Silindir: yan yüzey alanı. Silindirin yan yüzeyinin alanı için formül

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Sterometri çalışırken, ana konulardan biri "Silindir". Yan yüzey alanı, ana değilse de, geometrik problemlerin çözümünde önemli bir formül olarak kabul edilir. Ancak örnekler arasında gezinmenize ve çeşitli teoremleri ispatlamanıza yardımcı olacak tanımları hatırlamak önemlidir.

Silindir konsepti

Önce birkaç tanımı dikkate almamız gerekiyor. Ancak onları inceledikten sonra, bir silindirin yan yüzeyinin alanı için formül sorusunu düşünmeye başlayabilirsiniz. Bu girdiye dayanarak diğer ifadeler hesaplanabilir.

• Silindirik bir yüzey, belirli bir yöne paralel hareket eden ve mevcut bir eğri boyunca kayan, bir generatrix tarafından tanımlanan bir düzlem olarak anlaşılır.
• İkinci bir tanım daha vardır: silindirik bir yüzey, belirli bir eğriyi kesen bir dizi paralel çizgiden oluşur.
• Üretici, geleneksel olarak silindirin yüksekliği olarak adlandırılır. Tabanın merkezinden geçen bir eksen etrafında hareket ettiğinde,belirlenen geometrik gövde elde edilir.
• Eksenin altında, şeklin her iki tabanından geçen düz bir çizgi kastedilmektedir.
• Silindir, kesişen bir yan yüzey ve 2 paralel düzlemle sınırlanan stereometrik bir gövdedir.

Bu üç boyutlu figürün çeşitleri var:

1. Dairesel, kılavuzu daire olan bir silindirdir. Ana bileşenleri, tabanın yarıçapı ve generatrix'tir. İkincisi, şeklin yüksekliğine eşittir.
2. Düz bir silindir var. Adını, generatrix'in şeklin tabanlarına dik olmasından dolayı almıştır.
3. Üçüncü tür, eğimli bir silindirdir. Ders kitaplarında bunun için başka bir isim de bulabilirsiniz - "eğimli tabanlı dairesel silindir". Bu şekil tabanın yarıçapını, minimum ve maksimum yükseklikleri tanımlar.
4. Eşkenar silindir, dairesel bir düzlemin eşit yüksekliğine ve çapına sahip bir gövde olarak anlaşılır.

Semboller

Geleneksel olarak, bir silindirin ana "bileşenleri" şu şekilde adlandırılır:

• Tabanın yarıçapı R'dir (aynı zamanda stereometrik bir figürün aynı değerinin yerine geçer).
• Üretici – L.
• Yükseklik – H.
• Temel alan - S_{base (başka bir deyişle, belirtilen daire parametresini bulmanız gerekir).}
• Eğimli silindir yükseklikleri – h₁, h_{2 (minimum ve maksimum).}
• Yan yüzey alanı - S_{yan (eğer genişletirseniz,bir tür dikdörtgen).}
• Stereometrik bir figürün hacmi - V.
• Toplam yüzey alanı – S.

Stereometrik bir figürün “Bileşenleri”

Bir silindiri incelerken, yan yüzey alanı önemli bir rol oynar. Bunun nedeni, bu formülün başka, daha karmaşık olanlara dahil edilmesidir. Bu nedenle, teoride çok bilgili olmak gerekir.

Şeklin ana bileşenleri:

1. Yan yüzey. Bildiğiniz gibi, generatrix'in belirli bir eğri boyunca hareketi nedeniyle elde edilir.
2. Tam yüzey, mevcut tabanları ve yan düzlemi içerir.
3. Silindirin bölümü, kural olarak, şeklin eksenine paralel olarak yerleştirilmiş bir dikdörtgendir. Aksi takdirde, buna uçak denir. Uzunluk ve genişliğin diğer rakamların yarı zamanlı bileşenleri olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, şartlı olarak, bölümün uzunlukları jeneratörlerdir. Genişlik - stereometrik bir figürün paralel akorları.
4. Eksenel bölüm, uçağın vücudun merkezinden geçen konumu anlamına gelir.
5. Ve son olarak, son tanım. Bir tanjant, silindirin genratrisinden ve eksenel bölüme dik açılarda geçen bir düzlemdir. Bu durumda, bir koşulun karşılanması gerekir. Belirtilen generatrix, eksenel bölümün düzlemine dahil edilmelidir.

Silindirle çalışmak için temel formüller

Silindirin yüzey alanının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için, stereometrik bir figürün ana "bileşenlerini" ve bunları bulmak için formülleri incelemek gerekir.

Bu formüller, önce eğimli silindir için, sonra düz olan için ifadeler verilmesi bakımından farklılık gösterir.

Yapısız Örnekler

Görev 1.

Silindirin yan yüzeyinin alanını bilmek gereklidir. AC=8 cm kesitinin köşegeni verilmiştir (ayrıca ekseneldir). Generatrix ile temas halindeyken, _{<ACD=30° çıkıyor}

Karar. Köşegen ve açı değerleri bilindiğinden, bu durumda:

CD=ACcos 30°

Yorum yapın. Bu özel örnekte ACD üçgeni bir dik üçgendir. Bu, CD ve AC'yi bölme bölümünün=verilen açının kosinüsü olduğu anlamına gelir. Trigonometrik fonksiyonların değeri özel bir tabloda bulunabilir.

Benzer şekilde, AD değerini bulabilirsiniz:

AD=ACsin 30°

Şimdi istenen sonucu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamanız gerekiyor: Silindirin yan yüzeyinin alanı, şeklin yarıçapı ve yüksekliği olan "pi" ile çarpma sonucunun iki katına eşittir. Başka bir formül de kullanılmalıdır: silindirin tabanının alanı. "pi"yi yarıçapın karesiyle çarpmanın sonucuna eşittir. Ve son olarak, son formül: toplam yüzey alanı. Önceki iki alanın toplamına eşittir.

Görev 2.

Silindirler verilir. Hacimleri=128n cm³. Hangi silindir en küçüktam yüzey?

Karar. Önce bir şeklin hacmini ve yüksekliğini bulmak için formülleri kullanmanız gerekir.

Silindirin toplam yüzey alanı teoriden bilindiği için formülü uygulanmalıdır.

Elde edilen formülü silindirin alanının bir fonksiyonu olarak düşünürsek, o zaman ekstremum noktasında minimum "göstergeye" ulaşılacaktır. Son değeri elde etmek için farklılaşmayı kullanmanız gerekir.

Formüller, türevleri bulmak için özel bir tabloda görüntülenebilir. Gelecekte bulunan sonuç sıfıra eşitlenir ve denklemin çözümü bulunur.

Cevap: S_{min h=1/32 cm, R=64 cm'de ulaşılacaktır.}

Problem 3.

Stereometrik bir şekil verildi - bir silindir ve bir bölüm. İkincisi, stereometrik gövdenin eksenine paralel olacak şekilde gerçekleştirilir. Silindir aşağıdaki parametrelere sahiptir: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Kesit ile eksen arasındaki mesafeyi bulmak gerekir.

Karar.

Bir silindirin kesiti VSCM, yani bir dikdörtgen olarak anlaşıldığından, kenarı VM=h. WMC'nin dikkate alınması gerekiyor. Üçgen dikdörtgendir. Bu açıklamaya dayanarak, MK=BC olduğu doğru varsayımı çıkarabiliriz.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Buradan MK=BC=8 cm olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir sonraki adım, şeklin tabanından bir bölüm çizmektir. Ortaya çıkan düzlemi dikkate almak gerekir.

AD – stereometrik bir şeklin çapı. Problem ifadesinde bahsedilen bölümle paraleldir.

BC, mevcut dikdörtgenin düzleminde bulunan düz bir çizgidir.

ABCD bir yamuktur. Belirli bir durumda, çevresinde bir daire tanımlandığı için ikizkenar olarak kabul edilir.

Ortaya çıkan yamuğun yüksekliğini bulursanız problemin başında verilen cevabı alabilirsiniz. Yani: eksen ile çizilen bölüm arasındaki mesafeyi bulma.

Bunu yapmak için AD ve OS değerlerini bulmanız gerekiyor.

Cevap: Kesit eksenden 3 cm uzaktadır.

Malzemeyi birleştirme sorunları

Örnek 1.

Silindir verildi. Yanal yüzey alanı diğer çözümde kullanılır. Diğer seçenekler bilinmektedir. Tabanın alanı Q, eksenel bölümün alanı M'dir. S'yi bulmak gerekir. Yani silindirin toplam alanı.

Örnek 2.

Silindir verildi. Yanal yüzey alanı, problemi çözme adımlarından birinde bulunmalıdır. Yükseklik=4 cm, yarıçap=2 cm olduğu bilinmektedir. Stereometrik bir figürün toplam alanını bulmak gerekir.