Uzayda geometrik problemleri çözerken, genellikle farklı uzamsal nesneler arasındaki açıları hesaplamanın gerekli olduğu durumlar vardır. Bu yazımızda düz bir doğru ile düzlemler arasındaki açıları bulma konusunu ele alacağız.
Uzaydaki çizgi
Düzlemdeki herhangi bir düz çizginin aşağıdaki eşitlikle tanımlanabileceği bilinmektedir:
y=ax + b
Burada a ve b bazı sayılardır. Aynı ifade ile uzayda bir doğruyu temsil edersek, z eksenine paralel bir düzlem elde ederiz. Uzamsal çizginin matematiksel tanımı için iki boyutlu duruma göre farklı bir çözüm yöntemi kullanılır. "Yön vektörü" kavramının kullanılmasından oluşur.
Düz bir çizginin yönlendirici vektörü, uzaydaki yönünü gösterir. Bu parametre satıra aittir. Uzayda sonsuz sayıda paralel vektör kümesi olduğundan, dikkate alınan geometrik nesneyi benzersiz bir şekilde belirlemek için, ona ait noktanın koordinatlarını da bilmek gerekir.
Varsanokta P(x0; y0; z0) ve yön vektörü v¯(a; b; c), o zaman düz bir çizginin denklemi şu şekilde verilebilir:
(x; y; z)=P + αv¯ veya
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Bu ifadeye düz bir çizginin parametrik vektör denklemi denir. α katsayısı, kesinlikle herhangi bir gerçek değeri alabilen bir parametredir. Bir çizginin koordinatları, bu eşitlik genişletilerek açıkça gösterilebilir:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Düzlem denklemi
Uzayda bir düzlem için denklem yazmanın birkaç biçimi vardır. Burada, iki düzlem arasındaki veya bunlardan biri ile düz bir çizgi arasındaki açıları hesaplarken en sık kullanılan bunlardan birini ele alacağız.
İstenen düzleme dik olan bir n¯(A; B; C) vektörü biliniyorsa ve P(x0; y noktası) 0; z0), buna aitse, ikincisi için genel denklem şu şekildedir:
Ax + By + Cz + D=0 burada D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Oldukça basit olan bu ifadenin türetilmesini atladık. Burada sadece, düzlem denklemindeki değişkenlerin katsayılarını bilerek, ona dik olan tüm vektörleri kolayca bulabileceğimizi not ediyoruz. İkincisine normal denir ve eğik ile düzlem arasındaki ve arasındaki açıların hesaplanmasında kullanılır.keyfi analoglar.
Uçakların konumu ve aralarındaki açının formülü
Diyelim ki iki uçak var. Uzaydaki göreceli konumları için seçenekler nelerdir. Düzlem iki sonsuz boyuta ve bir sıfıra sahip olduğundan, karşılıklı yönelimleri için yalnızca iki seçenek mümkündür:
- birbirlerine paralel olacaklar;
- üst üste gelebilirler.
Düzlemler arasındaki açı, yön vektörleri arasındaki, yani normalleri arasındaki indekstir n1¯ ve n2¯.
Açıkçası, düzleme paralellerse, aralarındaki kesişme açısı sıfırdır. Kesişirlerse, sıfırdan farklıdır, ancak her zaman keskindir. Özel bir kesişme durumu, düzlemler birbirine dik olduğunda 90o açısı olacaktır.
n1¯ ve n2¯ arasındaki α açısı, bu vektörlerin skaler çarpımından kolayca belirlenir. Yani formül şu şekilde gerçekleşir:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Bu vektörlerin koordinatlarının şu şekilde olduğunu varsayalım: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Ardından, vektörlerin skaler çarpımını ve modüllerini koordinatları üzerinden hesaplamak için formüller kullanılarak yukarıdaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Geniş açıların değerlerini hariç tutmak için paydaki modül ortaya çıktı.
Düzlemlerin kesişim açısını belirlemek için problem çözme örnekleri
Düzlemler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı bilerek aşağıdaki problemi çözeceğiz. Denklemleri şu şekilde olan iki düzlem verilmiştir:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Uçaklar arasındaki açı nedir?
Sorunun sorusunu cevaplamak için, düzlemin genel denklemindeki değişkenlerin katsayılarının kılavuz vektörün koordinatları olduğunu hatırlayalım. Belirtilen düzlemler için normallerinin aşağıdaki koordinatlarına sahibiz:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Şimdi bu vektörlerin ve modüllerinin skaler çarpımını buluyoruz, elimizde:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Artık bulunan sayıları önceki paragrafta verilen formülde değiştirebilirsiniz. Şunu elde ederiz:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Sonuçtaki değer, koşulda belirtilen düzlemlerin dar bir kesişme açısına karşılık gelirgörevler.
Şimdi başka bir örnek düşünün. İki uçak verildi:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Kesişiyorlar mı? Yön vektörlerinin koordinatlarının değerlerini yazalım, skaler çarpımlarını ve modüllerini hesaplayalım:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Öyleyse kesişim açısı:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Bu açı, düzlemlerin kesişmediğini, paralel olduğunu gösterir. Birbirleriyle uyuşmadıkları gerçeğini kontrol etmek kolaydır. Bunun için birincisine ait keyfi bir noktayı alalım, örneğin, P(0; 3; 2). Koordinatlarını ikinci denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Yani, P noktası yalnızca birinci düzleme aittir.
Yani normalleri olduğunda iki düzlem paraleldir.
Düzlem ve düz çizgi
Bir düzlem ve bir düz çizgi arasındaki göreli konumun düşünülmesi durumunda, iki düzleme göre birkaç seçenek daha vardır. Bu gerçek, düz çizginin tek boyutlu bir nesne olduğu gerçeğiyle bağlantılıdır. Doğru ve düzlem şunlar olabilir:
- karşılıklı paralel, bu durumda düzlem doğruyu kesmez;
- ikincisi uçağa ait olabilir, aynı zamanda ona paralel olacaktır;
- her iki nesne debir açıyla kesişir.
Kesişme açısı kavramının tanıtılmasını gerektirdiği için önce son durumu ele alalım.
Doğru ve düzlem, aralarındaki açı
Düz bir doğru bir düzlemi keserse, buna eğimli denir. Kesişme noktasına eğimin tabanı denir. Bu geometrik cisimler arasındaki açıyı belirlemek için herhangi bir noktadan düzleme dik bir doğruyu indirmek gerekir. Daha sonra dikeyin düzlemle kesişme noktası ve eğik çizginin onunla kesişme yeri düz bir çizgi oluşturur. İkincisi, orijinal çizginin söz konusu düzleme izdüşümü olarak adlandırılır. Çizgi ile izdüşümü arasındaki dar açı gerekli olandır.
Düzlem ile eğik arasındaki açının biraz kafa karıştırıcı tanımı aşağıdaki şekli netleştirecektir.
Burada ABO açısı, AB doğrusu ile a düzlemi arasındaki açıdır.
Bunun formülünü yazmak için bir örnek düşünün. Denklemlerle tanımlanan bir düz çizgi ve bir düzlem olsun:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Doğru ve düzlemin yön vektörleri arasındaki skaler ürünü bulursanız, bu nesneler için istenen açıyı hesaplamak kolaydır. Ortaya çıkan dar açı 90o'dan çıkarılmalı, ardından düz bir çizgi ile bir düzlem arasında elde edilmelidir.
Yukarıdaki şekil, bulmak için açıklanan algoritmayı göstermektedir.düşünülen açı. Burada β, normal ile çizgi arasındaki açıdır ve α, çizgi ile düzlem üzerindeki izdüşümü arasındadır. Toplamlarının 90o olduğu görülebilir.
Yukarıda düzlemler arası açı nasıl bulunur sorusuna cevap veren bir formül sunuldu. Şimdi düz bir çizgi ve bir düzlem için karşılık gelen ifadeyi veriyoruz:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Formüldeki modül yalnızca dar açıların hesaplanmasına izin verir. Trigonometrik fonksiyonlar (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) arasında karşılık gelen indirgeme formülünün kullanılması nedeniyle arkkozin yerine arksinüs işlevi göründü.
Sorun: Bir düzlem düz bir çizgiyle kesişiyor
Şimdi yukarıdaki formülle nasıl çalışılacağını gösterelim. Problemi çözelim: y ekseni ile denklemin verdiği düzlem arasındaki açıyı hesaplamak gerekiyor:
y - z + 12=0
Bu uçak resimde gösterilmiştir.
Y ve z eksenlerini sırasıyla (0; -12; 0) ve (0; 0; 12) noktalarında kestiğini ve x eksenine paralel olduğunu görebilirsiniz.
y çizgisinin yön vektörü koordinatlara sahiptir (0; 1; 0). Belirli bir düzleme dik olan bir vektör, (0; 1; -1) koordinatlarıyla karakterize edilir. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişim açısı için formülü uygularız, şunu elde ederiz:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Sorun: düzleme paralel düz çizgi
Şimdi karar verelimsorusu farklı bir şekilde ortaya konan önceki soruna benzer. Düzlem ve doğrunun denklemleri bilinmektedir:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Bu geometrik nesnelerin birbirine paralel olup olmadığını bulmak gerekiyor.
İki vektörümüz var: doğrunun yönü (0; 2; 2) ve düzlemin yönü (1; 1; -1). Nokta çarpımlarını bulun:
01 + 12 - 12=0
Sonuçtaki sıfır, bu vektörler arasındaki açının 90o olduğunu gösterir, bu da doğrunun ve düzlemin paralel olduğunu kanıtlar.
Şimdi bu doğrunun sadece paralel mi yoksa aynı zamanda düzlemin içinde mi olduğunu kontrol edelim. Bunu yapmak için çizgi üzerinde rastgele bir nokta seçin ve uçağa ait olup olmadığını kontrol edin. Örneğin, λ=0 alalım, o zaman P(1; 0; 0) noktası doğruya aittir. P: düzleminin denkleminde yerine koyun
1 - 3=-2 ≠ 0
P noktası uçağa ait değil, bu da tüm doğrunun onun içinde olmadığı anlamına gelir.
Değerlendirilen geometrik nesneler arasındaki açıları bilmek nerede önemlidir?
Yukarıdaki formüller ve problem çözme örnekleri sadece teorik açıdan ilgi çekici değildir. Genellikle prizmalar veya piramitler gibi gerçek üç boyutlu şekillerin önemli fiziksel miktarlarını belirlemek için kullanılırlar. Şekillerin hacimlerini ve yüzeylerinin alanlarını hesaplarken düzlemler arasındaki açıyı belirleyebilmek önemlidir. Ayrıca, düz bir prizma durumunda, belirlemek için bu formülleri kullanmamak mümkünsebelirtilen değerler, o zaman herhangi bir piramit türü için kullanımları kaçınılmazdır.
Aşağıda, tabanı kare olan bir piramidin açılarını belirlemek için yukarıdaki teoriyi kullanma örneğini düşünün.
Piramit ve köşeleri
Aşağıdaki şekil, tabanında bir kenarı a olan bir kare bulunan bir piramidi göstermektedir. Figürün yüksekliği h'dir. İki köşe bulmanız gerekiyor:
- yan yüzey ve taban arasında;
- yan kaburga ve taban arasında.
Problemi çözmek için önce koordinat sistemine girmeli ve ilgili köşelerin parametrelerini belirlemelisiniz. Şekil, koordinatların başlangıç noktasının kare tabanın merkezindeki noktayla çakıştığını göstermektedir. Bu durumda, temel düzlem şu denklemle tanımlanır:
z=0
Yani, herhangi bir x ve y için üçüncü koordinatın değeri her zaman sıfırdır. ABC yanal düzlemi, z eksenini B(0; 0; h) noktasında ve y eksenini (0; a/2; 0) noktasında keser. x eksenini geçmez. Bu, ABC düzleminin denkleminin şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:
y / (a / 2) + z / h=1 veya
2hy + az - ah=0
Vektör AB¯ bir yan kenardır. Başlangıç ve bitiş koordinatları: A(a/2; a/2; 0) ve B(0; 0; h). Sonra vektörün koordinatları:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Gerekli tüm denklemleri ve vektörleri bulduk. Şimdi dikkate alınan formülleri kullanmak için kalır.
Önce piramidin tabanının düzlemleri arasındaki açıyı hesaplıyoruzve yan. Karşılık gelen normal vektörler şunlardır: n1¯(0; 0; 1) ve n2¯(0; 2h; a). O zaman açı şöyle olacaktır:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Düzlem ve AB kenarı arasındaki açı şöyle olacaktır:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Gerekli açıları elde etmek için tabanın a tarafının belirli değerlerini ve h yüksekliğinin yerini almaya devam ediyor.
