olarak bilinir.
İdeal gaz. ILC
'nin temel varsayımları
Maxwell dağıtım fonksiyonunun ne olduğunu anlamak için, bu fonksiyonun uygulanabilir olduğu sistemleri net bir şekilde anlamanız gerekir. İdeal bir gazdan bahsediyoruz. Fizikte bu kavram, potansiyel enerjisi olmayan pratik olarak boyutsuz parçacıklardan oluşan sıvı bir madde olarak anlaşılır. Bu parçacıklar yüksek hızlarda hareket ederler, dolayısıyla davranışları tamamen kinetik enerji tarafından belirlenir. Ayrıca, parçacıklar arasındaki mesafeler çok büyüktür.boyutlarıyla karşılaştırıldığında, ikincisi ihmal edilir.
İdeal gazlar MKT'de açıklanmıştır. Başlıca varsayımları aşağıdaki gibidir:
- gaz sistemleri çok sayıda serbest parçacıktan oluşur;
- parçacıklar düz yörüngeler boyunca farklı yönlerde farklı hızlarda rastgele hareket eder;
- parçacıklar damar duvarlarıyla esnek bir şekilde çarpışır (parçacıkların küçük boyutları nedeniyle birbirleriyle çarpışma olasılığı düşüktür);
- Sistemin sıcaklığı, sistemde termodinamik denge kurulursa zamanla korunan parçacıkların ortalama kinetik enerjisi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.
Maxwell'in dağıtım yasası
Bir kişinin tek bir gaz molekülünün hızını ölçmenin mümkün olduğu bir aleti olsaydı, uygun bir deney yaptıktan sonra şaşırırdı. Deney, herhangi bir gaz sisteminin her molekülünün tamamen keyfi bir hızda hareket ettiğini gösterecekti. Bu durumda, çevre ile termal dengede olan tek bir sistem çerçevesinde hem çok yavaş hem de çok hızlı moleküller tespit edilebilir.
Maxwell'in gaz moleküllerinin hız dağılımı yasası, incelenen sistemde belirli bir v hızına sahip parçacıkları tespit etme olasılığını belirlemenize izin veren bir araçtır. Karşılık gelen işlev şuna benzer:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Bu ifadede, m -parçacık (molekül) kütlesi, k - Boltzmann sabiti, T - mutlak sıcaklık. Böylece, parçacıkların kimyasal doğası (m'nin değeri) biliniyorsa, o zaman f(v) fonksiyonu mutlak sıcaklık tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. f(v) fonksiyonuna olasılık yoğunluğu denir. Bir hız limiti (v; v+dv) için ondan integral alırsak, belirtilen aralıkta hızları olan Ni parçacıklarının sayısını elde ederiz. Buna göre, 0 ile ∞ arasındaki hız limitleri için f(v) olasılık yoğunluğunun integralini alırsak, sistemdeki toplam N molekül sayısını elde ederiz.
Olasılık yoğunluğunun grafik gösterimi f(v)
Olasılık yoğunluk fonksiyonu biraz karmaşık bir matematiksel forma sahiptir, bu nedenle belirli bir sıcaklıkta davranışını temsil etmek kolay değildir. İki boyutlu bir grafik üzerinde tasvir ederseniz bu problem çözülebilir. Aşağıdaki şekilde Maxwell dağılım grafiğinin şematik bir görünümü gösterilmektedir.
Moleküllerin hızı v negatif değerlere sahip olamayacağı için sıfırdan başladığını görüyoruz. Grafik, yüksek hız bölgesinde bir yerde biter ve düzgün bir şekilde sıfıra düşer (f(∞)->0). Şu özellik de dikkat çekicidir: düzgün eğri asimetriktir, küçük hızlarda daha keskin bir şekilde azalır.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(v)'nin davranışının önemli bir özelliği, üzerinde belirgin bir maksimumun bulunmasıdır. Fonksiyonun fiziksel anlamına göre, bu maksimum, gazdaki moleküllerin hızlarının en olası değerine karşılık gelir.sistem.
f(v)
işlevi için önemli hızlar
Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(v) ve grafik gösterimi, üç önemli hız türünü tanımlamamıza izin verir.
Belirgin olan ve yukarıda bahsedilen ilk hız türü, en olası hız v1'dır. Grafikte değeri f(v) fonksiyonunun maksimum değerine karşılık gelir. Sistemin parçacıklarının çoğuna sahip olacak olan bu hız ve ona yakın değerlerdir. Bunu hesaplamak zor değil, bunun için f(v) fonksiyonunun hızına göre birinci türevi alıp sıfıra eşitlemek yeterlidir. Bu matematiksel işlemlerin sonucunda şu sonucu elde ederiz:
v1=√(2RT/M).
Burada R evrensel gaz sabitidir, M moleküllerin molar kütlesidir.
İkinci tür hız, tüm N parçacıklar için ortalama değeridir. V2 ile gösterelim. Tüm hızlarda vf(v) fonksiyonunun integrali alınarak hesaplanabilir. Belirtilen entegrasyonun sonucu şu formül olacaktır:
v2=√(8RT/(piM)).
Oran 8/pi>2 olduğundan, ortalama hız her zaman en olası hızdan biraz daha yüksektir.
Fizik hakkında biraz bilgisi olan herkes, moleküllerin ortalama v2 hızının bir gaz sisteminde çok önemli olması gerektiğini anlar. Ancak bu hatalı bir varsayımdır. Çok daha önemli olan RMS hızıdır. onu belirtelimv3.
Tanıma göre, karekök-ortalama hız, tüm parçacıkların bireysel hızlarının karelerinin toplamı, bu parçacıkların sayısına bölünür ve karekök olarak alınır. Eğer v2f(v) fonksiyonunun tüm hızları üzerinden integralini tanımlarsak Maxwell dağılımı için hesaplanabilir. Ortalama ikinci dereceden hız formülü şu şekilde olacaktır:
v3=√(3RT/M).
Eşitlik, herhangi bir gaz sistemi için bu hızın v2 ve v1'den daha büyük olduğunu gösterir.
Böylece, Maxwell dağılım grafiğinde dikkate alınan tüm hız türleri ya ekstremumda ya da sağında bulunur.
v3'ün önemi
Bir gaz sisteminin fiziksel süreçlerini ve özelliklerini anlamak için ortalama kare hızın, basit ortalama hızdan v2 daha önemli olduğu yukarıda belirtilmişti. Bu doğrudur, çünkü ideal bir gazın kinetik enerjisi tam olarak v3'ye bağlıdır, v2'ye değil.
Monatomik bir ideal gaz düşünürsek, bunun için aşağıdaki ifade doğrudur:
mv32/2=3/2kT.
Burada, denklemin her bir parçası m kütleli bir parçacığın kinetik enerjisini temsil eder. İfade neden tam olarak v3 değerini içeriyor da ortalama v2 hızını içermiyor? Çok basit: Her parçacığın kinetik enerjisini belirlerken, bireysel hızı v kare olur, sonra tüm hızlareklenir ve parçacık sayısı N'ye bölünür. Yani, kinetik enerjiyi belirleme prosedürü, ortalama kare hızın değerine yol açar.
f(v) fonksiyonunun sıcaklığa bağımlılığı
Moleküler hızların olasılık yoğunluğunun benzersiz bir şekilde sıcaklığa bağlı olduğunu yukarıda belirledik. T artar veya azalırsa fonksiyon nasıl değişecek? Aşağıdaki tablo bu soruyu yanıtlamaya yardımcı olacaktır.
Kapalı sistemin ısınmasının tepe noktasının bulaşmasına ve daha yüksek hızlara kaymasına neden olduğu görülebilir. Sıcaklıktaki bir artış, tüm hız türlerinde bir artışa ve her birinin olasılık yoğunluğunun azalmasına yol açar. Kapalı bir sistemde N parçacıklarının sayısının korunumu nedeniyle tepe değeri azalır.
Sonra, alınan teorik materyali pekiştirmek için birkaç problem çözeceğiz.
Havadaki nitrojen molekülleriyle ilgili sorun
v1, v2 ve v3 hızlarını hesaplamak gerekir 300 K sıcaklıkta hava azotu için (yaklaşık 27 oC).
Nitrojen N2'nin molar kütlesi 28 g/mol'dür. Yukarıdaki formülleri kullanarak şunu elde ederiz:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140,) 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Oksijen tankı sorunu
Silindirdeki oksijen belirli bir T1 sıcaklığındaydı. Daha sonra balon daha soğuk bir odaya yerleştirildi. Sistem termodinamik dengeye geldiğinde oksijen molekülleri için Maxwell hız dağılımı grafiği nasıl değişecek?
Teoriyi hatırlayarak, sorunun sorusuna şu şekilde cevap verebiliriz: Moleküllerin her türlü hızlarının değerleri düşecek, f(v) fonksiyonunun tepe noktası sola kayacak, daha dar ve daha yüksek ol.
