Uygulamada, genellikle çeşitli şekillerde geometrik şekillerden bölümler oluşturma ve bölümlerin alanını bulma becerisi gerektiren görevler ortaya çıkar. Bu yazımızda prizma, piramit, koni ve silindirin ne kadar önemli bölümlerinin inşa edildiğine ve alanlarının nasıl hesaplanacağına bakacağız.
3D figürler
Stereometriden, kesinlikle herhangi bir türden üç boyutlu bir figürün birkaç yüzeyle sınırlı olduğu bilinmektedir. Örneğin, prizma ve piramit gibi çokyüzlüler için bu yüzeyler çokgen kenarlardır. Silindir ve koni için silindirik ve konik şekillerin dönüş yüzeylerinden bahsediyoruz.
Bir düzlem alırsak ve üç boyutlu bir şeklin yüzeyini keyfi olarak kesersek, bir bölüm elde ederiz. Alanı, düzlemin şeklin hacmi içinde olacak kısmının alanına eşittir. Bu alanın minimum değeri sıfırdır, bu da düzlem şekle değdiğinde gerçekleşir. Örneğin, düzlem bir piramidin veya koninin tepesinden geçerse, tek bir noktadan oluşan bir kesit elde edilir. Kesit alanının maksimum değeri şunlara bağlıdır:şeklin ve düzlemin göreli konumu, ayrıca şeklin şekli ve boyutu.
Aşağıda, iki dönüş figürü (silindir ve koni) ve iki çokyüzlü (piramit ve prizma) için oluşturulmuş bölümlerin alanının nasıl hesaplanacağını ele alacağız.
Silindir
Dairesel silindir, bir dikdörtgenin herhangi bir kenarı etrafında dönme şeklidir. Silindir iki doğrusal parametre ile karakterize edilir: taban yarıçapı r ve yükseklik h. Aşağıdaki şema dairesel düz bir silindirin nasıl göründüğünü gösterir.
Bu şekil için üç önemli bölüm türü vardır:
- yuvarlak;
- dikdörtgen;
- eliptik.
Eliptik, şeklin yan yüzeyini tabanına belirli bir açıyla kesen düzlemin bir sonucu olarak oluşur. Yuvarlak, silindirin tabanına paralel yan yüzeyin kesme düzleminin kesişmesinin sonucudur. Son olarak, kesme düzlemi silindirin eksenine paralel ise bir dikdörtgen elde edilir.
Dairesel alan şu formülle hesaplanır:
S1=pir2
Silindir ekseninden geçen eksenel bölümün, yani dikdörtgenin alanı şu şekilde tanımlanır:
S2=2rh
Koni bölümleri
Koni, bir dik üçgenin bacaklardan birinin etrafında dönme şeklidir. Koninin bir tepesi ve yuvarlak bir tabanı vardır. Parametreleri ayrıca yarıçap r ve yükseklik h'dir. Aşağıda bir kağıt koni örneği gösterilmektedir.
Birkaç tür konik bölüm vardır. Bunları sıralayalım:
- yuvarlak;
- eliptik;
- parabolik;
- hiperbolik;
- üçgen.
Yuvarlak tabana göre kesen düzlemin eğim açısını arttırırsanız, birbirlerini değiştirirler. En kolay yol, dairesel ve üçgenin kesit alanı için formülleri yazmaktır.
Konik bir yüzeyin tabana paralel bir düzlemle kesişmesi sonucu dairesel bir kesit oluşur. Alanı için aşağıdaki formül geçerlidir:
S1=pir2z2/h 2
Burada z, şeklin üst kısmından oluşturulan bölüme olan mesafedir. Görüldüğü gibi z=0 ise, düzlem sadece tepe noktasından geçer, dolayısıyla S1 alanı sıfıra eşit olacaktır. z < h olduğundan, incelenen bölümün alanı her zaman taban için değerinden daha az olacaktır.
Üçgen, düzlem şekli dönme ekseni boyunca kestiğinde elde edilir. Ortaya çıkan bölümün şekli, kenarları tabanın çapı ve koninin iki jeneratörü olan bir ikizkenar üçgen olacaktır. Bir üçgenin kesit alanı nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı şu formül olacaktır:
S2=rh
Bu eşitlik, keyfi bir üçgenin alanı için formülün taban uzunluğu ve yüksekliği boyunca uygulanmasıyla elde edilir.
Prizma bölümleri
Prizma, birbirine paralel iki özdeş çokgen tabanın varlığı ile karakterize edilen büyük bir şekiller sınıfıdır.paralelkenarlarla bağlanır. Bir prizmanın herhangi bir bölümü bir çokgendir. İncelenen şekillerin çeşitliliği (eğik, düz, n-gonal, düzenli, içbükey prizmalar) göz önüne alındığında, bölümlerinin çeşitliliği de büyüktür. Aşağıda yalnızca bazı özel durumları ele alıyoruz.
Kesme düzlemi tabana paralel ise prizmanın kesit alanı bu tabanın alanına eşit olacaktır.
Düzlem iki tabanın geometrik merkezlerinden geçiyorsa, yani şeklin yan kenarlarına paralelse, kesitte paralelkenar oluşur. Düz ve düzgün prizmalar olması durumunda, dikkate alınan kesit görünümü bir dikdörtgen olacaktır.
Piramit
Piramit, bir n-gon ve n üçgenden oluşan başka bir çokyüzlüdür. Aşağıda üçgen piramit örneği gösterilmektedir.
Kesit n-gonal tabana paralel bir düzlem tarafından çizilirse, şekli tabanın şekline tam olarak eşit olacaktır. Böyle bir bölümün alanı şu formülle hesaplanır:
S1=So(h-z)2/h 2
z, tabandan kesit düzlemine olan mesafedir, So tabanın alanıdır.
Kesme düzlemi piramidin tepesini içeriyorsa ve tabanıyla kesişiyorsa, o zaman üçgen bir bölüm elde ederiz. Alanı hesaplamak için bir üçgen için uygun formülün kullanımına başvurmalısınız.
