Polyhedra, eski zamanlarda bile matematikçilerin ve bilim adamlarının dikkatini çekti. Mısırlılar piramitleri inşa ettiler. Ve Yunanlılar "düzenli çokyüzlüler" üzerinde çalıştılar. Bazen Platonik katılar olarak adlandırılırlar. "Geleneksel çokyüzlüler" düz yüzler, düz kenarlar ve köşelerden oluşur. Ancak asıl soru her zaman bu ayrı parçaların hangi kuralları yerine getirmesi gerektiği ve bir nesnenin çokyüzlü olarak nitelendirilmesi için hangi ek küresel koşulların karşılanması gerektiği olmuştur. Bu sorunun cevabı makalede sunulacaktır.
Tanımdaki sorunlar
Bu rakam nelerden oluşuyor? Çokyüzlü, düz yüzleri ve düz kenarları olan kapalı bir katı şekildir. Bu nedenle, tanımının ilk sorunu, tam olarak şeklin kenarları olarak adlandırılabilir. Düzlemlerde yatan tüm yüzler her zaman bir çokyüzlülüğün işareti değildir. Örnek olarak "üçgen silindiri" ele alalım. Ne içeriyor? Yüzeyinin bir kısmı çiftler halinde üçkesişen dikey düzlemler çokgen olarak kabul edilemez. Bunun nedeni, köşelerinin olmamasıdır. Böyle bir şeklin yüzeyi, bir noktada buluşan üç ışın temelinde oluşturulur.
Bir sorun daha - uçaklar. "Üçgen silindir" durumunda, sınırsız kısımlarında bulunur. Kümedeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası da içindeyse, bir şekil dışbükey olarak kabul edilir. Onların önemli özelliklerinden birini sunalım. Dışbükey kümeler için, kümede ortak olan noktalar kümesinin aynı olmasıdır. Başka bir tür figür var. Bunlar, çentikleri veya delikleri olan dışbükey olmayan 2B çokyüzlülerdir.
Çokyüzlü olmayan şekiller
Düz bir nokta kümesi farklı olabilir (örneğin, dışbükey olmayabilir) ve genel bir çokyüzlü tanımını karşılamayabilir. Onun içinden bile, çizgi bölümleriyle sınırlıdır. Dışbükey çokyüzlülerin çizgileri dışbükey şekillerden oluşur. Ancak, tanıma bu yaklaşım, sonsuza giden bir rakamı dışlar. Aynı noktada buluşmayan üç ışın buna bir örnek olabilir. Ancak aynı zamanda başka bir şeklin köşelerine bağlanırlar. Geleneksel olarak, bir çokyüzlü için düz yüzeylerden oluşması önemliydi. Ancak zamanla, kavram genişledi ve bu da orijinal "daha dar" çokyüzlüler sınıfının anlaşılmasında önemli bir gelişmeye ve yeni, daha geniş bir tanımın ortaya çıkmasına yol açtı.
Doğru
Bir tanım daha verelim. Düzenli bir çokyüzlü, her yüzün eş bir düzenli olduğu bir çokyüzlüdür.dışbükey çokgenler ve tüm köşeler "aynıdır". Bu, her köşenin aynı sayıda düzenli çokgene sahip olduğu anlamına gelir. Bu tanımı kullanın. Böylece beş düzenli çokyüzlü bulabilirsiniz.
Çokyüzlüler için Euler teoreminin ilk adımları
Yunanlılar bugün pentagram olarak adlandırılan çokgeni biliyorlardı. Bu çokgen düzgün olarak adlandırılabilir çünkü tüm kenarları eşit uzunluktadır. Ayrıca önemli bir not daha var. Ardışık iki kenar arasındaki açı her zaman aynıdır. Bununla birlikte, bir düzlemde çizildiğinde, dışbükey bir küme tanımlamaz ve çokyüzlülerin kenarları birbiriyle kesişir. Ancak, bu her zaman böyle değildi. Matematikçiler uzun zamandır "dışbükey olmayan" düzenli çokyüzlüler fikrini düşündüler. Pentagram onlardan biriydi. "Yıldız çokgenlere" de izin verildi. "Düzenli çokyüzlülerin" birkaç yeni örneği keşfedildi. Şimdi onlara Kepler-Poinsot çokyüzlü deniyor. Daha sonra, G. S. M. Coxeter ve Branko Grünbaum kuralları genişletti ve diğer "düzenli çokyüzlüleri" keşfetti.
Çokyüzlü formül
Bu rakamların sistematik olarak incelenmesi matematik tarihinde nispeten erken bir tarihte başlamıştır. Leonhard Euler, köşelerinin, yüzlerinin ve kenarlarının sayısıyla ilgili bir formülün dışbükey 3B çokyüzlüler için geçerli olduğunu fark eden ilk kişiydi.
Şuna benziyor:
V + F - E=2, burada V çokyüzlü köşelerin sayısıdır, F çokyüzlülerin kenar sayısıdır ve E yüzlerin sayısıdır.
Leonhard Euler İsviçrelitüm zamanların en büyük ve en üretken bilim adamlarından biri olarak kabul edilen matematikçi. Hayatının büyük bir bölümünde kördü, ancak görme yetisini kaybetmesi ona daha da üretken olması için bir neden verdi. Adını taşıyan birkaç formül var ve az önce baktığımız formüle bazen Euler çokyüzlü formülü denir.
Bir açıklama var. Ancak Euler'in formülü, yalnızca belirli kurallara uyan çokyüzlüler için çalışır. Formun herhangi bir deliği olmaması gerektiği gerçeğinde yalan söylüyorlar. Ve kendini aşması kabul edilemez. Bir polihedron, aynı tepe noktasına sahip iki küp gibi, birleştirilmiş iki parçadan da oluşamaz. Euler, araştırmasının sonucundan 1750'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bahsetti. Daha sonra, yeni keşfinin kanıtını nasıl bulmaya çalıştığını anlattığı iki makale yayınladı. Aslında V + F - E'ye farklı bir cevap veren formlar var. F + V - E=X toplamının cevabına Euler karakteristiği denir. Onun başka bir yönü var. Hatta bazı şekiller negatif bir Euler özelliğine sahip olabilir
Grafik Teorisi
Bazen Descartes'ın Euler teoremini daha önce türettiği iddia edilir. Bu bilim adamı, istenen formülü elde etmesine izin verecek üç boyutlu çokyüzlüler hakkında gerçekleri keşfetmesine rağmen, bu ek adımı atmadı. Bugün Euler, çizge teorisinin "babası" olarak kabul edilmektedir. Fikirlerini kullanarak Königsberg köprüsü sorununu çözdü. Ancak bilim adamı, çokyüzlüye bağlamda bakmadı.grafik teorisi. Euler, bir polihedronun daha basit parçalara ayrışmasına dayanan bir formülün kanıtını vermeye çalıştı. Bu girişim, kanıt için modern standartların gerisinde kalıyor. Euler formülü için ilk doğru gerekçeyi vermemiş olsa da, yapılmamış varsayımlar kanıtlanamaz. Ancak daha sonra doğrulanan sonuçlar, Euler teoreminin günümüzde de kullanılmasını mümkün kılmaktadır. İlk kanıt matematikçi Adrian Marie Legendre tarafından elde edildi.
Euler formülünün kanıtı
Euler önce çokyüzlü formülü çokyüzlüler üzerinde bir teorem olarak formüle etti. Bugün genellikle bağlantılı grafiklerin daha genel bağlamında ele alınmaktadır. Örneğin, aynı bölümde bulunan noktalar ve bunları birbirine bağlayan doğru parçalarından oluşan yapılar olarak. Augustin Louis Cauchy, bu önemli bağlantıyı bulan ilk kişiydi. Euler teoreminin bir kanıtı olarak hizmet etti. Özünde, bir dışbükey çokyüzlü (ya da bugün böyle denir) grafiğinin bir küreye topolojik olarak homeomorfik olduğunu, düzlemsel bağlantılı bir grafiğe sahip olduğunu fark etti. Ne olduğunu? Düzlemsel grafik, kenarları yalnızca bir tepe noktasında buluşacak veya kesişecek şekilde düzlemde çizilen bir grafiktir. Euler teoremi ve grafikler arasındaki bağlantı burada bulundu.
Sonucun öneminin bir göstergesi, David Epstein'ın on yedi farklı kanıt toplayabilmesidir. Euler'in çokyüzlü formülünü doğrulamanın birçok yolu vardır. Bir anlamda en açık ispatlar matematiksel tümevarım kullanan yöntemlerdir. Sonuç kanıtlanabilirgrafiğin kenarlarının, yüzlerinin veya köşelerinin sayısı boyunca çizin.
Rademacher ve Toeplitz'in Kanıtı
Özellikle çekici olan, Von Staudt'un yaklaşımına dayanan aşağıdaki Rademacher ve Toeplitz kanıtıdır. Euler teoremini doğrulamak için, G'nin bir düzleme gömülü bağlantılı bir grafik olduğunu varsayalım. Şemaları varsa, bağlı kalma özelliğini koruyacak şekilde her birinden bir kenarı hariç tutmak mümkündür. Bağlı grafa kapanmadan gitmek için çıkarılan parçalar ile sonsuz kenar olmayanlar arasında bire bir denklik vardır. Bu araştırma, "yönlendirilebilir yüzeyler"in Euler karakteristiği olarak adlandırılan şekilde sınıflandırılmasına yol açtı.
Ürdün eğrisi. Teorem
Euler teoreminin çokyüzlü formülünün grafikler için ispatında doğrudan veya dolaylı olarak kullanılan ana tez, Jordan eğrisine bağlıdır. Bu fikir genelleme ile ilgilidir. Herhangi bir basit kapalı eğrinin düzlemi üç kümeye böldüğünü söylüyor: Üzerinde, içinde ve dışında noktalar. Euler'in çokyüzlü formülüne ilgi on dokuzuncu yüzyılda geliştikçe, onu genelleştirmek için birçok girişimde bulunuldu. Bu araştırma cebirsel topolojinin gelişiminin temellerini attı ve onu cebir ve sayılar teorisi ile ilişkilendirdi.
Moebius grubu
Kısa sürede bazı yüzeylerin küresel olarak değil, yalnızca yerel olarak tutarlı bir şekilde "yönlendirilebileceği" keşfedildi. Tanınmış Möbius grubu, bu tür bir örnek teşkil etmektedir.yüzeyler. Johann Listing tarafından biraz daha önce keşfedildi. Bu kavram, bir grafiğin cinsi kavramını içerir: en az sayıda tanımlayıcı g. Kürenin yüzeyine eklenmelidir ve uzatılmış yüzeye, kenarları sadece köşelerde buluşacak şekilde gömülebilir. Öklid uzayındaki herhangi bir yönlendirilebilir yüzeyin, belirli sayıda tutamağa sahip bir küre olarak kabul edilebileceği ortaya çıktı.
Euler diyagramı
Bilim adamı, bugün hala kullanılan başka bir keşif yaptı. Bu Euler diyagramı, genellikle kümeler veya gruplar arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılan dairelerin grafik bir temsilidir. Grafikler genellikle dairelerin üst üste geldiği alanlarda karışan renkleri içerir. Kümeler tam olarak daireler veya ovallerle temsil edilir, ancak onlar için başka şekiller de kullanılabilir. Bir içerme, Euler çemberleri adı verilen elipslerin örtüşmesiyle temsil edilir.
Kümeleri ve alt kümeleri temsil ederler. İstisna, örtüşmeyen çevrelerdir. Euler diyagramları diğer grafik gösterimlerle yakından ilişkilidir. Çoğu zaman kafaları karışır. Bu grafik gösterime Venn diyagramları denir. Söz konusu setlere bağlı olarak her iki versiyon da aynı görünebilir. Bununla birlikte, Venn diyagramlarında, örtüşen daireler, kümeler arasındaki ortaklığın zorunlu olarak değil, ancak etiketleri arasında değilse olası bir mantıksal ilişkiyi gösterir.kesişen daire. 1960'ların yeni matematiksel hareketinin bir parçası olarak küme teorisini öğretmek için her iki seçenek de benimsendi.
Fermat ve Euler teoremleri
Euler matematik biliminde gözle görülür bir iz bıraktı. Cebirsel sayılar teorisi, kendi adını taşıyan bir teorem ile zenginleştirilmiştir. Aynı zamanda başka bir önemli keşfin bir sonucudur. Bu sözde genel cebirsel Lagrange teoremidir. Euler'in adı da Fermat'ın küçük teoremi ile ilişkilidir. p bir asal sayıysa ve a, p'ye bölünemeyen bir tam sayıysa, o zaman:
ap-1 - 1, p ile bölünebilir.
Bazen aynı keşfin farklı bir adı vardır, çoğu zaman yabancı literatürde bulunur. Fermat'ın Noel teoremi gibi geliyor kulağa. Gerçek şu ki, keşif 25 Aralık 1640 arifesinde bir bilim adamının gönderdiği bir mektup sayesinde biliniyordu. Ancak ifadenin kendisiyle daha önce karşılaşıldı. Albert Girard adlı başka bir bilim adamı tarafından kullanıldı. Fermat sadece teorisini kanıtlamaya çalıştı. Yazar başka bir mektubunda sonsuz iniş yönteminden ilham aldığını ima eder. Ama herhangi bir kanıt sunmadı. Daha sonra Eider de aynı yönteme başvurdu. Ve ondan sonra - Lagrange, Gauss ve Minkosky dahil olmak üzere diğer birçok ünlü bilim insanı.
Kimliklerin özellikleri
Fermat'ın Küçük Teoremi, Euler nedeniyle sayılar teorisinden bir teoremin özel durumu olarak da adlandırılır. Bu teoride, Euler özdeşlik işlevi, belirli bir n tamsayısına kadar olan pozitif tam sayıları sayar. Onlar açısından asaln. Sayı teorisindeki Euler teoremi, Yunanca φ harfi kullanılarak yazılır ve φ(n)'ye benzer. Daha resmi olarak, gcd(n, k)'nin en büyük ortak böleninin 1 olduğu 1 ≦ k ≦ n aralığındaki k tam sayılarının sayısı olarak tanımlanabilir. Bu formun k tam sayılarına bazen toplam denir. Sayı teorisinin kalbinde, Euler özdeşlik fonksiyonu çarpımsaldır, yani iki sayı m ve n aralarında asal ise, o zaman φ(mn)=φ(m)φ(n). Ayrıca RSA şifreleme sisteminin tanımlanmasında önemli bir rol oynar.
Euler işlevi 1763'te tanıtıldı. Ancak o sırada matematikçi bunun için belirli bir sembol seçmedi. 1784 tarihli bir yayında, Euler bu işlevi daha ayrıntılı olarak inceledi ve onu temsil etmek için Yunanca π harfini seçti. James Sylvester bu özellik için "toplam" terimini kullandı. Bu nedenle Euler toplamı olarak da adlandırılır. 1'den büyük bir n pozitif tamsayının toplamı φ(n), n'den küçük ve n'ye göre asal olan pozitif tam sayıların sayısıdır. φ(1) 1 olarak tanımlanır. Euler işlevi veya phi(φ) işlevi şu şekildedir: çok önemli bir sayı-teorik asal sayılarla ve tam sayıların sözde sırası ile derinden ilişkili bir fonksiyon.
