Üçgen, ilkokulda aşina olduğumuz en yaygın geometrik şekillerden biridir. Bir üçgenin alanı nasıl bulunur sorusu geometri derslerinde her öğrencinin karşı karşıya kaldığı bir sorudur. Peki, verilen bir şeklin alanını bulmanın özellikleri nelerdir? Bu yazıda, böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formülleri ele alacağız ve aynı zamanda üçgen türlerini analiz edeceğiz.
Üçgen türleri
Bir üçgenin alanını tamamen farklı şekillerde bulabilirsiniz, çünkü geometride üç açı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:
- Akut üçgen.
- Obt-açılı.
- Eşkenar (doğru).
- Dik üçgen.
- İkizkenar.
Mevcut üçgen türlerinin her birine daha yakından bakalım.
Akutüçgen
Böyle bir geometrik şekil, geometrik problemlerin çözümünde en yaygın olarak kabul edilir. Rastgele bir üçgen çizmek gerektiğinde, bu seçenek kurtarmaya gelir.
Bir dar üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180°'ye ulaşır.
Dik açılı üçgen
Bu üçgen de çok yaygındır, ancak dar açılı olandan biraz daha az yaygındır. Örneğin üçgenleri çözerken (yani birkaç kenarını ve açısını biliyorsunuz ve kalan elemanları bulmanız gerekiyor), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor. Geniş açının kosinüsü negatif bir sayıdır.
Geniş bir üçgende, açılardan birinin değeri 90°'yi aşıyor, bu nedenle kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin, 15° hatta 3°).
Bu tür bir üçgenin alanını bulmak için, daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekir.
Düzenli ve ikizkenar üçgenler
Düzenli bir çokgen, n tane açı içeren ve tüm kenarları ve açıları birbirine eşit olan bir şekildir. Bu doğru üçgen. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan, üç açının her biri 60°'dir.
Düzenli bir üçgen, özelliğinden dolayı eşkenar şekil olarak da adlandırılır.
Ayrıca şunu da belirtmekte fayda var:normal bir üçgen sadece bir daire ile çizilebilir ve onun etrafına sadece bir daire çizilebilir ve merkezleri bir noktada bulunur.
Eşkenar tipinin yanı sıra, ondan biraz farklı olan bir ikizkenar üçgen de seçilebilir. Böyle bir üçgende, iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (eşit açıların birleştiği) tabandır.
Şekil, D ve F açıları eşit ve DF taban olan bir ikizkenar üçgen DEF'yi göstermektedir.
Dik üçgen
Dik açılı bir üçgen, açılarından biri dik açı, yani 90°'ye eşit olduğu için böyle adlandırılır. Diğer iki açının toplamı 90°'dir.
Böyle bir üçgenin 90°'lik açının karşısında yer alan en büyük kenarı hipotenüs, diğer iki kenarı ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi uygulanabilir:
Bacak uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Şekil, AC hipotenüsü ve AB ve BC ayakları olan bir BAC dik üçgenini göstermektedir.
Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bacaklarının sayısal değerlerini bilmeniz gerekir.
Bu şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.
Temel alan formülleri
Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmaya uygun iki formül vardır, yani dar açılı, geniş açılı, düzenli veikizkenar üçgenler. Her birini analiz edelim.
Yan ve yükseklikte
Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için, kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (tabanın ve yüksekliğin çarpımının yarısı) şöyle görünür:
S=½AH, burada A verilen üçgenin kenarı ve H üçgenin yüksekliğidir.
Örneğin, dar açılı bir ACB üçgeninin alanını bulmak için, AB tarafını CD yüksekliği ile çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.
Ancak bu şekilde bir üçgenin alanını bulmak her zaman kolay değildir. Örneğin, bu formülü geniş açılı bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birine devam etmeniz ve ancak bundan sonra ona bir yükseklik çizmeniz gerekir.
Pratikte bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.
İki tarafta ve bir köşede
Bu formül, bir önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamıyla bir üçgenin kenar ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani, söz konusu formül bir öncekinden kolayca türetilebilir. İfadesi şuna benziyor:
S=½sinOAB, burada A ve B bir üçgenin kenarlarıdır ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.
Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V. M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görüntülenebileceğini hatırlayın.
Şimdi diğer formüllere geçelim,sadece istisnai üçgen türleri için uygundur.
Bir dik üçgenin alanı
Üçgende yükseklik çizme ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacakları tarafından bulunabilir.
Dolayısıyla, bir dik açı içeren bir üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısıdır veya:
S=½ab, burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.
Düzenli Üçgen
Bu tür geometrik şekiller, alanının kenarlarından yalnızca birinin belirtilen değeriyle bulunabilmesi bakımından farklılık gösterir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Bu nedenle, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma" göreviyle tanışmışsanız, aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:
S=A2√3 / 4, burada A bir eşkenar üçgenin kenarıdır.
Heron'un Formülü
Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron'un formülüdür. Bunu kullanmak için şeklin üç kenarının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şuna benzer:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), burada a, b ve c bu üçgenin kenarlarıdır.
Bazen verilen görev: "düzenli bir üçgenin alanı - kenarının uzunluğunu bulun." Bu durumda, normal bir üçgenin alanını bulmak için zaten bilinen formülü kullanmanız ve kenar (veya karesinin) değerini ondan türetmeniz gerekir:
A2=4S / √3.
Sınav Problemleri
GIA görevlerindeMatematikte birçok formül vardır. Ek olarak, kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak genellikle gereklidir.
Bu durumda, şeklin kenarlarından birine yüksekliği çizmek, uzunluğunu hücrelere göre belirlemek ve alanı bulmak için evrensel formülü kullanmak en uygunudur:
S=½AH.
Yani, makalede sunulan formülleri çalıştıktan sonra, herhangi bir üçgenin alanını bulmakta sorun yaşamayacaksınız.
