Katı geometri okul dersinde, üç uzamsal eksen boyunca sıfır olmayan boyutlara sahip en basit şekillerden biri dörtgen prizmadır. Makalede nasıl bir şekil olduğunu, hangi unsurlardan oluştuğunu ve ayrıca yüzey alanını ve hacmini nasıl hesaplayabileceğinizi düşünün.
Prizma kavramı
Geometride prizma, iki özdeş taban ve bu tabanların kenarlarını birbirine bağlayan yan yüzeylerden oluşan uzamsal bir şekildir. Her iki bazın da bir vektör tarafından paralel öteleme işlemi kullanılarak birbirine dönüştürüldüğüne dikkat edin. Prizmanın bu ataması, tüm kenarlarının her zaman paralelkenar olduğu gerçeğine yol açar.
Tabanın kenar sayısı üçten başlayarak isteğe bağlı olabilir. Bu sayı sonsuza gittiğinde, tabanı bir daire olduğundan ve yan paralelkenarlar birleşerek silindirik bir yüzey oluşturduğundan, prizma düzgün bir şekilde silindire dönüşür.
Herhangi bir çokyüzlü gibi, bir prizma şu şekilde karakterize edilir:kenarlar (şekli sınırlayan düzlemler), kenarlar (herhangi iki tarafın kesiştiği bölümler) ve köşeler (bir prizma için ikisi yanal ve üçüncüsü tabandır) üç kenarın birleşme noktalarıdır. Şeklin adlandırılmış üç öğesinin miktarları aşağıdaki ifadeyle birbirine bağlıdır:
P=C + B - 2
Burada P, C ve B sırasıyla kenarların, kenarların ve köşelerin sayısıdır. Bu ifade Euler teoreminin matematiksel gösterimidir.
Yukarıdaki resimde iki prizma görülüyor. Bunlardan birinin (A) tabanında düzgün bir altıgen bulunur ve yan taraflar tabanlara diktir. Şekil B başka bir prizmayı göstermektedir. Kenarları artık tabanlara dik değil ve taban düzgün bir beşgen.
Dörtgen prizma nedir?
Yukarıdaki açıklamadan da anlaşılacağı gibi, prizmanın türü öncelikle tabanı oluşturan çokgenin türüne göre belirlenir (her iki taban da aynıdır, dolayısıyla birinden bahsedebiliriz). Bu çokgen bir paralelkenarsa, dörtgen bir prizma elde ederiz. Bu nedenle, bu tür prizmanın tüm kenarları paralelkenardır. Dörtgen prizmanın kendi adı vardır - paralel yüzlü.
Paralel yüzün kenar sayısı altıdır ve her bir kenarda buna benzer bir paralel vardır. Kutunun tabanları iki kenarlı olduğu için kalan dördü yanaldır.
Paralelyüzün köşe sayısı sekizdir, prizmanın köşelerinin sadece taban çokgenlerinin köşelerinde oluştuğunu hatırlarsak bunu görmek kolaydır (4x2=8). Euler teoremini uygulayarak kenar sayısını elde ederiz:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 kaburgadan sadece 4'ü yanlardan bağımsız olarak oluşturulur. Kalan 8 tanesi şeklin taban düzlemlerinde yer alır.
Yazının devamında sadece dörtgen prizmalar hakkında konuşacağız.
Paralelyüz türleri
İlk sınıflandırma türü, altında yatan paralelkenarın özellikleridir. Şuna benzeyebilir:
- düzenli, açıları 90'a eşit olmayano;
- dikdörtgen;
- kare normal bir dörtgendir.
İkinci sınıflandırma türü, kenarın tabanla kesiştiği açıdır. Burada iki farklı durum mümkündür:
- bu açı düz değil, o zaman prizmaya eğik veya eğik denir;
- açı 90o, o zaman böyle bir prizma dikdörtgen veya sadece düzdür.
Üçüncü sınıflandırma türü, prizmanın yüksekliği ile ilgilidir. Prizma dikdörtgen ve tabanı kare veya dikdörtgen ise, buna küboid denir. Tabanda bir kare varsa, prizma dikdörtgendir ve yüksekliği karenin kenar uzunluğuna eşitse, o zaman iyi bilinen küp şeklini elde ederiz.
Prizma yüzeyi ve alanı
Bir prizmanın iki tabanında bulunan tüm noktaların kümesi(paralelkenarlar) ve yanlarında (dört paralelkenar) şeklin yüzeyini oluşturur. Bu yüzeyin alanı, taban alanı ve yan yüzey için bu değer hesaplanarak hesaplanabilir. Sonra toplamları istenen değeri verecektir. Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılır:
S=2So+ Sb
Burada So ve Sb sırasıyla taban ve yan yüzeyin alanıdır. İki taban olduğu için So önündeki 2 sayısı görünür.
Yazılan formülün sadece bir dörtgen prizmanın alanı için değil, herhangi bir prizma için geçerli olduğunu unutmayın.
Sp paralelkenarının alanının şu formülle hesaplandığını hatırlamakta fayda var:
Sp=ah
A ve h sembolleri sırasıyla kenarlarından birinin uzunluğunu ve bu tarafa çizilen yüksekliği gösterir.
Kare tabanlı dikdörtgen prizmanın alanı
Düzenli bir dörtgen prizmada taban karedir. Kesinlik için, tarafını a harfi ile gösteririz. Düzenli bir dörtgen prizmanın alanını hesaplamak için yüksekliğini bilmelisiniz. Bu niceliğin tanımına göre, bir tabandan diğerine bırakılan dikmenin uzunluğuna, yani aralarındaki mesafeye eşittir. h harfi ile gösterelim. Tüm yan yüzler, söz konusu prizmanın tipinin tabanlarına dik olduğundan, düzgün bir dörtgen prizmanın yüksekliği, yan kenarının uzunluğuna eşit olacaktır.
BBir prizmanın yüzey alanı için genel formül iki terimdir. Bu durumda tabanın alanını hesaplamak kolaydır, şuna eşittir:
So=a2
Yan yüzeyin alanını hesaplamak için şu şekilde tartışıyoruz: bu yüzey 4 özdeş dikdörtgenden oluşuyor. Ayrıca, her birinin kenarları a ve h'ye eşittir. Bu, Sb alanının şuna eşit olacağı anlamına gelir:
Sb=4ah
4a çarpımının kare tabanın çevresi olduğuna dikkat edin. Bu ifadeyi rastgele bir taban durumuna genellersek, o zaman bir dikdörtgen prizma için yan yüzey şu şekilde hesaplanabilir:
Sb=Poh
Po tabanın çevresidir.
Düzenli bir dörtgen prizmanın alanını hesaplama sorununa dönersek, son formülü yazabiliriz:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Eğik paralelyüzün alanı
Hesaplamak dikdörtgenden biraz daha zordur. Bu durumda, dörtgen prizmanın taban alanı, paralelkenar ile aynı formül kullanılarak hesaplanır. Değişiklikler, yanal yüzey alanının belirlenme şekliyle ilgilidir.
Bunu yapmak için, çevre boyunca yukarıdaki paragrafta verilen formülün aynısını kullanın. Sadece şimdi biraz farklı çarpanları olacak. Eğik prizma durumunda Sb için genel formül:
Sb=Psrc
Burada c şeklin yan kenarının uzunluğudur. Psr değeri dikdörtgen dilimin çevresidir. Bu ortam şu şekilde inşa edilmiştir: Tüm yan yüzleri, hepsine dik olacak şekilde bir düzlemle kesiştirmek gerekir. Ortaya çıkan dikdörtgen istenen kesim olacaktır.
Yukarıdaki şekil bir eğik kutu örneğini göstermektedir. Çapraz taralı bölümü yanlarla dik açı oluşturur. Bölümün çevresi Psr şeklindedir. Dört yükseklikteki yanal paralelkenardan oluşur. Bu dörtgen prizma için yan yüzey alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır.
Bir küboidin köşegen uzunluğu
Paralelyüzün köşegeni, onları oluşturan ortak kenarları olmayan iki köşeyi birleştiren bir segmenttir. Herhangi bir dörtgen prizmada sadece dört köşegen vardır. Tabanında dikdörtgen olan bir küboid için tüm köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.
Aşağıdaki şekil karşılık gelen şekli gösterir. Kırmızı segment köşegenidir.
Pisagor teoremini hatırlarsanız, uzunluğunu hesaplamak çok basittir. Her öğrenci istediği formülü alabilir. Şu forma sahiptir:
D=√(A2+ B2 + C2)
Burada D köşegenin uzunluğudur. Kalan karakterler kutunun kenarlarının uzunluklarıdır.
Birçok kişi paralelyüzün köşegenini kenarlarının köşegenleriyle karıştırır. Aşağıda renkli bir resim varsegmentler şeklin kenarlarının köşegenlerini temsil eder.
Her birinin uzunluğu da Pisagor teoremi tarafından belirlenir ve karşılık gelen kenar uzunluklarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
Prizma hacmi
Düzenli bir dörtgen prizmanın veya diğer prizma türlerinin alanına ek olarak, bazı geometrik problemleri çözmek için bunların hacmini de bilmelisiniz. Kesinlikle herhangi bir prizma için bu değer aşağıdaki formülle hesaplanır:
V=Soh
Prizma dikdörtgen ise, şeklin hacmini elde etmek için tabanının alanını hesaplamak ve kenar kenarının uzunluğu ile çarpmak yeterlidir.
Prizma düzgün bir dörtgen prizmaysa, hacmi:
V=a2h.
H yan kenarının uzunluğu a tabanının kenarına eşitse, bu formülün bir küpün hacmi için bir ifadeye dönüştürüldüğünü görmek kolaydır.
Kuboid ile ilgili problem
Çalışılan malzemeyi birleştirmek için aşağıdaki problemi çözeceğiz: Kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgen bir paralelyüz var. Yüzey alanını, köşegen uzunluğunu ve hacmini hesaplamak gerekiyor.
Kesinlik için, şeklin tabanının kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dikdörtgen olduğunu varsayacağız. O zaman alanı 12 cm2 ve nokta 14 cm'dir Prizmanın yüzey alanı için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Köşegenin uzunluğunu ve şeklin hacmini belirlemek için doğrudan yukarıdaki ifadeleri kullanabilirsiniz:
D=√(32+42+52)=7.071 cm;
V=345=60cm3.
Eğik paralel yüzlü sorun
Aşağıdaki şekil eğik bir prizmayı göstermektedir. Kenarları eşittir: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Bu şeklin yüzey alanını bulmanız gerekiyor.
Öncelikle tabanın alanını belirleyelim. Şekil, dar açının 50o olduğunu göstermektedir. O zaman alanı:
So=ha=günah(50o)ba
Yan yüzeyin alanını belirlemek için gölgeli dikdörtgenin çevresini bulmalısınız. Bu dikdörtgenin kenarları asin(45o) ve bsin(60o). O halde bu dikdörtgenin çevresi:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o)))
Bu kutunun toplam yüzey alanı:
S=2So+ Sb=2(günah(50o))ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Problemin koşulundaki verileri şeklin kenar uzunlukları ile değiştiririz, cevabı alırız:
S=458, 5496 cm3
Bu problemin çözümünden, eğik şekillerin alanlarını belirlemek için trigonometrik fonksiyonların kullanıldığı görülebilir.
