Dönme hareketinin dinamikleri ve kinematiğinin nicel çalışması, dönme eksenine göre bir malzeme noktasının ve katı bir cismin eylemsizlik momenti hakkında bilgi gerektirir. Makalede hangi parametreden bahsettiğimizi ele alacağız ve ayrıca bunu belirlemek için bir formül vereceğiz.
Fiziksel nicelik hakkında genel bilgiler
Önce, bir malzeme noktasının ve katı bir cismin eylemsizlik momentini tanımlayalım ve ardından pratik problemlerin çözümünde nasıl kullanılması gerektiğini gösterelim.
Eksen etrafında r mesafesinde dönen m kütleli bir nokta için belirtilen fiziksel özellik altında şu değer kastedilmektedir:
I=mr².
Çalışılan parametrenin ölçüm biriminin metrekare başına kilogram (kgm²) olduğu durumlarda.
Bir eksen etrafında bir nokta yerine, kendi içinde keyfi bir kütle dağılımına sahip karmaşık şekilli bir gövde dönüyorsa, eylemsizlik momenti belirleniryani:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
ρ cismin yoğunluğudur. İntegral formülünü kullanarak, kesinlikle herhangi bir döndürme sistemi için I değerini belirleyebilirsiniz.
Atalet momenti, dönme hareketi için kütle ile tam olarak aynı anlama sahiptir. Örneğin, herkes bir zemin paspasını, sapından geçen bir eksen etrafında döndürmenin, dik olandan daha kolay olduğunu bilir. Bunun nedeni, ilk durumda atalet momentinin ikinciden çok daha az olmasıdır.
Farklı şekillerdeki bedenlere değer veriyorum
Dönme için fizikteki problemleri çözerken, genellikle belirli bir geometrik şekle sahip bir gövdenin, örneğin bir silindir, top veya çubuk için atalet momentini bilmek gerekir. Yukarıda I için yazılan formülü uygularsak, tüm işaretli cisimler için karşılık gelen ifadeyi elde etmek kolaydır. Aşağıda bazılarının formülleri verilmiştir:
çubuk: I=1 / 12ML²;
silindir: I=1 / 2MR²;
küre: I=2 / 5MR².
Burada cismin kütle merkezinden geçen dönme ekseni verilmiştir. Silindir durumunda, eksen şeklin üretecine paraleldir. Diğer geometrik cisimler için atalet momenti ve dönme eksenlerinin konumu için seçenekler ilgili tablolarda bulunabilir. Farklı şekiller belirlemek için sadece bir geometrik parametreyi ve cismin kütlesini bilmek yeterlidir.
Steiner teoremi ve formülü
Atalet momenti, dönme ekseni gövdeden biraz uzaktaysa belirlenebilir. Bunu yapmak için, bu parçanın uzunluğunu ve aşağıdakine paralel olması gereken kütle merkezinden geçen eksene göre cismin IO değerini bilmelisiniz. düşünce. IO parametresi ile bilinmeyen I değeri arasında bir bağlantı kurmak, Steiner teoreminde sabittir. Maddi bir noktanın ve katı bir cismin eylemsizlik momenti matematiksel olarak şu şekilde yazılır:
I=IO+ Mh2.
Burada M vücudun kütlesidir, h kütle merkezinden dönme eksenine olan mesafedir, buna göre I'i hesaplamak gerekir. I için integral formülünü kullanın ve vücudun tüm noktalarının r=r0 + h.
uzaklıkta olduğunu hesaba katın.
Steiner teoremi, birçok pratik durum için I'nin tanımını büyük ölçüde basitleştirir. Örneğin, ucundan geçen bir eksene göre uzunluğu L ve kütlesi M olan bir çubuk için I bulmanız gerekiyorsa, Steiner teoremini uygulamak şunları yazmanıza olanak tanır:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
İlgili tabloya başvurabilir ve sonunda bir dönme ekseni olan ince bir çubuk için tam olarak bu formülü içerdiğini görebilirsiniz.
Moment denklemi
Dönme fiziğinde moment denklemi denen bir formül vardır. Şuna benziyor:
M=benα.
Burada M kuvvet momentidir, α açısal ivmedir. Gördüğünüz gibi, maddesel bir nokta ile katı bir cismin eylemsizlik momenti ve kuvvet momenti birbiriyle lineer olarak ilişkilidir. M değeri, sistemde α ivmeli bir dönme hareketi yaratmak için bir miktar F kuvvetinin olasılığını belirler. M'yi hesaplamak için aşağıdaki basit ifadeyi kullanın:
M=Fd.
Burada d, kuvvet vektörü F'den dönme eksenine olan mesafeye eşit olan momentin omuzudur. d kolu ne kadar küçükse, kuvvetin sistemin dönüşünü yaratma yeteneği o kadar az olacaktır.
An denklemi, anlamında Newton'un ikinci yasasıyla tamamen tutarlıdır. Bu durumda eylemsizlik kütlesi rolünü oynuyorum.
Problem çözme örneği
Dikey bir eksen üzerinde ağırlıksız yatay bir çubuk ile sabitlenmiş bir silindir olan bir sistem düşünelim. Silindirin dönme ekseni ile ana ekseninin birbirine paralel olduğu ve aralarındaki mesafenin 30 cm olduğu bilinmektedir. Silindirin kütlesi 1 kg ve yarıçapı 5 cm'dir. Kuvvet 10 N dönüş yörüngesine teğet, vektörü silindirin ana ekseninden geçen şekle etki eder. Bu kuvvetin neden olacağı şeklin açısal ivmesini belirlemek gerekir.
Önce I silindirinin eylemsizlik momentini hesaplayalım. Bunu yapmak için Steiner teoremini uygulayın, elimizde:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1/210.05² + 10, 3²=0.09125 kgm².
Moment denklemini kullanmadan önce,M kuvvetinin momentini belirleyin. Bu durumda, elimizde:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Artık ivmeyi belirleyebilirsiniz:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².
Hesaplanan açısal ivme, silindirin hızının her saniye saniyede 5,2 devir artacağını gösterir.
