Uzayda geometrik problemleri çözerken ortaya çıkan şekillerden biri konidir. Çokyüzlülerin aksine, dönme figürleri sınıfına aittir. Makalede geometride ne anlama geldiğini düşünelim ve koninin çeşitli bölümlerinin özelliklerini keşfedelim.
Geometride koni
Düzlemde bir eğri olduğunu varsayalım. Bir parabol, daire, elips vb. olabilir. Belirtilen düzleme ait olmayan bir nokta alın ve eğrinin tüm noktalarını ona bağlayın. Ortaya çıkan yüzeye koni veya basitçe koni denir.
Orijinal eğri kapalıysa, konik yüzey madde ile doldurulabilir. Bu şekilde elde edilen şekil üç boyutlu bir cisimdir. Aynı zamanda koni olarak da adlandırılır. Aşağıda birkaç kağıt koni gösterilmiştir.
Konik yüzey günlük yaşamda bulunur. Örneğin, bir dondurma külahı veya şeritli bir trafik külahı, sürücülerin ve sürücülerin dikkatini çekmek için tasarlanmış bu şekle sahiptir.yayalar.
Koni çeşitleri
Tahmin edebileceğiniz gibi, incelenen rakamlar, oluştukları eğrinin türüne göre birbirinden farklıdır. Örneğin, yuvarlak bir koni veya eliptik bir koni var. Bu eğriye şeklin tabanı denir. Ancak, konilerin sınıflandırılmasını sağlayan tek özellik tabanın şekli değildir.
İkinci önemli özellik, yüksekliğin tabana göre konumudur. Bir koninin yüksekliği, şeklin tepesinden taban düzlemine indirilen ve bu düzleme dik olan düz bir çizgi parçasıdır. Yükseklik tabanı geometrik merkezde kesiyorsa (örneğin, dairenin merkezinde), o zaman koni düz olacaktır, eğer dik parça tabanın herhangi bir noktasına veya ötesine düşerse, o zaman şekil olacaktır. eğik.
Makalenin ilerleyen bölümlerinde, dikkate alınan şekil sınıfının parlak bir temsilcisi olarak yalnızca yuvarlak düz bir koniyi ele alacağız.
Koni elemanlarının geometrik isimleri
Yukarıda koninin bir tabanı olduğu söylendi. Koninin kılavuzu olarak adlandırılan bir daire ile sınırlandırılmıştır. Kılavuzu taban düzleminde yer almayan bir noktaya bağlayan segmentlere jeneratörler denir. Jeneratörlerin tüm noktalarının kümesine şeklin konik veya yan yüzeyi denir. Yuvarlak bir sağ koni için tüm jeneratörler aynı uzunluğa sahiptir.
Jeneratörlerin kesiştiği noktaya şeklin üstü denir. Çokyüzlülerden farklı olarak, bir koninin tek bir tepe noktası vardır ve hiçbirkenar.
Şeklin üstünden ve dairenin merkezinden geçen düz bir çizgiye eksen denir. Eksen düz bir koninin yüksekliğini içerir, bu nedenle taban düzlemi ile dik açı oluşturur. Bu bilgi, koninin eksenel bölümünün alanını hesaplarken önemlidir.
Yuvarlak düz koni - dönüş şekli
Değerlendirilen koni, üçgenin dönüşü sonucunda elde edilebilecek oldukça simetrik bir şekildir. Diyelim ki dik açılı bir üçgenimiz var. Bir koni elde etmek için aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bu üçgeni bacaklardan birinin etrafında döndürmek yeterlidir.
Dönme ekseninin koninin ekseni olduğu görülebilir. Bacaklardan biri şeklin yüksekliğine eşit olacak ve ikinci bacak tabanın yarıçapı olacak. Dönme sonucu bir üçgenin hipotenüsü, konik bir yüzeyi tanımlayacaktır. Koninin generatrisi olacak.
Yuvarlak düz bir koni elde etme yöntemi, şeklin doğrusal parametreleri arasındaki matematiksel ilişkiyi incelemek için uygundur: yükseklik h, yuvarlak taban r'nin yarıçapı ve kılavuz g. Karşılık gelen formül, bir dik üçgenin özelliklerinden gelir. Aşağıda listelenmiştir:
g2=h2+ r2.
Bir denklemimiz ve üç değişkenimiz olduğundan, bu, yuvarlak bir koninin parametrelerini benzersiz şekilde ayarlamak için herhangi iki miktarı bilmeniz gerektiği anlamına gelir.
Şeklin tepe noktasını içermeyen bir düzlem tarafından koninin bölümleri
Bir figürün bölümlerini oluşturma sorunu,önemsiz. Gerçek şu ki, koninin yüzeye göre bölümünün şekli, şeklin ve sekantın göreli konumuna bağlıdır.
Koniyi bir düzlemle kestiğimizi varsayalım. Bu geometrik işlemin sonucu ne olacak? Kesit şekli seçenekleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Pembe kısım bir dairedir. Şeklin koninin tabanına paralel olan bir düzlemle kesişmesi sonucu oluşur. Bunlar, şeklin eksenine dik olan bölümlerdir. Kesme düzleminin üzerinde oluşan şekil, orijinaline benzer, ancak tabanında daha küçük bir daire bulunan bir konidir.
Yeşil kısım bir elipstir. Kesme düzlemi tabana paralel değilse, sadece koninin yan yüzeyini keserse elde edilir. Düzlemin üzerinde kesilen şekle eliptik eğik koni denir.
Mavi ve turuncu bölümler sırasıyla parabolik ve hiperboliktir. Şekilden de görebileceğiniz gibi, kesme düzlemi şeklin yan yüzeyi ve tabanı ile aynı anda kesişirse elde edilirler.
Konunun ele alınan bölümlerinin alanlarını belirlemek için, düzlemde karşılık gelen şekil için formülleri kullanmak gerekir. Örneğin, bir daire için bu, yarıçapın karesiyle çarpılan Pi sayısıdır ve bir elips için bu, Pi'nin çarpımı ve küçük ve büyük yarım eksenlerin uzunluğudur:
daire: S=pir2;
elips: S=piab.
Koninin üst kısmını içeren bölümler
Şimdi, kesme düzlemi aşağıdaysa ortaya çıkan kesit seçeneklerini düşünün.koninin tepesinden geçirin. Üç durum mümkündür:
- Bölüm tek noktadır. Örneğin tepe noktasından tabana paralel geçen bir düzlem tam da böyle bir kesit verir.
- Bölüm düz bir çizgidir. Bu durum, düzlem konik bir yüzeye teğet olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda bölümün düz çizgisi, koninin generatrisi olacaktır.
- Eksenel bölüm. Düzlem sadece şeklin üstünü değil, tüm eksenini de içerdiğinde oluşur. Bu durumda düzlem yuvarlak tabana dik olacak ve koniyi iki eşit parçaya bölecektir.
Açıkçası, ilk iki tür bölümün alanları sıfıra eşittir. 3. tip için koninin kesit alanına gelince, bu konu bir sonraki paragrafta daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
Eksenel bölüm
Yukarıda bir koninin eksenel bölümünün, koninin ekseninden geçen bir düzlemle kesiştiği zaman oluşan şekil olduğu belirtilmişti. Bu bölümün aşağıdaki şekilde gösterilen figürü temsil edeceğini tahmin etmek kolaydır.
Bu bir ikizkenar üçgendir. Koninin eksenel bölümünün tepe noktası, aynı kenarların kesişmesiyle oluşan bu üçgenin tepe noktasıdır. İkincisi, koninin generatrisinin uzunluğuna eşittir. Üçgenin tabanı, koninin tabanının çapıdır.
Bir koninin eksenel bölümünün alanını hesaplamak, ortaya çıkan üçgenin alanını bulmaya indirgenir. Başlangıçta r tabanının yarıçapı ve koninin h yüksekliği biliniyorsa, söz konusu bölümün S alanı şu şekilde olacaktır:
S=hr.
Buifade, bir üçgenin alanı için standart formülün uygulanmasının bir sonucudur (yüksekliğin çarpımının yarısı taban).
Bir koninin genratrisi yuvarlak tabanının çapına eşitse, koninin eksenel bölümünün bir eşkenar üçgen olduğuna dikkat edin.
Kesme düzlemi koninin tabanına dik olduğunda ve ekseninden geçtiğinde üçgen bir bölüm oluşur. Adlandırılana paralel herhangi bir başka düzlem, kesitte bir hiperbol verecektir. Bununla birlikte, düzlem koninin tepe noktasını içeriyorsa ve tabanını çap üzerinden değil de kesiyorsa, sonuçta ortaya çıkan bölüm de bir ikizkenar üçgen olacaktır.
Koninin lineer parametrelerini belirleme problemi
Eksenel bölümün alanı için yazılan formülün geometrik bir problemi çözmek için nasıl kullanılacağını gösterelim.
Koninin eksenel bölümünün alanının 100 cm2 olduğu bilinmektedir. Ortaya çıkan üçgen eşkenardır. Koninin yüksekliği ve tabanının yarıçapı nedir?
Üçgenin eşkenar olduğu için yüksekliği h a kenarının uzunluğu ile şu şekilde ilişkilidir:
h=√3/2a.
Üçgenin kenarının koninin tabanının yarıçapının iki katı olduğu göz önüne alındığında ve bu ifadeyi kesit alanı formülünde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Öyleyse koninin yüksekliği:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Sorunun durumundan alanın değerini değiştirmek için kalırve cevabı alın:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Değerlendirilen bölümlerin parametrelerini bilmek hangi alanlarda önemlidir?
Çeşitli tipteki koni bölümlerinin incelenmesi sadece teorik açıdan ilgi çekici değildir, aynı zamanda pratik uygulamaları da vardır.
İlk olarak, konik bölümlerin yardımıyla katı cisimlerin ideal pürüzsüz şekillerini oluşturmanın mümkün olduğu aerodinamik alanına dikkat edilmelidir.
İkincisi, konik bölümler, uzay nesnelerinin yerçekimi alanlarında hareket ettiği yörüngelerdir. Sistemin kozmik cisimlerinin hareketinin yörüngesini temsil eden belirli bir kesit türü, kütlelerinin oranı, mutlak hızları ve aralarındaki mesafelerle belirlenir.
