Bacaklar ve hipotenüs bir dik üçgenin kenarlarıdır. Birincisi, dik açıya bitişik parçalardır ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90o açının karşısındadır. Bir Pisagor üçgeni, kenarları doğal sayılara eşit olan üçgendir; bu durumda uzunlukları "Pisagor üçlüsü" olarak adlandırılır.
Mısır üçgeni
Mevcut neslin geometriyi şimdi okulda öğretildiği biçimde öğrenmesi için, birkaç yüzyıldır gelişiyor. Temel nokta Pisagor teoremidir. Bir dik üçgenin kenarları (şekil tüm dünyada bilinir) 3, 4, 5'tir.
Çok az insan "Pisagor pantolonları her yönden eşittir" ifadesine aşina değildir. Ancak, teorem aslında kulağa şöyle geliyor: c2 (hipotenüsün karesi)=a2+b2(ayakların karelerinin toplamı).
Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m, vb.) olan üçgene "Mısırlı" denir. Şekilde yazılı olan dairenin yarıçapının bire eşit olması ilginçtir. Adı, Yunan filozofların Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.
Mimarlar ve haritacılar piramitleri inşa ederken 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, göze hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.
Dik bir açı oluşturmak için, inşaatçılar 12 düğümün bağlı olduğu bir ip kullandılar. Bu durumda, dik açılı bir üçgen oluşturma olasılığı %95'e yükseldi.
Eşit rakamların işaretleri
- İkinci üçgendeki aynı elemanlara eşit olan bir dik üçgende dar açı ve büyük bir kenar, rakamların eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını hesaba katarak, ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Böylece ikinci özellikte üçgenler özdeştir.
- İki şekil birbirinin üzerine bindirildiğinde, onları öyle bir döndürün ki bir araya geldiklerinde tek bir ikizkenar üçgen haline gelsinler. Özelliğine göre, kenarlar veya daha doğrusu hipotenüsler, tabandaki açılar gibi eşittir, bu da bu rakamların aynı olduğu anlamına gelir.
İlk işaretle üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır, asıl mesele iki küçük kenarın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.
Üçgenler, özü bacak ve dar açının eşitliği olan II özelliğinde aynı olacaktır.
Dik açılı bir üçgenin özellikleri
Dik açıdan indirilen yükseklik, şekli iki eşit parçaya böler.
Dik açılı bir üçgenin kenarlarını ve ortancasını kuralla tanımak kolaydır: hipotenüse indirilen ortanca, bunun yarısına eşittir. Bir şeklin alanı hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.
Bir dik üçgende, 30o, 45o ve 60o açılarının özellikleri.
- 30o olan bir açıyla, karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağını unutmayın.
- Açı 45o ise, ikinci dar açı da 45o olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
- 60o açısının özelliği, üçüncü açının derece ölçüsünün 30o olmasıdır.
Alanı üç formülden biriyle bulmak kolaydır:
- düştüğü yerden ve yükseklikten;
- Heron'un formülüne göre;
- yanlarda ve aralarındaki açıda.
Dik açılı bir üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacakları iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni düşünmek ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak, hipotenüsün alanının ve uzunluğunun iki katı oranı da vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiği için ilkidir.
Bir dikdörtgene uygulanan teoremlerüçgen
Bir dik üçgenin geometrisi şu teoremlerin kullanımını içerir:
- Pisagor teoremi. Özü, hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olması gerçeğinde yatmaktadır. Öklid geometrisinde bu ilişki anahtardır. Bir üçgen verilirse formülü kullanabilirsiniz, örneğin SNH. SN hipotenüs ve bulunması gerekiyor. Ardından SN2=NH2+HS2.
- Kosinüs teoremi. Pisagor teoremini genelleştirir: g2=f2+s2-2fscos aralarındaki açı. Örneğin, verilen bir DOB üçgeni. Bacak DB ve hipotenüs DO biliniyor, OB'yi bulmak gerekiyor. Ardından formül şu biçimi alır: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos açısı D. Üç sonuç vardır: Üçgenin açısı dar olacaktır, üçüncünün uzunluğunun karesi iki kenarın karelerinin toplamından çıkarılırsa, sonuç sıfırdan küçük olmalıdır. Bu ifade sıfırdan büyükse açı geniştir. Açı, sıfıra eşit olduğunda bir dik açıdır.
- Sinüs teoremi. Kenarların zıt açılarla ilişkisini gösterir. Başka bir deyişle, kenarların uzunluklarının karşı açıların sinüslerine oranıdır. Hipotenüsün HF olduğu HFB üçgeninde, doğru olacaktır: HF/sin açısı B=FB/sin H açısı=HB/sin F açısı için.
