Üçgen, yalnızca birbirine bağlı üç parçadan oluşan düzlemde kapalı en basit şekildir. Geometri problemlerinde, genellikle bu şeklin alanını belirlemek gerekir. Bunun için bilmeniz gerekenler nelerdir? Bir üçgenin üç kenarının alanı nasıl bulunur sorusuna yazımızda cevap vereceğiz.
Genel formül
Her öğrenci, bir üçgenin alanının, herhangi bir kenarının uzunluğunun - a yüksekliğinin yarısı - h, seçilen tarafa indirilmiş olarak hesaplandığını bilir. Karşılık gelen formül aşağıdadır: S=ah/2.
Bu ifade, en az iki kenar ve aralarındaki açının değeri biliniyorsa kullanılabilir. Bu durumda, sinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak h yüksekliğinin hesaplanması kolaydır. Ancak herkes bir üçgenin üç tarafındaki alanı nasıl bulacağını bilmiyor.
Heron'un Formülü
Nasıl sorusunun cevabı bu formüldür.üç taraf üçgenin alanını bulur. Bunu yazmadan önce, keyfi bir şeklin parçalarının uzunluklarını a, b ve c olarak gösterelim. Heron'un formülü şu şekilde yazılır: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))).
P, şeklin yarı çevresidir, yani: p=(a+b+c)/2.
Görünürdeki hantallığa rağmen, S alanı için yukarıdaki ifadenin hatırlanması kolaydır. Bunu yapmak için, önce üçgenin yarı çevresini hesaplamalı, ardından şeklin bir kenarının uzunluğu ile ondan çıkarmalı, elde edilen tüm farkları ve yarı çevrenin kendisini çarpmalısınız. Son olarak, ürünün karekökünü alın.
Bu formül adını çağımızın başında yaşamış olan İskenderiyeli Heron'dan almıştır. Modern tarih, karşılık gelen hesaplamaları yapmak için bu ifadeyi ilk uygulayanın bu filozof olduğuna inanmaktadır. Bu formül, MS 60 yılına dayanan Metrica'sında yayınlanmıştır. Heron'dan iki yüzyıl önce yaşayan Arşimet'in bazı eserlerinin, Yunan filozofunun formülü zaten bildiğine dair işaretler içerdiğine dikkat edin. Ayrıca eski Çinliler, üç kenarı bilerek bir üçgenin alanını nasıl bulacağını da biliyorlardı.
Heron'un formülünün varlığını bilmeden problemin çözülebileceğini unutmamak önemlidir. Bunu yapmak için üçgene birkaç yükseklik çizin ve uygun denklem sistemini derleyerek önceki paragraftaki genel formülü kullanın.
Heron'un ifadesi, rastgele çokgenlerin alanlarını, onları böldükten sonra hesaplamak için kullanılabilir.üçgenler ve elde edilen köşegenlerin uzunluklarının hesaplanması.
Problem çözme örneği
Üç kenardaki bir üçgenin alanını nasıl bulacağımızı bilerek, aşağıdaki problemi çözerek bilgimizi pekiştirelim. Şeklin kenarları 5 cm, 4 cm ve 3 cm olsun. Alanı bulun.
Bir üçgenin üç kenarı bilinir, bu nedenle Heron formülünü kullanabilirsiniz. Yarı çevreyi ve gerekli farklılıkları hesaplıyoruz, elimizde:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Sonra alanı elde ederiz: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Problemin durumunda verilen üçgen dik açılıdır, bu da Pisagor teoremini kullanıp kullanmadığınızı kontrol etmek kolaydır. Böyle bir üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısı olduğundan, şunu elde ederiz: S=43/2=6 cm2.
Sonuç değeri, Heron'un formülüyle aynıdır, bu da ikincisinin geçerliliğini doğrular.
