Bu makalede, yöntem doğrusal denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Veya hiç yok.
Gauss yöntemiyle çözmek ne anlama geliyor?
Önce, denklem sistemimizi bir matris olarak yazmamız gerekiyor. Şuna benziyor. Sistem alınır:
Katsayılar tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda yazılır - ücretsiz üyeler. Serbest üyelere sahip sütun, kolaylık sağlamak için dikey bir çubukla ayrılmıştır. Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.
Ardından, katsayılı ana matris üst üçgen şekle indirgenmelidir. Sistemin Gauss yöntemiyle çözülmesinin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris şöyle görünmelidir, böylece sol alt kısmında sadece sıfırlar olacaktır:
Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde değiştirildiğini, başka bir kökün bulunduğunu fark edeceksiniz., vb.
Bu, Gauss çözümünün en genel terimlerle açıklamasıdır. Ve aniden sistem bir çözüme sahip olmazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha pek çok soruyu yanıtlamak için Gauss yöntemiyle çözümde kullanılan tüm öğeleri ayrı ayrı ele almak gerekir.
Matrisler, özellikleri
Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin uygun bir yoludur. Okul çocukları bile onlardan korkmamalı.
Matris her zaman dikdörtgendir çünkü daha kullanışlıdır. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya indirgendiği Gauss yönteminde bile, girişte, sayıların olmadığı yerde yalnızca sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırlar atlanabilir, ancak bunlar ima edilir.
Matrix'in boyutu var. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) Am×n olarak gösterilecektir. m=n ise, bu matris karedir vem=n - onun sırası. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: axy; x - satır numarası, [1, m] değiştir, y - sütun numarası, [1, n] değiştir.
Gauss yönteminde matrisler çözümün ana noktası değildir. Prensipte, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle yapılabilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.
Niteleyici
Matrisin bir determinantı da vardır. Bu çok önemli bir özellik. Şimdi anlamını bulmak buna değmez, basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerinde bulunan elemanlar çarpılır ve ardından ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - "artı" işaretli, sola eğimli - "eksi" işaretli.
Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini unutmamak son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısından (k olsun) en küçüğünü seçin ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rasgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişim noktasında bulunan elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü olarak adlandırılacaktır.
ÖnceGauss yöntemiyle bir denklem sistemini çözmeye nasıl başlanır, determinantı hesaplamaktan zarar gelmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin rankını öğrenmeniz gerekir.
Sistemlerin sınıflandırılması
Matrisin rankı diye bir şey vardır. Bu, sıfır olmayan determinantının maksimum mertebesidir (taban minörünü hatırlayarak, bir matrisin rankının baz minörün mertebesi olduğunu söyleyebiliriz).
Rütbe ile işlerin nasıl yürüdüğü, YAVAŞ ikiye ayrılabilir:
- Ortak. Ortak sistemler için, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir çözümü yoktur, bu nedenle ortak sistemler ayrıca şu şekilde ayrılır:
- - kesin - benzersiz bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı eşittir (veya aynı şey olan sütun sayısı);
- - belirsiz - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemlerde matrislerin rankı bilinmeyenlerin sayısından azdır.
- Uyumsuz. Bu tür sistemler için ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları eşleşmez. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.
Gauss yöntemi iyidir çünkü ya sistemin tutarsızlığının açık bir kanıtını (büyük matrislerin belirleyicilerini hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözüm içeren bir sistem için genel bir çözüm elde etmenizi sağlar.
Temel dönüşümler
Öncedoğrudan sistemin çözümüne nasıl geçilir, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerin bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:
- Dizeleri değiştir. Sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirirsek, bunun çözümü hiçbir şekilde etkilemeyeceği açıktır. Bu nedenle, elbette, ücretsiz üyeler sütununu unutmadan, bu sistemin matrisindeki satırları değiştirmek de mümkündür.
- Bir dizgenin tüm öğelerini bir faktörle çarpma. Çok kullanışlı! Bununla, matristeki büyük sayıları az altabilir veya sıfırları kaldırabilirsiniz. Çözüm seti, her zamanki gibi değişmeyecek ve daha fazla işlem yapmak daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmaması gerektiğidir.
- Orantılı katsayılı satırları sil. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantılılık katsayısıyla çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
- Boş satırı sil. Dönüşümler sırasında, serbest üye de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize elde edilirse, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
- Bir satırdaki diğer öğelerin öğelerine ekleme (görekarşılık gelen sütunlar) bazı katsayılarla çarpılır. En belirsiz ve en önemli dönüşüm. Üzerinde daha ayrıntılı durmaya değer.
Bir faktörle çarpılan bir dize ekleme
Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım parçalara ayırmaya değer. Matristen iki satır alınır:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Diyelim ki birinciyi "-2" katsayısıyla çarpıp ikinciye eklemeniz gerekiyor.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Ardından matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir, birincisi değişmeden kalır.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Çarpma faktörünün, iki dize eklenmesi sonucunda yeni dizenin öğelerinden birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, sistemde bir bilinmeyenin daha az olacağı bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalinden daha düşük olan tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirirsek, o zaman adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz. buna denirGauss yöntemini kullanarak sistemi çözün.
Genellikle
Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Bunu şöyle yazabilirsiniz:
Ana matris, sistemin katsayılarından derlenir. Genişletilmiş matrise ücretsiz üyelerden oluşan bir sütun eklenir ve kolaylık olması için bir çubukla ayrılır.
Sonraki:
- Matrisin ilk satırı k=(-a21/a11); katsayısı ile çarpılır
- matriksin ilk değiştirilen satırı ve ikinci satırı eklenir;
- ikinci satır yerine, önceki paragraftaki toplamanın sonucu matrise eklenir;
- şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a21 öğesi, a31 ile değiştirilir. Sonra her şey a41, …am1 için tekrarlanır. Sonuç, [2, m] satırlarındaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi bir numaralı satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamanız gerekiyor:
- k katsayısı=(-a32/a22);
- ikinci değiştirilen satır "geçerli" satıra eklenir;
- Toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü ve benzeri satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
- matrisin [3, m] satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.
Algoritma k=(-am, m-1/amm görünene kadar) tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın en son yalnızca alt denklem için çalıştırıldığı anlamına gelir. Şimdi matris bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda amn × x =bm denklemi bulunur. Katsayı ve serbest terim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x =bm/amn. Elde edilen kök, xn-1=(bm-1 - am-1, n) bulmak için üst satırda değiştirilir×(bm/amn))÷am-1, n-1. Ve benzetme ile böyle devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştıktan sonra, bir dizi çözüm bulunabilir [x1, … x ]. Tek olacak.
Çözüm olmadığında
Matris satırlarından birinde serbest terim hariç tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0=b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.
Sonsuz sayıda çözüm olduğunda
İndirgenmiş üçgen matriste tek elemanlı - denklemin katsayısı ve bir - serbest elemanlı satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen dizeler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?
Tümümatristeki değişkenler temel ve serbest olarak ayrılır. Temel - bunlar, kademeli matristeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılmıştır.
Kolaylık olması için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkünse temel değişken yerine onun için elde edilen ifade ikame edilir. Sonuç yine yalnızca bir temel değişken içeren bir ifade ise, oradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.
Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.
Belirli örneklerle çözüm
İşte bir denklem sistemi.
Kolaylık olması için matrisini hemen yapmak daha iyidir
Gauss yöntemi ile çözülürken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman ilk öğelerişlemlerden sonra kalan satırlar sıfıra dönecektir. Bu, derlenen matriste ikinci satırı birincinin yerine koymanın faydalı olacağı anlamına gelir.
Ardından, ilk öğelerin sıfır olması için ikinci ve üçüncü satırları değiştirmeniz gerekir. Bunu yapmak için, bunları bir katsayı ile çarparak birinciye ekleyin:
ikinci satır: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
üçüncü satır: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Şimdi kafanız karışmaması için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren bir matris yazmanız gerekiyor.
Açıkçası, böyle bir matris bazı işlemler yardımıyla daha okunaklı hale getirilebilir. Örneğin, her bir öğeyi "-1" ile çarparak ikinci satırdaki tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.
Üçüncü satırdaki tüm öğelerin üçün katları olduğunu da belirtmekte fayda var. O zaman yapabilirsindizeyi bu sayı ile kesin, her elemanı "-1/3" ile çarparak (eksi - negatif değerleri kaldırmak için aynı anda).
Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı yalnız bırakmalı ve ikinci ve üçüncü ile çalışmalıyız. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir faktörle çarpılır ki a32 öğesi sıfır olur.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (eğer bazı dönüşümler sırasında cevabın bir tamsayı olmadığı ortaya çıktığında, onu sıradan bir kesir şeklinde “olduğu gibi” bırakmanız ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlama ve başka bir forma dönüştürmeye karar vermeniz önerilir. gösterim)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Gördüğünüz gibi, elde edilen matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapılabilecek olan, üçüncü satırdan "-1/7" genel katsayısını çıkarmaktır.
Şimdi herkesGüzel. Nokta küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazın ve kökleri hesaplayın
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z:
değerini içerir
z=61/9
Sonra, ikinci denkleme dönün:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Böyle bir sistem eklemi, hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap şu biçimde yazılmıştır:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Belirsiz bir sistem örneği
Belirli bir sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Sistemin tam formu zaten endişe verici, çünkü bilinmeyenlerin sayısı n=5 ve sistem matrisinin rankı zaten bu sayıdan tam olarak daha az, çünkü satır sayısı m=4, yani kare determinantın en büyük mertebesi 4'tür. Sonsuz sayıda çözüm vardır ve onun genel biçimini aramalıyız. Lineer denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmanızı sağlar.
Önce her zamanki gibi artırılmış matris derlenir.
İkinci satır: katsayı k=(-a21/a11)=-3. Üçüncü satırda ise ilk eleman dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k=(-a41/a11)=-5
İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarpıp gerekli satırlara ekleyerek, aşağıdaki biçimde bir matris elde ederiz:
Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı öğelerden oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılır ve satır numarası 3 olur. Ve yine, iki özdeş satırdan birini bırakın.
Sonuç böyle bir matristir. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - a11=1 ve a22=1 katsayılarında durmak, ve ücretsiz - geri kalan her şey.
İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x2. Bu nedenle, x3, x4, x5 değişkenleri aracılığıyla yazılarak ifade edilebilir. ücretsizdir.
Sonuçtaki ifadeyi ilk denklemde değiştirin.
Bir denklem ortaya çıktıtek temel değişken x1'dir. Aynısını x2 ile yapalım.
İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel formda yazabilirsiniz.
Sistemin belirli çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olacaktır:
-16, 23, 0, 0, 0.
Tutarsız bir sistem örneği
Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlısıdır. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez sona erer. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem değerlendiriliyor:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Her zamanki gibi matris derlenir:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ve kademeli bir forma indirgendi:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
İlk dönüşümden sonra, üçüncü satırda
şeklinde bir denklem bulunur.
0=7, çözüm yok. Bu nedenle, sistemtutarsız ve cevap boş kümedir.
Yöntemin avantajları ve dezavantajları
Kağıt üzerinde SLAE'yi kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede ele alınan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde, determinantı veya karmaşık bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıkar - determinant, küçükler, ters ve transpoze matrisler vb.. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.
Uygulama
Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığından, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris şeklinde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve onlarla işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), Sayı ile çarpma, matris çarpma (ayrıcabelirli kısıtlamalar), ters ve transpoze matrisleri bulmak ve en önemlisi determinantı hesaplamak. Bu zaman alıcı görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek çok daha hızlı olur.
