Vektör önemli bir geometrik nesnedir, özelliklerinin yardımıyla düzlemde ve uzayda birçok sorunu çözmeye uygundur. Bu yazıda onu tanımlayacağız, temel özelliklerini ele alacağız ve ayrıca uzayda bir vektörün düzlemleri tanımlamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz.
Vektör nedir: iki boyutlu durum
Öncelikle hangi nesneden bahsettiğimizi net olarak anlamak gerekiyor. Geometride, yönlendirilmiş bir segmente vektör denir. Herhangi bir segment gibi, iki ana unsurla karakterize edilir: başlangıç ve bitiş noktaları. Bu noktaların koordinatları, vektörün tüm özelliklerini benzersiz bir şekilde belirler.
Bir düzlemdeki bir vektör örneğini ele alalım. Bunu yapmak için, karşılıklı olarak dik iki x ve y ekseni çiziyoruz. Rasgele bir P(x, y) noktasını işaretleyelim. Bu noktayı orijine (O noktası) bağlarsak ve ardından yönü P'ye belirtirsek, OP¯ vektörünü elde ederiz (makalenin ilerleyen bölümlerinde, sembolün üzerindeki çubuk bir vektör düşündüğümüzü gösterir). Uçakta vektör çizimi aşağıda gösterilmiştir.
Burada, başka bir AB¯ vektörü de gösterilmektedir ve özelliklerinin OP¯ ile tamamen aynı olduğunu ancak koordinat sisteminin farklı bir bölümünde olduğunu görebilirsiniz. Paralel çeviri OP¯ ile, aynı özelliklere sahip sonsuz sayıda vektör elde edebilirsiniz.
Uzayda vektör
Bizi çevreleyen tüm gerçek nesneler üç boyutlu uzaydadır. Üç boyutlu şekillerin geometrik özelliklerinin incelenmesi, üç boyutlu vektörler kavramıyla çalışan stereometri ile ilgilenir. İki boyutlu olanlardan yalnızca açıklamalarının üçüncü dik x ve y ekseni z boyunca ölçülen ek bir koordinat gerektirmesi bakımından farklılık gösterirler.
Aşağıdaki şekil uzayda bir vektörü göstermektedir. Her eksen boyunca ucunun koordinatları renkli bölümlerle gösterilir. Vektörün başlangıcı, üç koordinat ekseninin de kesişme noktasında bulunur, yani (0; 0; 0) koordinatlarına sahiptir.
Düzlemdeki bir vektör, uzamsal olarak yönlendirilmiş bir doğru parçasının özel bir durumu olduğundan, makalede yalnızca üç boyutlu bir vektörü ele alacağız.
Başlangıç ve bitişinin bilinen koordinatlarına dayalı vektör koordinatları
İki nokta olduğunu varsayalım P(x1; y1; z1) ve Q(x2; y2; z2). PQ¯ vektörünün koordinatları nasıl belirlenir. İlk olarak, hangi noktaların vektörün başlangıcı ve hangilerinin sonu olacağı konusunda anlaşmak gerekir. Matematikte, söz konusu nesneyi yönü boyunca yazmak gelenekseldir, yani P başlangıçtır, Q- son. İkinci olarak, PQ¯ vektörünün koordinatları, sonun ve başlangıcın karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak hesaplanır, yani:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Vektörün yönünü değiştirerek koordinatlarının aşağıdaki gibi işaret değiştireceğini unutmayın:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Bu, PQ¯=-QP¯ anlamına gelir.
Bir şeyi daha anlamak önemlidir. Yukarıda, düzlemde verilen vektöre eşit sonsuz sayıda vektör olduğu söylendi. Bu gerçek mekansal durum için de geçerlidir. Aslında yukarıdaki örnekte PQ¯ koordinatlarını hesapladığımızda bu vektörün orijini orijine denk gelecek şekilde paralel öteleme işlemini gerçekleştirdik. Vektör PQ¯, orijinden M noktasına yönlendirilmiş bir segment olarak çizilebilir((x2 - x1; y2) - y1; z2 - z1).
Vektör özellikleri
Herhangi bir geometri nesnesi gibi, bir vektörün de problemleri çözmek için kullanılabilecek bazı doğal özellikleri vardır. Bunları kısaca listeleyelim.
Vektör modülü, yönlendirilmiş parçanın uzunluğudur. Koordinatları bilmek, hesaplamak kolaydır. Yukarıdaki örnekteki PQ¯ vektörü için modül:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektör modülü açıkdüzlem, yalnızca üçüncü koordinatın katılımı olmadan benzer bir formülle hesaplanır.
Vektörlerin toplamı ve farkı üçgen kuralına göre yapılır. Aşağıdaki şekil, bu nesnelerin nasıl toplanıp çıkarılacağını gösterir.
Toplam vektörünü elde etmek için ikinci vektörün başlangıcını birinci vektörün sonuna ekleyin. İstenen vektör birinci vektörün başında başlayacak ve ikinci vektörün sonunda bitecektir.
Çıkarılan vektörün zıt vektörle yer değiştirdiği dikkate alınarak fark yapılır ve ardından yukarıda açıklanan toplama işlemi yapılır.
Toplama ve çıkarmanın yanı sıra, bir vektörü bir sayı ile çarpabilmek önemlidir. Sayı k'ye eşitse, modülü orijinal olandan k kat farklı olan ve yönü ya aynı (k>0) ya da orijinalin tersi olan (k<0) bir vektör elde edilir.
Vektörlerin kendi aralarında çarpma işlemi de tanımlanır. Makalede bunun için ayrı bir paragraf ayıracağız.
Skaler ve vektör çarpması
İki vektör olduğunu varsayalım u¯(x1; y1; z1) ve v¯(x2; y2; z2). Vektör vektör iki farklı şekilde çarpılabilir:
- Skalar. Bu durumda sonuç bir sayıdır.
- Vektör. Sonuç, yeni bir vektör.
u¯ ve v¯ vektörlerinin skaler çarpımı şu şekilde hesaplanır:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
α verilen vektörler arasındaki açıdır.
U¯ ve v¯ koordinatlarını bilerek, nokta çarpımlarının aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği gösterilebilir:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skaler çarpım, bir vektörü dikey olarak yönlendirilmiş iki parçaya ayrıştırırken kullanmak için uygundur. Ayrıca vektörlerin paralelliğini veya dikliğini hesaplamak ve aralarındaki açıyı hesaplamak için kullanılır.
u¯ ve v¯'nin çapraz çarpımı, orijinal olanlara dik olan ve modülü olan yeni bir vektör verir:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Yeni vektörün aşağı veya yukarı yönü sağ elin kuralıyla belirlenir (sağ elin dört parmağı birinci vektörün sonundan ikincinin sonuna doğru yönlendirilir ve başparmak yukarıya doğru yeni vektörün yönünü gösterir). Aşağıdaki şekil, rastgele a¯ ve b¯ için çapraz çarpımın sonucunu gösterir.
Çapraz çarpım, şekillerin alanlarını hesaplamanın yanı sıra belirli bir düzleme dik bir vektörün koordinatlarını belirlemek için kullanılır.
Vektörler ve özellikleri, bir düzlemin denklemini tanımlarken kullanışlıdır.
Düzlemin normal ve genel denklemi
Bir düzlem tanımlamanın birkaç yolu vardır. Bunlardan biri, kendisine dik olan vektörün ve düzleme ait bilinen bir noktanın bilgisinden doğrudan çıkan düzlemin genel denkleminin türetilmesidir.
Bir n¯ (A; B; C) vektörü ve bir P noktası (x0; y0; z 0). Düzlemin tüm Q(x; y; z) noktalarını hangi koşul sağlar? Bu koşul, herhangi bir PQ¯ vektörünün normal n¯'ye dikliğinden oluşur. İki dik vektör için, nokta çarpımı sıfır olur (cos(90o)=0), şunu yazın:
(n¯PQ¯)=0 veya
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Parantezleri açarak şunu elde ederiz:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 veya
Ax + By + Cz +D=0 burada D=-Ax0-By0-Cz0.
Bu denkleme düzlem için genel denir. x, y ve z'nin önündeki katsayıların n¯ dik vektörünün koordinatları olduğunu görüyoruz. Buna uçak rehberi denir.
Uçağın vektör parametrik denklemi
Bir düzlemi tanımlamanın ikinci yolu, içinde yatan iki vektörü kullanmaktır.
Vektörlerin olduğunu varsayalım u¯(x1; y1; z1) ve v¯(x2; y2; z2). Söylendiği gibi, uzayda her biri sonsuz sayıda özdeş yönlendirilmiş segment ile temsil edilebilir, bu nedenle düzlemi benzersiz bir şekilde belirlemek için bir noktaya daha ihtiyaç vardır. Bu nokta P(x0;y0; z0). Herhangi bir Q(x; y; z) noktası, eğer PQ¯ vektörü u¯ ve v¯'nin bir kombinasyonu olarak gösterilebiliyorsa, istenen düzlemde yer alacaktır. Yani, elimizde:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Burada α ve β bazı gerçek sayılardır. Bu eşitlikten şu ifade gelir:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Buna düzlemin 2 vektörü u¯ ve v¯'ye göre parametrik vektör denklemi denir. Rasgele parametreler α ve β'yı değiştirerek, bu düzleme ait tüm noktalar (x; y; z) bulunabilir.
Bu denklemden düzlem için genel ifadeyi elde etmek kolaydır. Bunu yapmak için hem u¯ hem de v¯ vektörlerine dik olacak n¯ yön vektörünü bulmak yeterlidir, yani vektör çarpımları uygulanmalıdır.
Düzlemin genel denklemini belirleme problemi
Geometrik problemleri çözmek için yukarıdaki formüllerin nasıl kullanılacağını gösterelim. Düzlemin yön vektörünün n¯(5; -3; 1) olduğunu varsayalım. P(2; 0; 0) noktasının kendisine ait olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulmalısınız.
Genel denklem şu şekilde yazılır:
Ax + By + Cz +D=0.
Düze dik olan vektör bilindiği için denklem şu şekilde olacaktır:
5x - 3y + z +D=0.
Serbest D terimini bulmak için kalır. Bunu P: koordinatlarının bilgisinden hesaplıyoruz.
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Böylece, düzlemin istenen denklemi şu şekildedir:
5x - 3y + z -10=0.
Aşağıdaki şekil, ortaya çıkan düzlemin nasıl göründüğünü gösterir.
Noktaların belirtilen koordinatları, düzlemin x, y ve z eksenleriyle kesişimlerine karşılık gelir.
İki vektör ve bir nokta üzerinden düzlemi belirleme problemi
Şimdi önceki düzlemin farklı tanımlandığını varsayalım. İki vektör u¯(-2; 0; 10) ve v¯(-2; -10/3; 0) ve ayrıca P(2; 0; 0) noktası bilinmektedir. Düzlem denklemi vektör parametrik biçimde nasıl yazılır? Karşılık gelen formülü kullanarak şunu elde ederiz:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Düzlemin bu denkleminin tanımlarının, u¯ ve v¯ vektörlerinin kesinlikle herhangi bir şekilde alınabileceğini unutmayın, ancak bir şartla: paralel olmamalıdırlar. Aksi takdirde, düzlem benzersiz bir şekilde belirlenemez, ancak bir kiriş veya bir dizi düzlem için bir denklem bulunabilir.
