Sterometride sık karşılaşılan sorunlardan biri, düz çizgileri ve düzlemleri geçme ve aralarındaki açıları hesaplama görevleridir. Bu yazıda koordinat yöntemini ve doğru ile düzlem arasındaki açıları daha ayrıntılı olarak ele alalım.
Geometride doğru ve düzlem
Koordinat yöntemini ve bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı düşünmeden önce, adlandırılmış geometrik nesnelerle tanışmalısınız.
Bir çizgi, uzayda veya bir düzlemde, her biri bir öncekini belirli bir vektöre doğrusal olarak aktararak elde edilebilen böyle bir noktalar topluluğudur. Aşağıda, bu vektörü u¯ sembolü ile gösteriyoruz. Bu vektör sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayı ile çarpılırsa, u¯'ye paralel bir vektör elde ederiz. Çizgi, doğrusal sonsuz bir nesnedir.
Bir düzlem aynı zamanda, onlardan rastgele vektörler oluşturursanız, hepsi bir n¯ vektörüne dik olacak şekilde konumlandırılmış bir noktalar topluluğudur. İkincisine normal veya basitçe normal denir. Düz bir çizginin aksine bir düzlem, iki boyutlu sonsuz bir nesnedir.
Geometri problemlerini çözmek için koordinat yöntemi
Yöntemin adına dayanarak, analitik sıralı hesaplamaların performansına dayanan problem çözme yönteminden bahsettiğimiz sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, koordinat yöntemi, ana denklemler olan evrensel cebir araçlarını kullanarak geometrik problemleri çözmenize olanak tanır.
Söz konusu yöntemin modern geometri ve cebirin şafağında ortaya çıktığına dikkat edilmelidir. 17-18 yüzyıllarda Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton ve Leibniz tarafından gelişimine büyük katkı sağlandı.
Yöntemin özü, bilinen noktaların koordinatlarına dayalı olarak geometrik elemanların uzaklıklarını, açılarını, alanlarını ve hacimlerini hesaplamaktır. Elde edilen son denklemlerin biçiminin koordinat sistemine bağlı olduğuna dikkat edin. Çalışmak için en uygun olduğu için problemlerde genellikle dikdörtgen Kartezyen sistem kullanılır.
Çizgi Denklemi
Koordinat yöntemi ve doğru ile düzlem arasındaki açıları ele alarak, doğru denklemini ayarlayarak başlayalım. Çizgileri cebirsel biçimde göstermenin birkaç yolu vardır. Burada sadece vektör denklemini ele alıyoruz, çünkü ondan başka herhangi bir biçimde kolayca elde edilebilir ve onunla çalışmak kolaydır.
İki nokta olduğunu varsayalım: P ve Q. Aralarından bir çizgi çizilebileceği biliniyor ve butek olacak. Öğenin karşılık gelen matematiksel gösterimi şuna benzer:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
PQ¯, koordinatları aşağıdaki gibi elde edilen bir vektördür:
PQ¯=Q - P.
λ sembolü, kesinlikle herhangi bir sayı alabilen bir parametreyi belirtir.
Yazılı ifadede vektörün yönünü değiştirebilir ve ayrıca P noktası yerine Q koordinatlarını da değiştirebilirsiniz. Tüm bu dönüşümler çizginin geometrik konumunda bir değişikliğe yol açmaz.
Problemleri çözerken bazen yazılı vektör denklemini açık (parametrik) bir biçimde göstermenin gerekli olduğunu unutmayın.
Uzayda bir uçak ayarlama
Düz bir çizginin yanı sıra, bir düzlem için de çeşitli matematiksel denklem biçimleri vardır. Bunların arasında vektörü, segmentlerdeki denklemi ve genel formu not ediyoruz. Bu yazımızda son şekline özellikle dikkat edeceğiz.
Rastgele bir düzlem için genel bir denklem şu şekilde yazılabilir:
Ax + By + Cz + D=0.
Latin büyük harfleri bir düzlemi tanımlayan belirli sayılardır.
Bu gösterimin rahatlığı, açıkça düzleme dik bir vektör içermesidir. Şuna eşittir:
n¯=(A, B, C).
Bu vektörü bilmek, düzlemin denklemine kısaca bakarak, ikincisinin koordinat sistemindeki yerini hayal etmeyi mümkün kılar.
Karşılıklı düzenlemeçizgi ve düzlemin uzayı
Makalenin bir sonraki paragrafında koordinat yöntemi ve doğru ile düzlem arasındaki açının ele alınmasına geçeceğiz. Burada ele alınan geometrik elemanların uzayda nasıl konumlanabileceği sorusuna cevap vereceğiz. Üç yol vardır:
- Düz çizgi düzlemi keser. Koordinat yöntemini kullanarak doğrunun ve düzlemin hangi tek noktada kesiştiğini hesaplayabilirsiniz.
- Düz bir doğrunun düzlemi paraleldir. Bu durumda, geometrik elemanların denklem sisteminin çözümü yoktur. Paralelliği kanıtlamak için, düz çizginin yönlendirici vektörünün ve düzlemin normalinin skaler çarpımının özelliği genellikle kullanılır.
- Düzlem bir çizgi içeriyor. Bu durumda denklem sistemini çözerek, λ parametresinin herhangi bir değeri için doğru eşitliğin elde edildiği sonucuna varacağız.
İkinci ve üçüncü durumlarda, belirtilen geometrik nesneler arasındaki açı sıfıra eşittir. İlk durumda, 0 ile 90o arasında yer alır.
Doğrular ve düzlemler arasındaki açıların hesaplanması
Şimdi doğrudan yazının konusuna geçelim. Bir doğrunun ve bir düzlemin herhangi bir kesişimi belirli bir açıda gerçekleşir. Bu açı, düz çizginin kendisi ve düzleme izdüşümü tarafından oluşturulur. Düz bir çizginin herhangi bir noktasından düzleme bir dikey indirilirse ve daha sonra düzlemin ve dikeyin elde edilen kesişme noktası ve düzlem ile orijinal çizginin kesişme noktası boyunca bir izdüşüm elde edilebilir. bir izdüşüm olacak düz çizgi.
Çizgiler ve düzlemler arasındaki açıları hesaplamak zor bir iş değildir. Bunu çözmek için karşılık gelen geometrik nesnelerin denklemlerini bilmek yeterlidir. Diyelim ki bu denklemler şöyle görünüyor:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
İstenen açı, u¯ ve n¯ skaler vektörlerinin çarpımının özelliği kullanılarak kolayca bulunur. Son formül şöyle görünür:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Bu formül, bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının sinüsünün, işaretli vektörlerin skaler çarpımının modülünün, uzunluklarının çarpımına oranına eşit olduğunu söyler. Neden kosinüs yerine sinüsün ortaya çıktığını anlamak için aşağıdaki şekle dönelim.
Kosinüs fonksiyonunu uygularsak, u¯ ve n¯ vektörleri arasındaki açıyı alacağımız görülebilir. İstenen açı θ (şekilde α) şu şekilde elde edilir:
θ=90o- β.
Sinüs, indirgeme formüllerinin uygulanmasının bir sonucu olarak ortaya çıkar.
Örnek problem
Gelelim edinilen bilgilerin pratik kullanımına. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyla ilgili tipik bir problemi çözelim. Dört noktanın aşağıdaki koordinatları verilmiştir:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
PQM noktaları aracılığıylaiçinden bir uçak geçer ve MN'den düz bir çizgi geçer. Koordinat yöntemi kullanılarak düzlem ile doğru arasındaki açı hesaplanmalıdır.
Önce doğru ve düzlemin denklemlerini yazalım. Düz bir çizgi için onu oluşturmak kolaydır:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Düzlemin denklemini yapmak için önce normalini buluruz. Koordinatları, verilen düzlemde bulunan iki vektörün vektör çarpımına eşittir. Bizde:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Şimdi, D serbest teriminin değerini elde etmek için, içinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatlarını genel düzlemin denkleminde yerine koyalım:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Düzlem denklemi:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Sorunun cevabını almak için geriye düz bir çizgi ile bir düzlemin kesiştiği noktada oluşan açı formülünü uygulamak kalıyor. Bizde:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Örnek olarak bu problemi kullanarak, geometrik problemleri çözmek için koordinat yönteminin nasıl kullanılacağını gösterdik.
