Düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzeyinin alanı: formüller ve problem örnekleri

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Düzlemdeki ve üç boyutlu uzaydaki tipik geometrik problemler, farklı şekillerin yüzey alanlarını belirleme problemleridir. Bu yazıda, düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzeyinin alan formülünü sunuyoruz.

Piramit nedir?

Bir piramidin katı bir geometrik tanımını verelim. n kenarlı ve n köşeli bir çokgen olduğunu varsayalım. Belirtilen n-gon düzleminde olmayacak uzayda keyfi bir nokta seçiyoruz ve bunu çokgenin her bir köşesine bağlıyoruz. N-gonal piramit olarak adlandırılan, hacmi olan bir şekil elde edeceğiz. Örneğin, beşgen bir piramidin neye benzediğini aşağıdaki şekilde gösterelim.

Herhangi bir piramidin iki önemli unsuru, tabanı (n-gon) ve üstüdür. Bu elemanlar birbirine genellikle birbirine eşit olmayan n tane üçgen ile bağlanmıştır. Düşen dikeyyukarıdan aşağıya şeklin yüksekliği denir. Tabanı geometrik merkezde kesiyorsa (çokgenin kütle merkeziyle çakışıyorsa), böyle bir piramit düz çizgi olarak adlandırılır. Bu koşula ek olarak, taban düzgün bir çokgen ise, tüm piramit düzenli olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekil üçgen, dörtgen, beşgen ve altıgen tabanlı normal piramitlerin nasıl göründüğünü göstermektedir.

Piramit yüzeyi

Düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzeyinin alanı sorusuna dönmeden önce, yüzey kavramı üzerinde durmalıyız.

Yukarıda bahsedildiği ve şekillerde gösterildiği gibi, herhangi bir piramit bir dizi yüz veya kenardan oluşur. Bir kenar taban ve n kenar üçgendir. Tüm şeklin yüzeyi, her bir kenarının alanlarının toplamıdır.

Yüzeyi ortaya çıkan bir figür örneği üzerinde incelemek uygundur. Aşağıdaki şekillerde düzenli bir dörtgen piramit taraması gösterilmektedir.

Yüzey alanının aynı ikizkenar üçgenlerin dört alanı ile bir karenin alanının toplamına eşit olduğunu görüyoruz.

Şeklin kenarlarını oluşturan tüm üçgenlerin toplam alanına yan yüzeyin alanı denir. Sırada, düzenli bir dörtgen piramit için nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.

Dörtgen bir düzenli piramidin yan yüzeyinin alanı

Yanal alanı hesaplamak içinBelirtilen şeklin yüzeyinde, yine yukarıdaki taramaya dönüyoruz. Diyelim ki kare tabanın kenarını biliyoruz. a sembolü ile gösterelim. Dört özdeş üçgenin her birinin bir taban uzunluğu a'ya sahip olduğu görülebilir. Toplam alanlarını hesaplamak için bir üçgen için bu değeri bilmeniz gerekir. Geometri dersinden S_{t üçgeninin alanının, ikiye bölünmesi gereken taban ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğu bilinmektedir. Bu:}

S_t=1/2h_ba.

Burada h_b, a tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliğidir. Bir piramit için bu yükseklik özdür. Şimdi, söz konusu piramidin yan yüzeyinin S_{b alanını elde etmek için elde edilen ifadeyi 4 ile çarpmak kalır:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Bu formül iki parametre içerir: özet ve tabanın kenarı. Sonuncusu problemlerin çoğu durumunda biliniyorsa, birincisi diğer nicelikler bilinerek hesaplanmalıdır. İşte iki durum için apotema h_{b hesaplama formülleri:}

• yan kaburganın uzunluğu bilindiğinde;
• piramidin yüksekliği bilindiğinde.

Yan kenarın uzunluğunu (bir ikizkenar üçgenin kenarı) L sembolüyle gösterirsek, o zaman apotema h_{b şu formülle belirlenir:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Bu ifade, yan yüzey üçgeni için Pisagor teoreminin uygulanmasının sonucudur.

Biliniyorsapiramidin h yüksekliği, sonra apotema h_{b şu şekilde hesaplanabilir:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Bu ifadeyi elde etmek, piramidin içinde h ve a/2 bacakları ve h_{b hipotenüsünden oluşan dik açılı bir üçgen düşünürsek de zor değil.}

İki ilginç problemi çözerek bu formüllerin nasıl uygulanacağını gösterelim.

Bilinen yüzey alanıyla ilgili sorun

Düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanının 108 cm² olduğu bilinmektedir. Piramidin yüksekliği 7 cm ise, h_{b özünün uzunluğunun değerini hesaplamak gerekir.}

Yan yüzeyin S_{balanının formülünü yükseklikten yazalım. Bizde:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Burada, karşılık gelen apotema formülünü S_{b ifadesinin yerine koyduk. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:}

S_b²=4a²h² + a^4.

a'nın değerini bulmak için değişkenleri değiştirelim:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Şimdi bilinen değerleri yerine koyuyoruz ve ikinci dereceden denklemi çözüyoruz:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Bu denklemin sadece pozitif kökünü yazdık. O zaman piramidin tabanının kenarları şöyle olacaktır:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Apotemanın uzunluğunu elde etmek için,sadece şu formülü kullanın:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 bkz.}

Keops piramidinin yan yüzeyi

En büyük Mısır piramidi için yan yüzey alanının değerini belirleyin. Tabanında 230.363 metre kenar uzunluğuna sahip bir kare olduğu bilinmektedir. Yapının yüksekliği aslen 146.5 metre idi. Bu sayıları karşılık gelen S_{b formülünde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Bulunan değer, 17 futbol sahasının alanından biraz daha büyüktür.