Steiner teoremi veya paralel eksenler teoremi

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Dönme hareketinin matematiksel açıklamasında sistemin eksene göre eylemsizlik momentinin bilinmesi önemlidir. Genel durumda, bu miktarı bulma prosedürü, entegrasyon sürecinin uygulanmasını içerir. Sözde Steiner teoremi hesaplamayı kolaylaştırır. Makalede daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Atalet momenti nedir?

Steiner teoreminin formülünü vermeden önce, eylemsizlik momenti kavramıyla ilgilenmek gerekir. Diyelim ki belirli bir kütleye ve keyfi şekle sahip bir cisim var. Bu cisim bir madde noktası olabileceği gibi iki boyutlu veya üç boyutlu herhangi bir nesne (çubuk, silindir, top vb.) olabilir. Söz konusu nesne, sabit açısal ivmesi α olan bir eksen etrafında dairesel bir hareket yapıyorsa, aşağıdaki denklem yazılabilir:

M=Iα

Burada M değeri, tüm sisteme ivme α veren kuvvetlerin toplam momentini temsil eder. Aralarındaki orantı katsayısı - I, denireylemsizlik momenti. Bu fiziksel miktar aşağıdaki genel formül kullanılarak hesaplanır:

I=∫_m (r²dm)

Burada r, dm kütleli eleman ile dönme ekseni arasındaki mesafedir. Bu ifade, r² kare uzaklıklarının ve temel kütle dm'nin çarpımlarının toplamını bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir. Yani, atalet momenti, cismin onu lineer ataletten ayıran saf bir özelliği değildir. Dönen nesne boyunca kütlenin dağılımına, ayrıca eksene olan mesafeye ve vücudun ona göre yönelimine bağlıdır. Örneğin, kütle merkezi ve ucu etrafında döndürülen bir çubuk farklı bir I değerine sahip olacaktır.

Atalet momenti ve Steiner teoremi

Ünlü İsviçreli matematikçi Jakob Steiner, paralel eksenler üzerindeki teoremi ve şimdi kendi adını taşıyan eylemsizlik momentini kanıtladı. Bu teorem, herhangi bir dönme eksenine göre keyfi geometriye sahip herhangi bir katı cisim için atalet momentinin, cismin kütle merkezini kesen ve birinciye paralel olan eksen etrafındaki eylemsizlik momentinin toplamına eşit olduğunu varsayar., ve vücut kütlesi çarpı bu eksenler arasındaki mesafenin karesi. Matematiksel olarak bu formül şu şekilde yazılır:

I_Z=I_O + ml²

I_Z ve I_O - Z ekseni ve ona paralel olan O ekseni etrafında atalet momentleri vücudun kütle merkezi boyunca, l - Z ve O çizgileri arasındaki mesafe.

Teorem, I_O değerini bilerek, hesaplamayı sağlarO'ya paralel bir eksen hakkında herhangi bir an I_Z.

Teoremin ispatı

Steiner teoremi formülünü kendiniz kolayca elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için, xy düzleminde rastgele bir cisim düşünün. Koordinatların orijini bu cismin kütle merkezinden geçsin. Xy düzlemine dik orijinden geçen I_O eylemsizlik momentini hesaplayalım. Vücudun herhangi bir noktasına olan uzaklık r=√ (x² + y²) formülüyle ifade edildiğinden, integrali alırız:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Şimdi ekseni paralel x ekseni boyunca l mesafesi kadar, örneğin pozitif yönde hareket ettirelim, o zaman yeni eylemsizlik momenti ekseni için hesaplama şöyle görünecektir:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Tam kareyi parantez içinde genişletin ve integralleri bölün, şunu elde ederiz:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Bu terimlerden ilki I_O değeridir, üçüncü terim entegrasyondan sonra l²m terimini verir, ve burada ikinci terim sıfırdır. Belirtilen integralin sıfırlanması, x ve kütle elemanlarının dm çarpımından alınmasından kaynaklanmaktadır.kütle merkezi orijinde olduğu için ortalama sıfır verir. Sonuç olarak, Steiner teoreminin formülü elde edilir.

Düzlemde ele alınan durum, üç boyutlu bir gövdeye genellenebilir.

Bir çubuk örneğinde Steiner formülünü kontrol etme

Yukarıdaki teoremi nasıl kullanacağınızı göstermek için basit bir örnek verelim.

L uzunluğunda ve m kütlesinde bir çubuk için, eylemsizlik momentinin I_O(eksen kütle merkezinden geçer) m'ye eşit olduğu bilinmektedir L² /12 ve I_Z(eksen çubuğun ucundan geçer) momenti mL'ye eşittir 2^{/3. Bu verileri Steiner teoremini kullanarak kontrol edelim. İki aks arasındaki mesafe L/2 olduğundan, I}Z_: momentini elde ederiz.

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Yani, Steiner formülünü kontrol ettik ve I_Z için kaynaktakiyle aynı değeri elde ettik.

Benzer hesaplamalar diğer cisimler (silindir, bilye, disk) için gerekli atalet momentleri elde edilirken ve entegrasyon yapılmadan yapılabilir.

Atalet momenti ve dik eksenler

Değerlendirilen teorem paralel eksenlerle ilgilidir. Bilginin eksiksizliği için, dik eksenler için bir teorem vermek de yararlıdır. Aşağıdaki gibi formüle edilmiştir: keyfi şekle sahip düz bir nesne için, ona dik bir eksen etrafındaki atalet momenti, karşılıklı olarak dik ve uzanan iki eksen etrafındaki iki atalet momentinin toplamına eşit olacaktır.eksen nesnesinin düzleminde, üç eksenin tümü aynı noktadan geçen. Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılır:

I_z=I_x + I_y

Burada z, x, y birbirine dik üç dönme eksenidir.

Bu teorem ile Steiner teoremi arasındaki temel fark, onun yalnızca düz (iki boyutlu) katı nesnelere uygulanabilir olmasıdır. Bununla birlikte, pratikte, bedeni zihinsel olarak ayrı katmanlara bölerek ve ardından elde edilen atalet momentlerini ekleyerek yaygın olarak kullanılır.