Herhangi bir uzaysal figürü incelerken, hacmini nasıl hesaplayacağınızı bilmek önemlidir. Bu makale, düzenli bir dörtgen piramidin hacmi için bir formül sağlar ve ayrıca bir problem çözme örneği kullanarak bu formülün nasıl kullanılması gerektiğini gösterir.
Hangi piramitten bahsediyoruz?
Her lise öğrencisi piramidin üçgen ve çokgenden oluşan bir çokyüzlü olduğunu bilir. İkincisi, şeklin temelidir. Üçgenlerin tabanla ortak bir kenarı vardır ve piramidin tepesi olan tek bir noktada kesişirler.
Her piramit, tabanın kenarlarının uzunluğu, yan kenarların uzunluğu ve yüksekliği ile karakterize edilir. İkincisi, şeklin üstünden tabana indirilen dik bir parçadır.
Düzenli bir dörtgen piramit, yüksekliği bu kareyle merkezinde kesişen kare tabanlı bir şekildir. Bu tür piramitlerin belki de en ünlü örneği eski Mısır taş yapılarıdır. Aşağıda bir fotoğraf varCheops piramitleri.
Çalışılan şeklin beş yüzü vardır ve bunların dördü aynı ikizkenar üçgenlerdir. Aynı zamanda, dördü tabana ait olan beş köşe ve sekiz kenar (tabanın 4 kenarı ve yan yüzlerin 4 kenarı) ile karakterize edilir.
Dörtgen bir piramidin hacim formülü doğru
Söz konusu figürün hacmi, beş kenarla sınırlandırılan alanın bir parçasıdır. Bu hacmi hesaplamak için, Sz piramidinin tabanına paralel bir dilimin alanının dikey koordinat z:
üzerindeki bağımlılığını kullanırız.
Sz=So (s - z/s)2
Burada So kare tabanın alanıdır. Yazılı ifadeye z=h koyarsak, Sz için sıfır değeri elde ederiz. Bu z değeri, piramidin yalnızca tepesini içerecek bir dilime karşılık gelir. Eğer z=0 ise, o zaman So taban alanının değerini alırız.
Sz(z) fonksiyonunu biliyorsanız, bir piramidin hacmini bulmak kolaydır, bunun için rakamı sonsuz sayıda bölmek yeterlidir. tabana paralel katmanlar ve ardından entegrasyon işlemini gerçekleştirin. Bu tekniği takip ediyorum, şunu elde ediyoruz:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Çünkü S0kare tabanın alanı, daha sonra, karenin kenarını a harfiyle belirterek, düzenli bir dörtgen piramidin hacmi için formül elde ederiz:
V=1/3a2h.
Şimdi bu ifadenin nasıl uygulanması gerektiğini göstermek için problem çözme örneklerini kullanalım.
Bir piramidin hacmini, özlü ve yan kenarından belirleme problemi
Bir piramidin özü, tabanın yanına alç altılmış olan yan üçgeninin yüksekliğidir. Düzgün bir piramitte tüm üçgenler eşit olduğundan, özleri de aynı olacaktır. Uzunluğunu hb sembolü ile gösterelim. Yan kenarı b.
olarak belirtin
Piramidin özünün 12 cm ve yan kenarının 15 cm olduğunu bilerek, düzgün bir dörtgen piramidin hacmini bulun.
Önceki paragrafta yazılan şeklin hacim formülü iki parametre içerir: kenar uzunluğu a ve yükseklik h. Şu anda hiçbirini bilmiyoruz, o yüzden hesaplarına bir göz atalım.
Bir a karesinin kenar uzunluğunu hesaplamak, hipotenüsün b kenarı ve bacakların özdeyiş olduğu bir dik üçgen için Pisagor teoremini kullanırsanız hesaplamak kolaydır h b ve a/2 tabanının yan tarafının yarısı. Şunu elde ederiz:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Koşuldan bilinen değerleri yerine koyarak a=18 cm değerini elde ederiz.
Pamidin h yüksekliğini hesaplamak için iki şey yapabilirsiniz: bir dikdörtgen düşününhipotenüs-yan kenarı veya hipotenüs-özeti olan bir üçgen. Her iki yöntem de eşittir ve aynı sayıda matematiksel işlemin performansını içerir. Hipotenüsün hb öznesi olduğu bir üçgen üzerinde duralım. İçindeki bacaklar h ve a / 2 olacaktır. Sonra şunu elde ederiz:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Artık V hacmi için formülü kullanabilirsiniz:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Böylece, düzenli bir dörtgen piramidin hacmi yaklaşık 0,86 litredir.
Keops piramidinin hacmi
Şimdi ilginç ve pratik olarak önemli bir problemi çözelim: Giza'daki en büyük piramidin hacmini bulun. Yapının orijinal yüksekliğinin 146.5 metre, kaide uzunluğunun ise 230.363 metre olduğu literatürden bilinmektedir. Bu sayılar, V'yi hesaplamak için formülü uygulamamıza izin verir. Şunu elde ederiz:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Sonuç olarak elde edilen değer neredeyse 2,6 milyon m3. Bu hacim, bir kenarı 137,4 metre olan bir küpün hacmine karşılık gelir.
