Düzlem denklemleri. iki düzlem arasındaki açı

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Bir nokta ve bir düz çizgi ile birlikte bir düzlem, temel bir geometrik unsurdur. Kullanımı ile mekansal geometride birçok figür inşa edilmiştir. Bu yazımızda iki düzlem arasındaki açı nasıl bulunur sorusunu daha detaylı olarak ele alacağız.

Konsept

İki düzlem arasındaki açıdan bahsetmeden önce, geometride hangi elementten bahsettiğimizi iyi anlamalısınız. Terminolojiyi anlayalım. Bir uçak, uzayda vektörleri aldığımız sonsuz bir noktalar topluluğudur. İkincisi, bir vektöre dik olacaktır. Genellikle düzlemin normali olarak adlandırılır.

Yukarıdaki şekil bir düzlemi ve ona ait iki normal vektörü göstermektedir. Her iki vektörün de aynı doğru üzerinde olduğu görülebilir. Aralarındaki açı 180o.

Denklemler

İki düzlem arasındaki açı, ele alınan geometrik elemanın matematiksel denklemi biliniyorsa belirlenebilir. Bu tür denklemlerin birkaç türü vardır,isimleri aşağıda listelenmiştir:

• genel tip;
• vektör;
• segmentlerde.

Bu üç tür, çeşitli türdeki sorunları çözmek için en uygun olanlardır, bu nedenle en sık kullanılırlar.

Genel tipte bir denklem şuna benzer:

Ax + By + Cz + D=0.

Burada x, y, z, verilen düzleme ait rastgele bir noktanın koordinatlarıdır. A, B, C ve D parametreleri sayılardır. Bu gösterimin rahatlığı, A, B, C sayılarının düzleme dik bir vektörün koordinatları olması gerçeğinde yatmaktadır.

Uçağın vektör formu şu şekilde temsil edilebilir:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Burada (a₂, b₂, c₂) ve (a ₁, b₁, c₁) - dikkate alınan düzleme ait iki koordinat vektörünün parametreleri. (x₀, y₀, z_{0) noktası da bu düzlemdedir. α ve β parametreleri bağımsız ve keyfi değerler alabilir.}

Son olarak, düzlemin segmentlerdeki denklemi aşağıdaki matematiksel biçimde temsil edilir:

x/p + y/q + z/l=1.

Burada p, q, l belirli sayılardır (negatif olanlar dahil). Bu tür bir denklem, p, q, l sayıları x, y ve z eksenleri ile kesişme noktalarını gösterdiğinden, bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlemi tasvir etmek gerektiğinde kullanışlıdır.uçak.

Her denklem türünün basit matematiksel işlemler kullanılarak başka herhangi birine dönüştürülebileceğini unutmayın.

İki düzlem arasındaki açının formülü

Şimdi aşağıdaki nüansı düşünün. Üç boyutlu uzayda, iki düzlem sadece iki şekilde yerleştirilebilir. Ya kesişir ya da paralel olur. İki düzlem arasındaki açı, kılavuz vektörleri (normal) arasında bulunan şeydir. Kesişen, 2 vektör 2 açı oluşturur (genel durumda dar ve geniş). Düzlemler arasındaki açının dar olduğu kabul edilir. Denklemi düşünün.

İki düzlem arasındaki açının formülü:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))).

Bu ifadenin n₁¯ ve n₂ normal vektörlerinin skaler çarpımının doğrudan bir sonucu olduğunu tahmin etmek kolaydır. ¯ dikkate alınan uçaklar için. Paydaki nokta çarpım modülü, θ açısının yalnızca 0^o ile 90^{o arasında değerler alacağını gösterir. Paydadaki normal vektörlerin modüllerinin çarpımı, uzunluklarının çarpımı anlamına gelir.}

Not, eğer (n₁¯n_{2¯)=0 ise, o zaman düzlemler dik açıyla kesişir.}

Örnek problem

İki düzlem arasındaki açı denilen şeyi bulduktan sonra, aşağıdaki problemi çözeceğiz. Örnek olarak. Bu nedenle, bu tür düzlemler arasındaki açıyı hesaplamak gerekir:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Problemi çözmek için uçakların yön vektörlerini bilmeniz gerekir. İlk düzlem için normal vektör: n₁¯=(2, -3, 0). İkinci düzlem normal vektörünü bulmak için, α ve β parametrelerinden sonraki vektörler çarpılmalıdır. Sonuç bir vektördür: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Açıyı θ belirlemek için önceki paragraftaki formülü kullanırız. Şunu elde ederiz:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Radyan cinsinden hesaplanan açı 31.26^o'a karşılık gelir. Böylece problemin durumundan gelen düzlemler 31, 26^{o. açısıyla kesişir.}