Geometride, şekilleri incelemek için iki önemli özellik kullanılır: kenarların uzunlukları ve aralarındaki açılar. Uzamsal figürler söz konusu olduğunda, bu özelliklere dihedral açılar eklenir. Ne olduğunu düşünelim ve ayrıca bir piramit örneğini kullanarak bu açıları belirleme yöntemini açıklayalım.
Dihedral açı kavramı
Herkes, kesişen iki doğrunun kesiştikleri noktada tepe noktasıyla bir açı oluşturduğunu bilir. Bu açı bir iletki ile ölçülebilir veya bunu hesaplamak için trigonometrik fonksiyonları kullanabilirsiniz. İki dik açının oluşturduğu açıya doğrusal denir.
Şimdi üç boyutlu uzayda düz bir çizgide kesişen iki düzlem olduğunu hayal edin. Resimde gösteriliyorlar.
Dihedral açı, kesişen iki düzlem arasındaki açıdır. Tıpkı lineer gibi, derece veya radyan cinsinden ölçülür. Düzlemlerin kesiştiği çizginin herhangi bir noktasına, iki dik açıyı geri yükleyin,bu düzlemlerde uzanıyorsa, aralarındaki açı istenen dihedral olacaktır. Bu açıyı belirlemenin en kolay yolu, düzlemlerin genel denklemlerini kullanmaktır.
Düzlemlerin denklemi ve aralarındaki açının formülü
Uzaydaki herhangi bir düzlemin genel anlamda denklemi şu şekilde yazılır:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Burada x, y, z düzleme ait noktaların koordinatlarıdır, A, B, C, D katsayıları bilinen bazı sayılardır. Dihedral açıları hesaplamak için bu eşitliğin uygunluğu, düzlemin yön vektörünün koordinatlarını açıkça içermesidir. Bunu n¯ ile göstereceğiz. Sonra:
n¯=(A; B; C).
n¯ vektörü düzleme diktir. İki düzlem arasındaki açı, onların yön vektörleri n1¯ ve n2¯ arasındaki açıya eşittir. Matematikten, iki vektörün oluşturduğu açının, skaler ürünlerinden benzersiz bir şekilde belirlendiği bilinmektedir. Bu, iki düzlem arasındaki dihedral açıyı hesaplamak için bir formül yazmanıza olanak tanır:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))).
Vektörlerin koordinatlarını değiştirirsek formül açıkça yazılacaktır:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Paydaki modulo işareti yalnızca dar açıyı tanımlamak için kullanılır, çünkü dihedral açı her zaman 90'dan küçük veya 90'a eşittiro.
Piramit ve köşeleri
Piramit, bir n-gon ve n üçgenin oluşturduğu bir şekildir. Burada n, piramidin tabanı olan çokgenin kenar sayısına eşit bir tamsayıdır. Bu uzamsal şekil, düz yüzlerden (yanlardan) oluştuğu için bir çokyüzlü veya çokyüzlüdür.
Bir piramit-çokyüzlülüğün dihedral açıları iki tip olabilir:
- taban ve kenar arasında (üçgen);
- iki taraf arasında.
Piramit düzgün kabul edilirse, onun için adlandırılmış açıları belirlemek kolaydır. Bunu yapmak için bilinen üç noktanın koordinatlarını kullanarak bir düzlem denklemi oluşturmalı ve ardından φ açısı için yukarıdaki paragrafta verilen formülü kullanmalısınız.
Aşağıda bir dörtgen düzgün piramidin tabanında dihedral açıları nasıl bulacağımızı gösterdiğimiz bir örnek veriyoruz.
Dörtgen bir düzenli piramit ve tabanında bir açı
Kare tabanlı düzgün bir piramidin verildiğini varsayalım. Karenin kenar uzunluğu a, şeklin yüksekliği h'dir. Piramidin tabanı ile kenarı arasındaki açıyı bulun.
Koordinat sisteminin orijinini karenin merkezine yerleştirelim. Daha sonra noktaların koordinatlarıResimde gösterilen A, B, C, D:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
ACB ve ADB uçaklarını düşünün. Açıkçası, ACB düzlemi için yön vektörü n1¯ şöyle olacaktır:
1¯=(0; 0; 1).
ADB düzleminin n2¯ yön vektörünü belirlemek için aşağıdakileri yapın: ona ait olan iki rastgele vektörü bulun, örneğin, AD¯ ve AB¯, sonra vektör çalışmalarını hesaplayın. Bunun sonucu n2¯ koordinatlarını verecektir. Bizde:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Bir vektörün bir sayı ile çarpılması ve bölünmesi yönünü değiştirmeyeceğinden, elde edilen n2¯'yi koordinatlarını -a'ya bölerek dönüştürürüz, şunu elde ederiz:
2¯=(h; 0; a/2).
ACB tabanı ve ADB yan düzlemleri için n1¯ ve n2¯ vektör kılavuzlarını tanımladık. Geriye φ açısı için formülü kullanmak kalıyor:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a) 2/4)).
Sonuçtaki ifadeyi dönüştürün ve şu şekilde yeniden yazın:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Düzenli bir dörtgen piramidin tabanındaki dihedral açı formülünü elde ettik. Şeklin yüksekliğini ve kenar uzunluğunu bilerek, φ açısını hesaplayabilirsiniz. Örneğin, taban kenarı 230,4 metre ve ilk yüksekliği 146.5 metre olan Keops piramidi için φ açısı 51.8o olacaktır.
Dörtgen bir düzgün piramidin dihedral açısını geometrik yöntemi kullanarak belirlemek de mümkündür. Bunu yapmak için, h yüksekliği, a/2 tabanının yarısı ve bir ikizkenar üçgenin özünden oluşan dik açılı bir üçgeni düşünmek yeterlidir.
