Paralel çizgiler arasındaki mesafe. Paralel düzlemler arasındaki mesafe

İçindekiler:

Paralel çizgiler arasındaki mesafe. Paralel düzlemler arasındaki mesafe
Paralel çizgiler arasındaki mesafe. Paralel düzlemler arasındaki mesafe
Anonim

Doğru ve düzlem, 2B ve 3B uzayda farklı şekiller oluşturmak için kullanılabilecek en önemli iki geometrik unsurdur. Paralel çizgiler ve paralel düzlemler arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı düşünün.

Matematik görevi düz çizgi

Okul geometri dersinden, iki boyutlu bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir çizginin aşağıdaki biçimde belirtilebileceği bilinmektedir:

y=kx + b.

k ve b sayılardır (parametreler). Bir düzlemde bir çizgiyi temsil etmenin yazılı şekli, üç boyutlu uzayda z eksenine paralel olan bir düzlemdir. Bunu göz önünde bulundurarak, bu makalede, düz bir çizginin matematiksel ataması için daha uygun ve evrensel bir form kullanacağız - bir vektör.

Doğrumuzun bir u¯(a, b, c) vektörüne paralel olduğunu ve P(x0,noktasından geçtiğini varsayalım.y0, z0). Bu durumda, vektör biçiminde denklemi şu şekilde temsil edilecektir:

(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).

Burada λ herhangi bir sayıdır. Yazılı ifadeyi genişleterek koordinatları açıkça temsil edersek, düz bir çizgi yazmanın parametrik bir formunu elde ederiz.

Paralel çizgiler arasındaki mesafeyi belirlemenin gerekli olduğu çeşitli problemleri çözerken bir vektör denklemi ile çalışmak uygundur.

Çizgiler ve aralarındaki mesafe

Bir düzlemde paralel çizgiler
Bir düzlemde paralel çizgiler

Yalnızca paralel olduklarında çizgiler arasındaki mesafeden bahsetmek mantıklıdır (üç boyutlu durumda, eğri çizgiler arasında sıfır olmayan bir mesafe de vardır). Doğrular kesişiyorsa, birbirlerinden sıfır uzaklıkta oldukları açıktır.

Paralel çizgiler arasındaki mesafe, onları birleştiren dikeyin uzunluğudur. Bu göstergeyi belirlemek için, çizgilerden birinde rastgele bir nokta seçmek ve ondan diğerine bir dikey bırakmak yeterlidir.

İstenen mesafeyi bulma prosedürünü kısaca açıklayalım. Aşağıdaki genel biçimde sunulan iki doğrunun vektör denklemlerini bildiğimizi varsayalım:

(x, y, z)=P + λu¯;

(x, y, z)=Q + βv¯.

Bu doğrular üzerinde, kenarlardan biri PQ ve diğeri, örneğin, u olacak şekilde bir paralelkenar oluşturun. Açıktır ki, bu şeklin P noktasından çizilen yüksekliği, gerekli dikmenin uzunluğudur. Bulmak için aşağıdaki basit uygulamayı uygulayabilirsiniz.formül:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Düz doğrular arasındaki uzaklık, aralarındaki dik doğru parçasının uzunluğu olduğundan, yazılı ifadeye göre, PQ¯ ve u¯ vektörünün modülünü bulmak ve sonucu şuna bölmek yeterlidir. u¯ vektörünün uzunluğu.

Düz çizgiler arasındaki mesafeyi belirleme görevine bir örnek

Paralel çizgiler arasındaki mesafe
Paralel çizgiler arasındaki mesafe

İki düz çizgi aşağıdaki vektör denklemleriyle verilmiştir:

(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);

(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).

Yazılı ifadelerden iki paralel çizgimiz olduğu açıktır. Gerçekten de, ilk satırın yön vektörünün koordinatlarını -1 ile çarparsak, ikinci satırın yön vektörünün koordinatlarını elde ederiz ki bu onların paralelliğini gösterir.

Düz çizgiler arasındaki mesafe, makalenin bir önceki paragrafında yazılan formül kullanılarak hesaplanacaktır. Bizde:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);

u¯=(-2, 1, 3).

Sonra şunu elde ederiz:

|u¯|=√14cm;

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 cm.

Not: P ve Q noktaları yerine, kesinlikle bu doğrulara ait olan herhangi bir nokta sorunu çözmek için kullanılabilir. Bu durumda, aynı d mesafesini elde ederiz.

Geometride bir düzlem ayarlama

Düzlem, nokta ve normal
Düzlem, nokta ve normal

Çizgiler arası mesafe sorusu yukarıda detaylı olarak tartışıldı. Şimdi paralel düzlemler arasındaki mesafeyi nasıl bulacağımızı gösterelim.

Herkes uçağın ne olduğunu temsil eder. Matematiksel tanıma göre, belirtilen geometrik eleman bir noktalar topluluğudur. Ayrıca, bu noktaları kullanarak tüm olası vektörleri oluşturursanız, hepsi tek bir vektöre dik olacaktır. İkincisi genellikle düzlemin normali olarak adlandırılır.

Üç boyutlu uzayda bir düzlemin denklemini belirtmek için, genellikle denklemin genel biçimi kullanılır. Şuna benziyor:

Ax + By + Cz + D=0.

Büyük Latin harflerinin bazı sayılar olduğu yerler. Bu tür bir düzlem denklemi kullanmak uygundur çünkü normal vektörün koordinatları onda açıkça verilmiştir. Onlar A, B, C.

Sadece normalleri paralel olduğunda iki düzlemin paralel olduğunu görmek kolaydır.

İki paralel düzlem arasındaki mesafe nasıl bulunur?

paralel düzlemler
paralel düzlemler

Belirtilen mesafeyi belirlemek için neyin tehlikede olduğunu net bir şekilde anlamalısınız. Birbirine paralel düzlemler arasındaki mesafe, onlara dik olan doğru parçasının uzunluğu olarak anlaşılır. Bu segmentin uçları uçaklara aittir.

Bu tür sorunları çözme algoritması basittir. Bunu yapmak için, iki düzlemden birine ait olan herhangi bir noktanın kesinlikle koordinatlarını bulmanız gerekir. O zaman şu formülü kullanmalısın:

d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).

Mesafe pozitif bir değer olduğundan, modül işareti paydadır. Yazılı formül evrenseldir, çünkü düzlemden kesinlikle herhangi bir geometrik elemana olan mesafeyi hesaplamanıza izin verir. Bu elemanın bir noktasının koordinatlarını bilmek yeterlidir.

Bütünlük adına, iki düzlemin normalleri birbirine paralel değilse, o zaman bu düzlemlerin kesişeceğini not edelim. Aralarındaki mesafe o zaman sıfır olacaktır.

Uçaklar arasındaki mesafeyi belirleme sorunu

Paralel ve kesişen düzlemler
Paralel ve kesişen düzlemler

İki düzlemin aşağıdaki ifadelerle verildiği bilinmektedir:

y/5 + x/(-3) + z/1=1;

-x + 3/5y + 3z – 2=0.

Uçakların paralel olduğunu kanıtlamak ve ayrıca aralarındaki mesafeyi belirlemek gerekir.

Problemin ilk kısmını cevaplamak için ilk denklemi genel bir forma getirmeniz gerekir. Segmentlerde bir denklemin sözde biçiminde verildiğine dikkat edin. Sol ve sağ kısımlarını 15 ile çarpın ve tüm terimleri denklemin bir tarafına taşıyın, şunu elde ederiz:

-5x + 3y + 15z – 15=0.

Düzlemlerin iki normal vektörünün koordinatlarını yazalım:

1¯=(-5, 3, 15);

2¯=(-1, 3/5, 3).

Görülebilir ki, n2¯ 5 ile çarpılırsa, tam olarak n1¯ koordinatlarını alacağız. Böylece, dikkate alınan düzlemlerparalel.

Paralel düzlemler arasındaki mesafeyi hesaplamak için, bunlardan ilkinin keyfi bir noktasını seçin ve yukarıdaki formülü kullanın. Örneğin, birinci düzleme ait (0, 0, 1) noktasını alalım. Sonra şunu elde ederiz:

d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=

=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.

İstenen mesafe 31 mm'dir.

Düzlem ve doğru arasındaki mesafe

Paralel düzlem ve çizgi
Paralel düzlem ve çizgi

Sağlanan teorik bilgi, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki mesafeyi belirleme problemini çözmemize de olanak tanır. Uçaklar arası hesaplamalar için geçerli olan formülün evrensel olduğu yukarıda belirtilmişti. Sorunu çözmek için de kullanılabilir. Bunu yapmak için verilen çizgiye ait herhangi bir noktayı seçmeniz yeterlidir.

Değerlendirilen geometrik elemanlar arasındaki mesafeyi belirlemedeki temel sorun, paralelliklerinin kanıtıdır (eğer değilse, o zaman d=0). Doğrunun normal ve yön vektörünün skaler çarpımını hesaplarsanız paralelliği kanıtlamak kolaydır. Ele alınan elemanlar paralel ise bu çarpım sıfıra eşit olacaktır.

Önerilen: