Bir daire içinde yazılı dörtgen. Dörtgen ABCD bir daire içine yazılmıştır

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Matematiğin cebir ve geometriye bölünmesiyle birlikte eğitim materyali daha da zorlaşıyor. Yeni rakamlar ve özel durumları ortaya çıkıyor. Malzemeyi iyi anlamak için nesnelerin kavramlarını, özelliklerini ve ilgili teoremleri incelemek gerekir.

Genel kavramlar

Dörtgen, geometrik şekil anlamına gelir. 4 noktadan oluşur. Üstelik 3 tanesi aynı düz çizgide yer almıyor. Belirtilen noktaları seri halinde bağlayan segmentler vardır.

Okul geometri dersinde incelenen tüm dörtgenler aşağıdaki şemada gösterilmiştir. Sonuç: Sunulan şekildeki herhangi bir nesne, önceki şeklin özelliklerine sahiptir.

Bir dörtgen aşağıdaki türlerden olabilir:

Paralelkenar. Karşı taraflarının paralelliği, karşılık gelen teoremlerle kanıtlanmıştır.
Trapez. Tabanları paralel olan dörtgen. Diğer iki taraf değil.
Dikdörtgen. 4 köşesi de olan bir şekil=90º.
Rhombus. Tüm kenarları eşit olan bir şekil.
Kare. Son iki rakamın özelliklerini birleştirir. Tüm kenarları eşittir ve tüm açıları doğrudur.

Bu konunun ana tanımı, daire içine alınmış bir dörtgendir. Aşağıdakilerden oluşur. Bu, çevresinde bir dairenin tanımlandığı bir şekildir. Tüm köşelerden geçmelidir. Bir daire içine yazılan bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360º'dir.

Her dörtgen yazılamaz. Bunun nedeni, 4 kenarın dik açıortaylarının bir noktada kesişmeme olasılığıdır. Bu, 4gen'i çevreleyen bir dairenin merkezini bulmayı imkansız hale getirecektir.

Özel durumlar

Her kuralın istisnaları vardır. Yani bu konuda da özel durumlar var:

Bu haliyle bir paralelkenar daire içine yazılamaz. Sadece onun özel durumu. Bu bir dikdörtgen.
Bir eşkenar dörtgenin tüm köşeleri çevre çizgisindeyse, o zaman karedir.
Yamuğun tüm köşeleri dairenin sınırındadır. Bu durumda ikizkenar bir figürden bahsederler.

Bir daire içinde yazılı bir dörtgenin özellikleri

Belirli bir konudaki basit ve karmaşık sorunları çözmeden önce, bilginizi doğrulamanız gerekir. Eğitim materyalini incelemeden tek bir örneği çözmek imkansızdır.

Teorem 1

Bir daire içine yazılan bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı 180º'dir.

bir daire içinde yazılı bir dörtgen özellikleri

Kanıt

Verilen: ABCD dörtgeni bir daire içine yazılmıştır. Merkezi O noktasıdır. _<A + _<C=180º ve _< olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. B + _<D=180º.

Sunulan rakamları dikkate almanız gerekiyor.

_{<A, O noktasında ortalanmış bir daire içinde yazılmıştır. ½ BCD (yarım yay) ile ölçülür.}

_{<C aynı daire içinde yazılmıştır. ½ KÖTÜ (yarım yay) ile ölçülür.}
BAD ve BCD tam bir daire oluşturur, yani büyüklükleri 360º'dir.

_<A + _{<C, temsil edilen yarım yayların toplamının yarısına eşittir.}

Dolayısıyla _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

daire içine alınmış bir dörtgenin açıları

Benzer şekilde, _<B ve _{<D için ispat. Ancak, sorunun ikinci bir çözümü var.}

Bir dörtgenin iç açılarının toplamının 360º olduğu bilinmektedir.

Çünkü _<A + _<C=180º. Buna göre, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorem 2

(Genellikle ters olarak adlandırılır) Bir dörtgende ise _<A + _<C=180º ve _{<B +} <_{D=180º (eğer zıtlarsa), o zaman böyle bir şeklin etrafında bir daire tanımlanabilir.}

Kanıt

180º olan ABCD dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı verilmiştir. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. ABCD etrafında bir çember çizilebileceğini kanıtlamamız gerekiyor.}

Geometri dersinden, bir dörtgenin 3 noktasından bir daire çizilebileceği bilinmektedir. Örneğin A, B, C noktalarını kullanabilirsiniz. D noktası nerede olacak? 3 tahmin var:

Çemberin içine girer. Bu durumda D çizgiye dokunmaz.
Dairenin dışında. Belirtilen çizginin çok ötesine geçiyor.
Bir daire üzerinde çıkıyor.

D'nin dairenin içinde olduğu varsayılmalıdır. Belirtilen tepe noktasının yeri D´ tarafından işgal edilmiştir. ABCD' dörtgeni çıkıyor.

Sonuç:_<B + _<D´=2d.

AD'yi E noktasında ortalanmış mevcut daire ile kesişme noktasına kadar devam ettirirsek ve E ile C'yi birleştirirsek, yazılı bir ABCE dörtgeni elde ederiz. İlk teoremden eşitliği takip eder:

Geometri yasalarına göre ifade geçerli değildir çünkü _<D´ CD´E üçgeninin dış köşesidir. Buna göre, _{<E'den fazla olmalıdır. Buradan D'nin ya çemberin üzerinde ya da dışında olması gerektiği sonucunu çıkarabiliriz.}

Benzer şekilde, D´´ açıklanan şeklin sınırlarını aştığında üçüncü varsayımın yanlış olduğu kanıtlanabilir.

İki hipotezden tek doğru olanı takip eder. Köşe D daire çizgisi üzerinde bulunur. Başka bir deyişle, D, E ile çakışır. Bundan, dörtgenin tüm noktalarının tarif edilen doğru üzerinde yer aldığı sonucu çıkar.

Bunlardaniki teorem, doğal sonuçlar:

Herhangi bir dikdörtgen bir daire içine yazılabilir. Başka bir sonuç daha var. Herhangi bir dikdörtgenin etrafına bir daire çizilebilir

Eşit kalçalara sahip yamuk bir daire içine yazılabilir. Başka bir deyişle, kulağa şöyle geliyor: eşit kenarlı bir yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir

Birkaç örnek

Problem 1. Dörtgen ABCD bir daire içine yazılmıştır. _<ABC=105º, _<CAD=35º. _{<ABD'yi bulmanız gerekiyor. Cevap derece cinsinden yazılmalıdır.}

Karar. İlk başta cevabı bulmak zor görünebilir.

1. Bu konudaki özellikleri hatırlamanız gerekir. Yani: zıt açıların toplamı=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Geometride, ilkeye bağlı kalmak daha iyidir: bulabildiğin her şeyi bul. Daha sonra faydalı.

2. Sonraki adım: üçgen toplam teoremini kullanın.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD ve _{<ACD yazılıdır. Koşul olarak, bir yaya güveniyorlar. Buna göre eşit değerlere sahiptirler:}

_<ABD=_<ACD=70º

Cevap: _<ABD=70º.

Problem 2. BCDE, bir daire içinde yazılı bir dörtgendir. _<B=69º, _<C=84º. Dairenin merkezi E noktasıdır. Bul - _<E.

dörtgen ABCD bir daire içine yazılmıştır

Karar.

Need to find _{<E by Teorem 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Cevap: _{< E=96º.}

Problem 3. Bir daire içine alınmış bir dörtgen verilmiş. Veriler şekilde gösterilmiştir. Bilinmeyen x, y, z değerlerini bulmak gerekiyor.

Çözüm:

z=180º – 93º=87º (Teorem 1'e göre)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (Teorem 1'e göre)

Cevap: z=87º, x=82º, y=98º.

Problem 4. Bir daire içinde yazılı bir dörtgen var. Değerler şekilde gösterilmiştir. x, y'yi bulun.

Çözüm:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Cevap: x=100º, y=109º.

Bağımsız çözüm için sorunlar

Örnek 1. Bir daire verildi. Merkezi O noktasıdır. AC ve BD çaplardır. _<ACB=38º. _{<AOD'yi bulmanız gerekiyor. Cevap derece cinsinden verilmelidir.}

Örnek 2. Bir ABCD dörtgeni ve çevresinde çevrelenmiş bir daire verilmiş. _<ABC=110º, _<ABD=70º. _{<CAD öğesini bulun. Cevabınızı derece cinsinden yazın.}

Örnek 3. Bir daire ve yazılı bir ABCD dörtgeni verildi. İki açısı 82º ve58º. Kalan açılardan en büyüğünü bulman ve cevabı derece cinsinden yazman gerekiyor.

Örnek 4. Dörtgen ABCD verilmiştir. A, B, C açıları 1:2:3 oranında verilmiştir. Belirtilen dörtgen bir daire içine yazılabilirse D açısını bulmak gerekir. Cevap derece cinsinden verilmelidir.

Örnek 5. ABCD Dörtgeni verilmiştir. Kenarları, çevrelenmiş dairenin yaylarını oluşturur. Derece değerleri sırasıyla AB, BC, CD ve AD'dir: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Verilen dörtgenden _{<bulmalı ve cevabı derece cinsinden yazmalısınız.}