Geometrinin aksiyomlarından biri, herhangi iki noktadan tek bir düz çizgi çizmenin mümkün olduğunu belirtir. Bu aksiyom, belirtilen tek boyutlu geometrik nesneyi benzersiz bir şekilde tanımlayan benzersiz bir sayısal ifade olduğunu kanıtlar. Makalede iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır sorusunu ele alalım.
Nokta ve doğru nedir?
Uzayda ve düzlemde bir çift farklı noktadan geçen bir denklemin düz bir doğrusunu oluşturma meselesini düşünmeden önce, belirtilen geometrik nesneleri tanımlamanız gerekir.
Bir nokta, belirli bir koordinat ekseni sistemindeki bir dizi koordinat tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. Bunlara ek olarak, nokta için daha fazla özellik yoktur. O sıfır boyutlu bir nesnedir.
Düz bir çizgiden bahsederken, herkes beyaz bir kağıda tasvir edilen bir çizgi hayal eder. Aynı zamanda kesin bir geometrik tanım vermek mümkündür.bu nesne. Düz bir çizgi, her birinin diğerleriyle bağlantısının bir dizi paralel vektör vereceği böyle bir noktalar topluluğudur.
Bu tanım, aşağıda tartışılacak olan düz bir çizginin vektör denklemi ayarlanırken kullanılır.
Herhangi bir çizgi, isteğe bağlı uzunlukta bir parça ile işaretlenebildiğinden, tek boyutlu bir geometrik nesne olduğu söylenir.
Sayı vektör işlevi
Geçmekte olan bir doğrunun iki noktasından geçen bir denklem farklı şekillerde yazılabilir. Üç boyutlu ve iki boyutlu uzaylarda, ana ve sezgisel olarak anlaşılabilir sayısal ifade bir vektördür.
Yönlendirilmiş bir u¯(a; b; c) segmenti olduğunu varsayalım. 3B uzayda, u¯ vektörü herhangi bir noktadan başlayabilir, bu nedenle koordinatları sonsuz bir paralel vektör kümesi tanımlar. Ancak, belirli bir nokta P(x0; y0; z0) seçersek ve bu, u¯ vektörünün başlangıcı olarak, bu vektörü keyfi bir λ gerçek sayısı ile çarparak, uzayda bir düz çizginin tüm noktaları elde edilebilir. Yani, vektör denklemi şu şekilde yazılacaktır:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Açıkçası, düzlemdeki durum için sayısal işlev şu biçimi alır:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Diğerlerine kıyasla bu tür bir denklemin avantajı (segmentlerde, kanonik,genel biçim), yön vektörünün koordinatlarını açıkça içermesi gerçeğinde yatmaktadır. İkincisi genellikle çizgilerin paralel mi yoksa dik mi olduğunu belirlemek için kullanılır.
İki boyutlu uzayda düz bir çizgi için segmentlerde genel ve kanonik fonksiyon
Problemleri çözerken bazen iki noktadan geçen düz bir doğrunun denklemini belirli, belirli bir biçimde yazmanız gerekir. Bu nedenle, bu geometrik nesneyi iki boyutlu uzayda belirtmenin başka yolları da verilmelidir (basitlik için düzlemdeki durumu ele alıyoruz).
Genel bir denklemle başlayalım. Şu şekildedir:
Ax + By + C=0
Kural olarak, düzlemde düz bir çizginin denklemi bu biçimde yazılır, sadece y açıkça x ile tanımlanır.
Şimdi yukarıdaki ifadeyi aşağıdaki gibi dönüştürün:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Bu ifadeye segmentler halinde denklem denir, çünkü her değişkenin paydası, başlangıç noktasına (0; 0) göre doğru parçasının karşılık gelen koordinat ekseninde ne kadar süreyle kesildiğini gösterir.
Kanonik denklemin bir örneğini vermek için kalır. Bunu yapmak için vektör eşitliğini açıkça yazıyoruz:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
λ parametresini buradan ifade edelim ve elde edilen eşitlikleri eşitleyelim:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Son eşitlik, kurallı veya simetrik biçimde denklem olarak adlandırılır.
Her biri vektöre dönüştürülebilir ve tersi de yapılabilir.
İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi: bir derleme tekniği
Makalenin sorusuna geri dön. Uzayda iki nokta olduğunu varsayalım:
M(x1; y1; z1) ve N(x 2; y2; z2)
Tek düz çizgi içlerinden geçer, denklemi vektör biçiminde oluşturmak çok kolaydır. Bunu yapmak için, yönlendirilmiş MN¯ segmentinin koordinatlarını hesaplıyoruz, elimizde:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Bu vektörün denklemi elde edilmesi gereken düz doğru için kılavuz olacağını tahmin etmek zor değil. M ve N'den de geçtiğini bilerek, vektör ifadesi için bunlardan herhangi birinin koordinatlarını kullanabilirsiniz. Ardından istenen denklem şu şekli alır:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
İki boyutlu uzaydaki durum için, z değişkeninin katılımı olmadan benzer bir eşitlik elde ederiz.
Doğru için vektör eşitliği yazılır yazılmaz, problemin gerektirdiği herhangi bir başka forma çevrilebilir.
Görev:genel bir denklem yaz
Koordinatları (-1; 4) ve (3; 2) olan noktalardan bir doğrunun geçtiği bilinmektedir. Aralarından geçen bir doğrunun denklemini genel bir biçimde, y'yi x cinsinden ifade etmek gerekir.
Problemi çözmek için önce denklemi vektör biçiminde yazıyoruz. Vektör (kılavuz) koordinatları:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Öyleyse düz çizgi denkleminin vektör biçimi şudur:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Genel formda y(x) şeklinde yazmak kalır. Bu eşitliği açıkça yeniden yazıyoruz, λ parametresini ifade ediyoruz ve denklemden çıkarıyoruz:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Ortaya çıkan kanonik denklemden y'yi ifade ediyoruz ve sorunun cevabına geliyoruz:
y=-0.5x + 3.5
Bu eşitliğin geçerliliği, problem ifadesinde belirtilen noktaların koordinatları değiştirilerek kontrol edilebilir.
Problem: doğru parçasının ortasından geçen düz bir çizgi
Şimdi ilginç bir problemi çözelim. İki nokta M(2; 1) ve N(5; 0) verildiğini varsayalım. Noktaları birleştiren ve ona dik olan doğru parçasının ortasından bir doğrunun geçtiği bilinmektedir. Parçanın ortasından geçen düz bir doğrunun denklemini vektör biçiminde yazın.
Bu merkezin koordinatı hesaplanıp yön vektörü belirlenerek istenilen sayısal ifade oluşturulabilir.doğru parçası 90o.
açı yapar
Segmentin orta noktası:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Şimdi MN¯ vektörünün koordinatlarını hesaplayalım:
MN¯=N - M=(3; -1)
İstenen doğrunun yön vektörü MN¯'ye dik olduğundan, skaler çarpımı sıfıra eşittir. Bu, direksiyon vektörünün bilinmeyen koordinatlarını (a; b) hesaplamanıza olanak tanır:
a3 - b=0=>
b=3a
Şimdi vektör denklemini yazın:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Burada aλ çarpımını yeni bir β parametresi ile değiştirdik.
Böylece, doğru parçasının merkezinden geçen bir doğrunun denklemini yaptık.
