Prizma, katı geometrinin okul kursunda incelenen bir çokyüzlü veya çokyüzlüdür. Bu çokyüzlülüğün önemli özelliklerinden biri hacmidir. Makalede bu değerin nasıl hesaplanabileceğini düşünelim ve ayrıca prizmaların hacmi için formüller verelim - düzenli dörtgen ve altıgen.
Sterometride prizma
Bu şekil, paralel düzlemlerde bulunan iki özdeş çokgenden ve birkaç paralelkenardan oluşan bir çokyüzlü olarak anlaşılır. Belirli prizma türleri için paralelkenarlar dikdörtgen dörtgenleri veya kareleri temsil edebilir. Aşağıda sözde beşgen prizmaya bir örnek verilmiştir.
Yukarıdaki şekildeki gibi bir figür oluşturmak için bir beşgen alıp uzayda belirli bir mesafeye paralel aktarımını gerçekleştirmeniz gerekiyor. İki beşgenin kenarlarını paralelkenar kullanarak birleştirerek istenilen prizmayı elde ederiz.
Her prizma yüzler, köşeler ve kenarlardan oluşur. prizmanın köşeleripiramidin aksine, eşittir, her biri iki tabandan birine atıfta bulunur. Yüzler ve kenarlar iki tiptir: tabanlara ait olanlar ve kenarlara ait olanlar.
Prizmalar çeşitli tiplerdedir (doğru, eğik, dışbükey, düz, içbükey). Makalenin ilerleyen bölümlerinde, şeklin şeklini dikkate alarak bir prizmanın hacminin hangi formülle hesaplandığını düşünelim.
Bir prizmanın hacmini belirlemek için genel ifade
Çalışılan şeklin hangi türe ait olduğuna bakılmaksızın, düz veya eğik, düzenli veya düzensiz olup olmadığına bakılmaksızın, hacmini belirlemenizi sağlayan evrensel bir ifade vardır. Mekansal bir figürün hacmi, yüzleri arasında kalan boşluk alanıdır. Bir prizmanın hacminin genel formülü:
V=So × h.
Burada So tabanın alanını temsil eder. Unutulmamalıdır ki, iki değil, bir temelden bahsediyoruz. h değeri yüksekliktir. İncelenen şeklin yüksekliği, aynı tabanlar arasındaki mesafe olarak anlaşılmaktadır. Bu mesafe, yan nervürlerin uzunluklarıyla çakışıyorsa, düz bir prizmadan söz edilir. Düz bir şekilde tüm kenarlar dikdörtgendir.
Böylece, bir prizma eğikse ve düzensiz bir taban çokgenine sahipse, hacmini hesaplamak daha karmaşık hale gelir. Rakam düz ise, hacmin hesaplanması yalnızca So tabanının alanını belirlemek için az altılır.
Normal bir şeklin hacmini belirleme
Düzenli, düz olan ve kenarları ve açıları birbirine eşit olan çokgen bir tabanı olan herhangi bir prizmadır. Örneğin, bu tür düzgün çokgenler bir kare ve bir eşkenar üçgendir. Aynı zamanda, bir eşkenar dörtgen düzgün bir şekil değildir, çünkü tüm açıları eşit değildir.
Düzenli bir prizmanın hacminin formülü, makalenin önceki paragrafında yazılmış olan V için genel ifadeden açıkça kaynaklanmaktadır. İlgili formülü yazmaya devam etmeden önce, doğru tabanın alanını belirlemek gerekir. Matematiksel ayrıntılara girmeden, belirtilen alanı belirleme formülünü sunuyoruz. Herhangi bir normal n-gon için evrenseldir ve şu biçimdedir:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
İfadeden de görebileceğiniz gibi, Sn alanı iki parametrenin bir fonksiyonudur. Bir tamsayı n, 3'ten sonsuza kadar değerler alabilir. a değeri, n-gon'un kenar uzunluğudur.
Bir şeklin hacmini hesaplamak için, sadece S alanını h yüksekliği veya b yan kenarının uzunluğu ile çarpmak gerekir (h=b). Sonuç olarak, aşağıdaki çalışma formülüne ulaşıyoruz:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Rastgele tipte bir prizmanın hacmini belirlemek için, birkaç niceliği (taban kenarlarının uzunlukları, yükseklik, şeklin dihedral açıları) bilmeniz gerektiğini unutmayın, ancak bunun V değerini hesaplamak için normal bir prizma, yalnızca iki doğrusal parametreyi bilmemiz gerekir, örneğin, a ve h.
Dörtgen bir düzgün prizmanın hacmi
Dörtgen prizmaya paralelyüz denir. Tüm yüzleri eşitse ve karelerse, böyle bir şekil bir küp olacaktır. Her öğrenci, dikdörtgen paralel yüzlü veya küpün hacminin, üç farklı kenarının (uzunluk, yükseklik ve genişlik) çarpılmasıyla belirlendiğini bilir. Bu gerçek, düzenli bir şekil için yazılı genel hacim ifadesinden kaynaklanmaktadır:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Burada 45°'nin kotanjantı 1'e eşittir. h yüksekliğinin ve a tabanının kenar uzunluğunun eşitliğinin otomatik olarak bir küpün hacmi formülünü verdiğini unutmayın.
Altıgen düzgün prizmanın hacmi
Şimdi, altıgen tabanlı bir şeklin hacmini belirlemek için yukarıdaki teoriyi uygulayın. Bunu yapmak için, formülde n=6 değerini değiştirmeniz yeterlidir:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Yazılı ifade, S için evrensel formül kullanılmadan bağımsız olarak elde edilebilir. Bunu yapmak için, normal altıgeni altı eşkenar üçgene bölmeniz gerekir. Her birinin bir kenarı a'ya eşit olacaktır. Bir üçgenin alanı şuna karşılık gelir:
S3=√3/4 × a2.
Bu değeri üçgen sayısı (6) ve yükseklik ile çarparak, hacim için yukarıdaki formülü elde ederiz.
