Uzaydaki rakamlar göz önüne alındığında, genellikle yüzey alanlarını belirlemede sorunlar ortaya çıkar. Böyle bir rakam konidir. Makalede yuvarlak tabanlı bir koninin yan yüzeyinin yanı sıra kesik bir koninin ne olduğunu düşünün.
Yuvarlak tabanlı koni
Koninin yan yüzeyini ele almadan önce, nasıl bir şekil olduğunu ve geometrik yöntemlerle nasıl elde edileceğini gösterelim.
AB ve AC'nin bacaklar olduğu dik açılı bir ABC üçgeni alın. Bu üçgeni AC ayağına koyalım ve AB ayağı etrafında döndürelim. Sonuç olarak, AC ve BC kenarları aşağıda gösterilen şeklin iki yüzeyini tanımlar.
Döndürerek elde edilen şekle yuvarlak düz koni denir. Tabanı bir daire olduğu için yuvarlaktır ve şeklin tepesinden çizilen dik (B noktası) daireyi merkezinde kestiği için düzdür. Bu dikmenin uzunluğuna yükseklik denir. Açıkçası, AB ayağına eşittir. Yükseklik genellikle h harfi ile gösterilir.
Yüksekliğin yanı sıra, ele alınan koni iki doğrusal özellik ile daha tanımlanır:
- oluşturma veya generatrix (hipotenüs BC);
- taban yarıçapı (AC bacağı).
Yarıçap r harfiyle ve üreteç g ile gösterilir. Ardından, Pisagor teoremini dikkate alarak, incelenen şekil için önemli olan bir eşitlik yazabiliriz:
g2=h2+ r2
Konik yüzey
Tüm türlerin toplamı, bir koninin konik veya yan yüzeyini oluşturur. Görünüşte, hangi düz şekle karşılık geldiğini söylemek zor. İkincisi, konik bir yüzeyin alanını belirlerken bilmek önemlidir. Bu sorunu çözmek için süpürme yöntemi kullanılır. Aşağıdakilerden oluşur: bir yüzey, keyfi bir oluşturucu boyunca zihinsel olarak kesilir ve daha sonra bir düzlemde açılır. Bu tarama yöntemiyle aşağıdaki düz şekil oluşturulur.
Tahmin edebileceğiniz gibi, daire tabana karşılık gelir, ancak dairesel sektör, alanıyla ilgilendiğimiz konik bir yüzeydir. Sektör, iki generatris ve bir yay ile sınırlandırılmıştır. İkincisinin uzunluğu, tabanın çevresinin çevresine (uzunluğa) tam olarak eşittir. Bu özellikler, dairesel sektörün tüm özelliklerini benzersiz bir şekilde belirler. Ara matematiksel hesaplamalar yapmayacağız, ancak koninin yan yüzeyinin alanını hesaplayabileceğiniz son formülü hemen yazacağız. Formül:
Sb=pigr
Konik bir yüzeyin alanı Sbiki parametre ve Pi'nin çarpımına eşittir.
Kesilmiş koni ve yüzeyi
Sıradan bir koni alıp üstünü paralel bir düzlemle kesersek, kalan şekil kesik bir koni olacaktır. Yan yüzeyi iki yuvarlak kaide ile sınırlandırılmıştır. Yarıçaplarını R ve r olarak gösterelim. Şeklin yüksekliğini h ile ve generatrix'i g ile gösteririz. Aşağıda bu şekil için bir kağıt kesme var.
Yan yüzeyin artık dairesel bir sektör olmadığı, orta kısım ondan kesildiği için alan olarak daha küçük olduğu görülebilir. Geliştirme dört çizgi ile sınırlıdır, ikisi düz çizgi segment-jeneratörleri, diğer ikisi kesik koninin tabanlarının karşılık gelen dairelerinin uzunluklarına sahip yaylardır.
Yan yüzey Sbşu şekilde hesaplanır:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, yarıçap ve yükseklik aşağıdaki eşitlikle ilişkilidir:
g2=h2+ (R - r)2
Rakamların alanlarının eşitliği sorunu
Yüksekliği 20 cm ve taban yarıçapı 8 cm olan bir koni verildiğinde, yan yüzeyi bu koni ile aynı alana sahip olacak kesik bir koninin yüksekliğini bulmak gerekir. Kesik figür aynı taban üzerine inşa edilmiştir ve üst tabanın yarıçapı 3 cm'dir.
Öncelikle koni ve kesik şeklin alanlarının eşitlik durumunu yazalım. Bizde:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Şimdi her bir şeklin jeneriklerinin ifadelerini yazalım:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Eşit alanlar için formülde g1 ve g2 yerine ve sol ve sağ kenarların karesini alırsak:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
h2:
ifadesini nereden alıyoruz
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Bu eşitliği basitleştirmeyeceğiz, sadece şu koşuldan bilinen verileri değiştireceğiz:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Dolayısıyla, şekillerin yan yüzeylerinin alanlarını eşitlemek için, kesik koni şu parametrelere sahip olmalıdır: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
