Matrisler: Gauss yöntemi. Gauss Matrisi Hesaplaması: Örnekler

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Üniversitelerde çeşitli uzmanlık dallarında öğretilen

Lineer cebir, birçok karmaşık konuyu bir araya getiriyor. Bazıları matrislerle ve Gauss ve Gauss-Jordan yöntemleriyle lineer denklem sistemlerinin çözümüyle ilgilidir. Tüm öğrenciler bu konuları, çeşitli problemleri çözmek için algoritmaları anlamayı başaramaz. Gauss ve Gauss-Jordan'ın matrislerini ve yöntemlerini birlikte anlayalım.

Temel kavramlar

Doğrusal cebirdeki bir matris, dikdörtgen bir öğeler dizisidir (tablo). Aşağıda parantez içine alınmış eleman kümeleri verilmiştir. Bunlar matrisler. Yukarıdaki örnekten, dikdörtgen dizilerdeki elemanların sadece sayı olmadığı görülebilir. Matris matematiksel fonksiyonlardan, cebirsel sembollerden oluşabilir.

Bazı kavramları anlamak için, a_ij öğelerinden bir A matrisi yapalım. Dizinler sadece harfler değildir: i, tablodaki satırın numarasıdır ve j, elemanın bulunduğu kesişim alanındaki sütunun numarasıdır.a_ij. Böylece, a₁₁, a₂₁, a₁₂, a gibi bir eleman matrisimiz olduğunu görüyoruz. ₂₂ vb. N harfi sütun sayısını ve m harfi satır sayısını belirtir. m × n sembolü matrisin boyutunu belirtir. Bu, dikdörtgen bir öğe dizisindeki satır ve sütun sayısını tanımlayan kavramdır.

İsteğe bağlı olarak, matrisin birkaç sütunu ve satırı olmalıdır. 1 × n boyutunda, eleman dizisi tek sıralıdır ve m × 1 boyutunda tek sütunlu bir dizidir. Satır sayısı ve sütun sayısı eşit olduğunda matrise kare denir. Her kare matrisin bir determinantı (det A) vardır. Bu terim, A matrisine atanan sayıyı ifade eder.

Matrisleri başarılı bir şekilde çözmek için hatırlanması gereken birkaç önemli kavram daha ana ve ikincil köşegenlerdir. Bir matrisin ana köşegeni, sol üst köşeden tablonun sağ köşesine inen köşegendir. Yan köşegen alttan sol köşeden sağ köşeye gider.

Adımlı matris görünümü

Aşağıdaki resme bakın. Üzerinde bir matris ve bir diyagram göreceksiniz. Önce matrisi ele alalım. Lineer cebirde bu tür bir matrise adım matrisi denir. Bir özelliği vardır: a_ij i-inci satırdaki ilk sıfır olmayan öğeyse, o zaman aşağıdaki matristeki ve a_{ij'nin solundaki diğer tüm öğeler} , null (yani, k>i vel<j).

Şimdi diyagramı düşünün. Matrisin kademeli formunu yansıtır. Şema 3 tip hücre gösterir. Her tür belirli öğeleri belirtir:

• boş hücreler - matrisin sıfır elemanları;
• gölgeli hücreler, hem sıfır hem de sıfır olmayan isteğe bağlı öğelerdir;
• siyah kareler, köşe elemanları, "adımlar" olarak adlandırılan sıfır olmayan elemanlardır (yanlarında gösterilen matriste bu elemanlar –1, 5, 3, 8 sayılarıdır).

Matrisleri çözerken, bazen sonuç, adımın "uzunluğunun" 1'den büyük olmasıdır. Buna izin verilir. Sadece adımların "yüksekliği" önemlidir. Bir adım matrisinde bu parametre her zaman bire eşit olmalıdır.

Adım formuna matris indirgeme

Herhangi bir dikdörtgen matris, kademeli bir forma dönüştürülebilir. Bu, temel dönüşümler yoluyla yapılır. Şunları içerir:

• dizeleri yeniden düzenleme;
• Bir satıra başka bir satır ekleme, gerekirse bir sayı ile çarpma (çıkarma işlemi de yapabilirsiniz).

Belirli bir problemin çözümünde temel dönüşümleri ele alalım. Aşağıdaki şekil, kademeli bir forma indirgenmesi gereken A matrisini göstermektedir.

Sorunu çözmek için algoritmayı takip edeceğiz:

• Bir matris üzerinde dönüşümler yapmak uygundur.sol üst köşedeki ilk öğe (yani "öndeki" öğe) 1 veya -1'dir. Bizim durumumuzda, üst sıradaki ilk eleman 2'dir, bu yüzden birinci ve ikinci sıraları değiştirelim.
• Haydi 2, 3 ve 4. satırları etkileyen çıkarma işlemleri yapalım. "Lider" öğesinin altındaki ilk sütunda sıfır almalıyız. Bu sonucu elde etmek için: 2 numaralı satırın öğelerinden, 1 numaralı satırın öğelerini 2 ile çarparak sırayla çıkarırız; 3 numaralı satırın öğelerinden 1 numaralı satırın öğelerini 4 ile çarparak sırayla çıkarırız; 4 numaralı satırın öğelerinden 1 numaralı satırın öğelerini sırayla çıkarırız.
• Sonra, kesik bir matrisle çalışacağız (1. sütun ve 1. satır olmadan). İkinci sütun ve ikinci satırın kesişiminde duran yeni "önde gelen" öğe -1'e eşittir. Satırları yeniden düzenlemeye gerek yok, bu yüzden ilk sütunu ve birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. "Baştaki" öğenin altındaki ikinci sütunda sıfır almak için çıkarma işlemleri yapalım: üçüncü satırın öğelerinden sırayla ikinci satırın öğelerini 3 ile çarparak çıkarırız; ikinci satırın elemanlarını 2 ile çarpıp dördüncü satırın elemanlarından çıkarın.
• Son satırı değiştirmek için kalır. Öğelerinden, üçüncü sıranın öğelerini art arda çıkarıyoruz. Böylece basamaklı bir matris elde ettik.

Matrislerin bir adım biçimine indirgenmesi, Gauss yöntemiyle doğrusal denklem sistemlerinin (SLE) çözümünde kullanılır. Bu yönteme bakmadan önce, SLN ile ilgili bazı terimleri anlayalım.

Doğrusal denklemlerin matrisleri ve sistemleri

Matrisler çeşitli bilimlerde kullanılır. Sayı tablolarını kullanarak, örneğin Gauss yöntemini kullanarak bir sistemde birleştirilmiş doğrusal denklemleri çözebilirsiniz. İlk olarak, birkaç terim ve tanımları ile tanışalım ve ayrıca birkaç lineer denklemi birleştiren bir sistemden bir matrisin nasıl oluştuğunu görelim.

SLU – İlk kuvvet bilinmeyenli ve çarpım terimleri olmayan birkaç birleşik cebirsel denklem.

SLE çözümü – sistemdeki denklemlerin özdeşliğe dönüştüğü, bilinmeyenlerin bulunan değerleri.

Birleşik SLE, en az bir çözümü olan bir denklem sistemidir.

Tutarsız SLE, çözümü olmayan bir denklem sistemidir.

Doğrusal denklemleri birleştiren bir sisteme dayalı bir matris nasıl oluşturulur? Sistemin ana ve genişletilmiş matrisleri gibi kavramlar vardır. Sistemin ana matrisini elde etmek için bilinmeyenler için tüm katsayıları tabloya koymak gerekir. Genişletilmiş matris, ana matrise bir serbest terimler sütunu eklenerek elde edilir (sistemdeki her denklemin eşitlendiği bilinen öğeleri içerir). Tüm bu süreci aşağıdaki resmi inceleyerek anlayabilirsiniz.

Resimde gördüğümüz ilk şey lineer denklemleri içeren bir sistem. Öğeleri: a_ij – sayısal katsayılar, x_j – bilinmeyen değerler, b_i – sabit terimler (burada i=1, 2, …, m ve j=1, 2, …, n). Resimdeki ikinci unsur, katsayıların ana matrisidir. Her denklemden katsayılar bir satırda yazılır. Sonuç olarak, sistemdeki denklem sayısı kadar matriste satır vardır. Sütun sayısı, herhangi bir denklemdeki en büyük katsayı sayısına eşittir. Resimdeki üçüncü öğe, serbest terimlerden oluşan bir sütun içeren artırılmış bir matristir.

Gauss yöntemi hakkında genel bilgiler

Doğrusal cebirde Gauss yöntemi, SLE'yi çözmenin klasik yoludur. 18-19. yüzyıllarda yaşamış Carl Friedrich Gauss'un adını taşımaktadır. Bu, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biridir. Gauss yönteminin özü, lineer cebirsel denklemler sistemi üzerinde temel dönüşümler gerçekleştirmektir. Dönüşümlerin yardımıyla, SLE, tüm değişkenlerin bulunabileceği bir üçgen (basamaklı) formun eşdeğer bir sistemine indirgenir.

Carl Friedrich Gauss'un bir lineer denklem sistemini çözmenin klasik yöntemini keşfetmediğini belirtmekte fayda var. Yöntem çok daha önce icat edildi. İlk açıklaması, "9 kitapta Matematik" adlı eski Çinli matematikçilerin bilgi ansiklopedisinde bulunur.

SLE'yi Gauss yöntemiyle çözme örneği

Belirli bir örnek üzerinde sistemlerin çözümünü Gauss yöntemiyle ele alalım. Resimde gösterilen SLU ile çalışacağız.

Çözme algoritması:

1. Sistemi Gauss yönteminin doğrudan hareketiyle bir adım formuna indireceğiz, ancak öncesayısal katsayılar ve serbest üyelerden oluşan genişletilmiş bir matris oluşturacağız.
2. Matrisi Gauss yöntemini kullanarak çözmek (yani onu kademeli bir forma getirmek) için, ikinci ve üçüncü satırın elemanlarından sırayla birinci satırın elemanlarını çıkarırız. "Öncü" öğenin altındaki ilk sütunda sıfırlar alıyoruz. Ardından, kolaylık sağlamak için ikinci ve üçüncü satırları değiştireceğiz. Son satırın elemanlarına, ikinci satırın elemanlarını sırayla 3 ile çarparak ekleyin.
3. Matrisin Gauss yöntemiyle hesaplanması sonucunda basamaklı bir eleman dizisi elde ettik. Buna dayanarak, yeni bir lineer denklem sistemi oluşturacağız. Gauss yönteminin tersinden bilinmeyen terimlerin değerlerini buluyoruz. Son lineer denklemden x₃'nin 1'e eşit olduğu görülebilir. Bu değeri sistemin ikinci satırına değiştiriyoruz. x₂ – 4=–4 denklemini elde edersiniz. x₂ eşittir 0. Sistemin ilk denkleminde x₂ ve x₃ değiştirin: x1 _{+ 0 +3=2. Bilinmeyen terim -1.}

Cevap: Gauss yöntemini matrisi kullanarak bilinmeyenlerin değerlerini bulduk; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan yöntemi

Doğrusal cebirde Gauss-Jordan yöntemi diye bir şey de vardır. Gauss yönteminin bir modifikasyonu olarak kabul edilir ve ters matrisi bulmak, cebirsel lineer denklemlerin kare sistemlerinin bilinmeyen terimlerini hesaplamak için kullanılır. Gauss-Jordan yöntemi, SLE'nin tek adımda (doğrudan ve ters kullanılmadan) çözülmesine izin vermesi açısından uygundur.hareket eder).

"Ters matris" terimiyle başlayalım. Bir A matrisimiz olduğunu varsayalım. Bunun tersi A^-1 matrisi olacaktır, ancak koşul mutlaka sağlanır: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, yani bu matrislerin çarpımı birim matrise eşittir (birim matrisinin ana köşegeninin öğeleri birdir ve kalan öğeler sıfırdır).}

Önemli bir nüans: Lineer cebirde ters matrisin varlığına dair bir teorem vardır. A^-1 matrisinin varlığı için yeterli ve gerekli bir koşul, A matrisinin tekil olmamasıdır.

Gauss-Jordan yönteminin dayandığı temel adımlar:

1. Belirli bir matrisin ilk satırına bakın. Gauss-Jordan yöntemi, ilk değer sıfıra eşit değilse başlatılabilir. İlk sıra 0 ise, ilk öğenin sıfır olmayan bir değere sahip olması için satırları değiştirin (sayının bire yakın olması istenir).
2. İlk satırın tüm öğelerini ilk sayıya bölün. Sonunda bir ile başlayan bir dizi olacak.
3. İkinci satırdan, ikinci satırın ilk öğesiyle çarpılan ilk satırı çıkarın, yani sonunda sıfırdan başlayan bir satır elde edeceksiniz. Aynı işlemi satırların geri kalanı için de yapın. Çapraz olarak 1'leri almak için her satırı sıfır olmayan ilk öğesine bölün.
4. Sonuç olarak, Gauss - Jordan yöntemini kullanarak üst üçgen matrisi elde edeceksiniz. İçinde ana köşegen birimlerle temsil edilir. Alt köşe sıfırlarla doldurulur veüst köşe - çeşitli değerler.
5. Sondan bir önceki satırdan, gerekli katsayı ile çarpılan son satırı çıkarın. Sıfır ve bir içeren bir dize almalısınız. Satırların geri kalanı için aynı işlemi tekrarlayın. Tüm dönüşümlerden sonra birim matris elde edilecektir.

Gauss-Jordan yöntemini kullanarak ters matrisi bulma örneği

Ters matrisi hesaplamak için, artırılmış matris A|E'yi yazmanız ve gerekli dönüşümleri yapmanız gerekir. Basit bir örnek düşünelim. Aşağıdaki şekil A matrisini göstermektedir.

Çözüm:

1. Önce, Gauss yöntemini (det A) kullanarak matris determinantını bulalım. Bu parametre sıfıra eşit değilse, matris tekil olarak kabul edilecektir. Bu, A'nın kesinlikle A^-1'ye sahip olduğu sonucuna varmamızı sağlayacaktır. Determinantı hesaplamak için, matrisi temel dönüşümlerle adım adım forma dönüştürürüz. K sayısını satır permütasyonlarının sayısına eşit sayalım. Hatları sadece 1 kez değiştirdik. Determinantı hesaplayalım. Değeri, ana köşegenin elemanlarının çarpımının (–1)^K ile çarpımına eşit olacaktır. Hesaplama sonucu: det A=2.
2. Birim matrisi orijinal matrise ekleyerek artırılmış matrisi oluşturun. Elde edilen eleman dizisi, Gauss-Jordan yöntemiyle ters matrisi bulmak için kullanılacaktır.
3. İlk satırdaki ilk öğe bire eşittir. Bu bize uyuyor, çünkü satırları yeniden düzenlemeye ve verilen satırı bir sayıya bölmeye gerek yok. hadi çalışmaya başlayalımikinci ve üçüncü satırlarla. İkinci satırdaki ilk elemanı 0'a çevirmek için, ilk satırın 3 ile çarpımını ikinci satırdan çıkarın. İlk satırı üçüncü satırdan çıkarın (çarpma gerekmez).
4. Sonuçtaki matriste, ikinci satırın ikinci elemanı -4 ve üçüncü satırın ikinci elemanı -1'dir. Kolaylık sağlamak için satırları değiştirelim. Üçüncü satırdan ikinci satırı 4 ile çarpıp çıkarın. İkinci satırı -1'e, üçüncü satırı 2'ye bölün. Üst üçgen matrisi elde ederiz.
5. İkinci satırdan 4 ile çarpılan son satırı ve ilk satırdan son satırı 5 ile çarpılan son satırı 2 ile çarpıp ikinci satırı ilk satırdan çıkaralım. Sol tarafta kimlik matrisi. Sağda ters matris var.

Gauss-Jordan yöntemiyle SLE çözme örneği

Şekil bir lineer denklem sistemini göstermektedir. Gauss-Jordan yöntemi olan bir matris kullanarak bilinmeyen değişkenlerin değerlerinin bulunması gerekmektedir.

Çözüm:

1. Geliştirilmiş bir matris oluşturalım. Bunu yapmak için katsayıları ve serbest terimleri tabloya koyacağız.
2. Matrisi Gauss-Jordan yöntemini kullanarak çözün. 2 numaralı satırdan 1 numaralı satırı çıkarıyoruz. 3 numaralı satırdan 1 numaralı satırı çıkarıyoruz, daha önce 2 ile çarpıyoruz
3. 2. ve 3. satırları değiştirin
4. 3. satırdan 2. satırdan 2 ile çarpın çıkar. Ortaya çıkan üçüncü satırı –1'e bölün.
5. 3. satırı 2. satırdan çıkarın.
6. 1. satırı 1. satırdan çıkar2 kez -1. Yan tarafta 0, 1 ve -1 sayılarından oluşan bir sütunumuz var. Bundan, x₁=0, x₂=1 ve x₃ =–1.sonucuna varıyoruz.

Dilerseniz hesaplanan değerleri denklemlerde yerine koyarak çözümün doğruluğunu kontrol edebilirsiniz:

• 0 – 1=–1, sistemden gelen ilk kimlik doğru;
• 0 + 1 + (–1)=0, sistemden ikinci kimlik doğru;
• 0 – 1 + (–1)=–2, sistemden üçüncü kimlik doğru.

Sonuç: Gauss-Jordan yöntemini kullanarak, lineer cebirsel denklemleri birleştiren ikinci dereceden bir sistem için doğru çözümü bulduk.

Çevrimiçi hesap makineleri

Üniversitelerde okuyan ve lineer cebir okuyan günümüz gençliğinin hayatı büyük ölçüde basitleştirildi. Birkaç yıl önce Gauss ve Gauss-Jordan yöntemini kullanan sistemlere kendi başımıza çözümler bulmamız gerekiyordu. Bazı öğrenciler görevlerle başarılı bir şekilde başa çıkarken, diğerleri çözümde karıştı, hatalar yaptı, sınıf arkadaşlarından yardım istedi. Bugün ödev yaparken çevrimiçi hesap makinelerini kullanabilirsiniz. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek, ters matrisleri aramak için, sadece doğru cevapları değil, aynı zamanda belirli bir problemi çözmedeki ilerlemeyi de gösteren programlar yazılmıştır.

İnternette yerleşik çevrimiçi hesaplayıcılara sahip birçok kaynak var. Gauss matrisleri, denklem sistemleri bu programlar tarafından birkaç saniyede çözülür. Öğrencilerin yalnızca gerekli parametreleri (örneğin, denklem sayısı,değişken sayısı).