Bertrand'ın paradoksu, olasılık teorisinin klasik yorumunda bir problemdir. Joseph, Calcul des probabilités (1889) adlı çalışmasında, bir mekanizma veya yöntem rastgele bir değişken üretiyorsa, olasılıkların iyi tanımlanamayacağına bir örnek olarak bunu tanıttı.
Problem Açıklaması
Bertrand'ın paradoksu aşağıdaki gibidir.
Önce, bir daire içine alınmış bir eşkenar üçgen düşünün. Bu durumda çap rastgele seçilir. Üçgenin kenarından daha uzun olma olasılığı nedir?
Bertrand, hepsi doğru görünen ancak farklı sonuçlar veren üç argüman yaptı.
Rastgele Uç Nokta Yöntemi
Çemberin üzerinde iki yer seçmeli ve onları birbirine bağlayan bir yay çizmelisin. Hesaplama için Bertrand'ın olasılık paradoksu dikkate alınır. Üçgenin, tepe noktası kirişin uç noktalarından biriyle çakışacak şekilde döndürüldüğünü hayal etmek gerekir. ödemeye değerdiğer kısım iki yer arasındaki bir yay üzerindeyse, dairenin üçgenin kenarından daha uzun olduğuna dikkat edin. Yayın uzunluğu dairenin üçte biri kadardır, dolayısıyla rastgele bir kirişin daha uzun olma olasılığı 1/3'tür.
Seçim yöntemi
Dairenin yarıçapını ve üzerinde bir noktayı seçmek gereklidir. Bundan sonra, bu yerden çapa dik bir akor oluşturmanız gerekir. Olasılık teorisinin Bertrand paradoksunu hesaplamak için, üçgenin, kenar yarıçapa dik olacak şekilde döndürüldüğünü hayal etmek gerekir. Seçilen nokta dairenin merkezine daha yakınsa kiriş bacaktan daha uzundur. Ve bu durumda, üçgenin kenarı yarıçapı ikiye böler. Bu nedenle, kirişin yazılı şeklin kenarından daha uzun olma olasılığı 1/2'dir.
Rastgele akorlar
Orta nokta yöntemi. Daire üzerinde bir yer seçmek ve belirli bir orta ile bir akor oluşturmak gerekir. Seçilen konum 1/2 yarıçaplı eşmerkezli bir daire içindeyse, eksen yazılı üçgenin kenarından daha uzundur. Daha küçük dairenin alanı, daha büyük rakamın dörtte biridir. Bu nedenle, rastgele bir kirişin olasılığı yazılı üçgenin kenarından daha uzundur ve 1/4'e eşittir.
Yukarıda sunulduğu gibi, seçim yöntemleri çaplar olan belirli akorlara verdikleri ağırlık bakımından farklılık gösterir. Yöntem 1'de, her akor bir çap olsun ya da olmasın tam olarak tek bir şekilde seçilebilir.
Yöntem 2'de her bir düz çizgi iki şekilde seçilebilir. Oysa başka bir akor seçilecekolasılıklardan sadece biri.
Yöntem 3'te, her orta nokta seçiminin tek bir parametresi vardır. Tüm çapların orta noktası olan dairenin merkezi hariç. Bu sorunlardan, elde edilen olasılıkları etkilemeden tüm soruları parametreleri hariç tutacak şekilde "sıralayarak" önlenebilir.
Select yöntemleri aşağıdaki gibi de görselleştirilebilir. Çap olmayan bir kiriş, orta noktası ile benzersiz bir şekilde tanımlanır. Yukarıda sunulan üç seçim yönteminin her biri, ortanın farklı bir dağılımını üretir. Seçenek 1 ve 2, iki farklı düzgün olmayan bölüm sağlarken, yöntem 3 tek tip bir dağıtım sağlar.
Bertrand'ın problemini çözmenin klasik paradoksu, akorun "rastgele" seçilme yöntemine bağlıdır. Önceden bir rasgele seçim yöntemi belirlenirse, sorunun iyi tanımlanmış bir çözümü olduğu ortaya çıkıyor. Bunun nedeni, her bir yöntemin kendi akor dağılımına sahip olmasıdır. Bertrand tarafından gösterilen üç karar, farklı seçim tarzlarına tekabül eder ve daha fazla bilgi olmadığında birini diğerine tercih etmek için hiçbir sebep yoktur. Buna göre belirtilen problemin tek bir çözümü yoktur.
Genel bir cevabı benzersiz hale getirmenin bir örneği, kirişin uç noktalarının 0 ile c arasında eşit aralıklarla yerleştirildiğini belirtmektir; burada c dairenin çevresidir. Bu dağılım Bertrand'ın ilk argümanındakiyle aynıdır ve sonuçta ortaya çıkan benzersiz olasılık 1/3 olacaktır.
Bu Bertrand Russell paradoksu ve klasik müziğin diğer benzersizlikleriolasılığın yorumları daha titiz formülasyonları haklı çıkarır. Olasılık frekansı ve subjektivist Bayes teorisi dahil.
Bertrand'ın paradoksunun altında yatan nedir
Edwin Jaynes, 1973 tarihli "The Well-posed Problem" makalesinde benzersiz çözümünü sundu. Bertrand'ın paradoksunun "maksimum cehalet" ilkesine dayanan bir önermeye dayandığını belirtti. Bu, sorun bildiriminde verilmeyen hiçbir bilgiyi kullanmamanız gerektiği anlamına gelir. Jaynes, Bertrand'ın probleminin dairenin konumunu veya boyutunu belirlemediğine dikkat çekti. Ve bu nedenle herhangi bir kesin ve nesnel kararın boyut ve konuma "kayıtsız" olması gerektiğini savundu.
Örnek amaçlı
Tüm akorların 2 cm'lik bir daireye rastgele yerleştirildiğini varsayarsak, şimdi ona uzaktan pipet atmanız gerekiyor.
O zaman daha büyük bir şekle uyan daha küçük çaplı (örneğin 1 santimetre) başka bir daire almanız gerekir. O zaman bu daha küçük daire üzerindeki akorların dağılımı, maksimum olanla aynı olmalıdır. İkinci rakam da birincinin içinde hareket ederse, prensipte olasılık değişmemelidir. Yöntem 3 için aşağıdaki değişikliğin meydana geleceğini görmek çok kolaydır: küçük kırmızı daire üzerindeki akorların dağılımı, büyük daire üzerindeki dağılımdan niteliksel olarak farklı olacaktır.
Aynı şey yöntem 1 için de geçerlidir. Grafik görünümde görmek daha zor olsa da.
Yöntem 2 tektirbu hem bir ölçek hem de bir çeviri değişmezi olduğu ortaya çıkıyor.
3 numaralı yöntem basitçe genişletilebilir görünüyor.
Yöntem 1 hiçbiri değildir.
Ancak, Janes bu yöntemleri kabul etmek veya reddetmek için değişmezleri kolayca kullanmadı. Bu, makul anlam özelliklerine uyan başka bir tanımlanmamış yöntem olma olasılığını bırakacaktır. Jaynes değişmezleri tanımlayan integral denklemleri uyguladı. Olasılık dağılımını doğrudan belirlemek. Onun probleminde, integral denklemlerinin gerçekten de benzersiz bir çözümü var ve bu tam olarak yukarıdaki ikinci rastgele yarıçap yöntemi olarak adlandırılan şeydir.
2015 tarihli bir makalesinde Alon Drory, Jaynes'in ilkesinin ayrıca iki Bertrand çözümü daha sağlayabileceğini savunuyor. Yazar, değişmezliğin yukarıdaki özelliklerinin matematiksel uygulamasının benzersiz olmadığını, ancak bir kişinin kullanmaya karar verdiği temel rastgele seçim prosedürüne bağlı olduğunu garanti eder. Üç Bertrand çözümünün her birinin dönme, ölçekleme ve öteleme değişmezliği kullanılarak elde edilebileceğini gösteriyor. Aynı zamanda, Jaynes ilkesinin de kayıtsızlık kipinin kendisi kadar yoruma açık olduğu sonucuna varmak.
Fiziksel deneyler
Yöntem 2, istatistiksel mekanik ve gaz yapısı gibi belirli fizyolojik kavramlarda bulunan dönüşüm değişmezlerini karşılayan tek çözümdür. Ayrıca önerilenJanes'in küçük bir çemberden pipet atma deneyi.
Ancak, diğer yöntemlere göre cevaplar sağlayan başka pratik deneyler tasarlanabilir. Örneğin, ilk rastgele uç nokta yöntemine bir çözüme ulaşmak için alanın merkezine bir sayaç ekleyebilirsiniz. Ve iki bağımsız dönüşün sonuçlarının akorun son yerlerini vurgulamasına izin verin. Üçüncü yönteme bir çözüme ulaşmak için, örneğin daire pekmezle kaplanabilir ve sineğin üzerine indiği ilk nokta orta kiriş olarak işaretlenebilir. Birkaç düşünür, farklı sonuçlar çıkarmak için çalışmalar oluşturdu ve sonuçları ampirik olarak onayladı.
Son olaylar
2007'de yayınlanan "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" adlı makalesinde Nicholas Shackel, aradan bir asırdan fazla zaman geçmesine rağmen sorunun hala çözülmemiş olduğunu savunuyor. Kayıtsızlık ilkesini çürütmeye devam ediyor. Ayrıca Darrell R. Robottom, 2013 tarihli "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical" başlıklı makalesinde, önerilen tüm kararların kendi sorusuyla hiçbir ilgisi olmadığını gösteriyor. Böylece paradoksu çözmenin önceden düşünülenden çok daha zor olacağı ortaya çıktı.
Shackel, bugüne kadar birçok bilim insanı ve bilimden uzak insanın Bertrand paradoksunu çözmeye çalıştığını vurguluyor. Hala iki farklı yaklaşım yardımıyla üstesinden geliniyor.
Eşdeğer olmayan problemler arasındaki farkın dikkate alındığı ve problemin her zaman doğru olarak kabul edildiği problemler. Shackel kitaplarında Louis'den alıntı yapıyorMarinoff (farklılaşma stratejisinin tipik bir temsilcisi olarak) ve Edwin Jaynes (iyi düşünülmüş bir teorinin yazarı olarak).
Ancak, son çalışmalarında, Diederik Aerts ve Massimiliano Sassoli de Bianchi, Karmaşık Bir Problemi Çözme adlı çalışmalarında Bertrand paradoksunu çözmek için öncüllerin karma bir stratejide aranması gerektiğine inanıyor. Bu yazarlara göre, ilk adım, rastgele seçilen varlığın doğasını açıkça belirterek sorunu çözmektir. Ve ancak bu yapıldıktan sonra, herhangi bir sorun doğru kabul edilebilir. Janes böyle düşünüyor.
Yani maksimum cehalet ilkesi onu çözmek için kullanılabilir. Bu amaçla ve problem bir akorun nasıl seçilmesi gerektiğini belirtmediğinden, ilke çeşitli olasılıklar düzeyinde değil, çok daha derin bir düzeyde uygulanır.
Parça seçimi
Problemin bu kısmı, yazarların evrensel ortalama dediği tüm olası yollar üzerinden bir meta-ortalamanın hesaplanmasını gerektirir. Bununla başa çıkmak için ayrıklaştırma yöntemini kullanırlar. Wiener süreçlerinde olasılık yasasını tanımlarken yapılanlardan esinlenmiştir. Onların sonucu, Jaynes'in sayısal sonucuyla tutarlıdır, ancak iyi ortaya konan problemleri orijinal yazarınkinden farklıdır.
Ekonomi ve ticarette, adını yaratıcısı Joseph Bertrand'dan alan Bertrand Paradoksu, iki oyuncunun (firmanın) bir Nash dengesine ulaştığı bir durumu tanımlar. Her iki firma da marjinal maliyete eşit bir fiyat belirlediğinde(MS).
Bertrand'ın paradoksu bir önermeye dayanır. Cournot rekabeti gibi modellerde, firma sayısındaki artışın fiyatların marjinal maliyetlerle yakınsaması ile ilişkili olduğu gerçeğinde yatmaktadır. Bu alternatif modellerde, Bertrand'ın paradoksu, fiyatları maliyetin üzerinde ücretlendirerek pozitif karlar elde eden az sayıda firmanın bir oligopolündedir.
İlk olarak, A ve B firmalarının her biri aynı üretim ve dağıtım maliyetine sahip homojen bir ürün sattığını varsaymaya değer. Bundan, alıcıların bir ürünü yalnızca fiyata göre seçtikleri sonucu çıkar. Bu, talebin sonsuz fiyat esnekliği olduğu anlamına gelir. Ne A ne de B diğerlerinden daha yüksek bir fiyat belirlemeyecektir, çünkü bu tüm Bertrand paradoksunun çökmesine neden olacaktır. Piyasa katılımcılarından biri rakibine boyun eğecektir. Aynı fiyatı belirlerlerse şirketler karı paylaşacak.
Öte yandan, herhangi bir firma fiyatını biraz da olsa düşürürse, tüm pazarı ve önemli ölçüde daha yüksek getiriyi elde edecektir. A ve B bunu bildiğinden, ürün sıfır ekonomik kâr için satılana kadar her biri rakibin altını oymaya çalışacak.
Son çalışmalar, tekel toplamının sonsuz olması koşuluyla, Bertrand'ın karma strateji paradoksunda pozitif ekonomik kârlarla ek bir denge olabileceğini göstermiştir. Nihai kâr durumunda, fiyat rekabeti altında pozitif bir artışın karma dengelerde ve hatta daha genel durumda imkansız olduğu gösterildi.ilişkili sistemler.
Aslında, Bertrand'ın ekonomideki paradoksu pratikte nadiren görülür, çünkü gerçek ürünler neredeyse her zaman fiyattan başka bir şekilde farklılaştırılır (örneğin, bir etiket için fazla ödeme). Firmaların üretim ve dağıtım yetenekleri konusunda sınırları vardır. Bu nedenle iki işletme nadiren aynı maliyete sahiptir.
Bertrand'ın sonucu paradoksaldır çünkü firma sayısı birden ikiye çıkarsa, fiyat tekelden rekabetçiye düşer ve daha sonra artan firma sayısıyla aynı seviyede kalır. Bu çok gerçekçi değil, çünkü gerçekte, piyasa gücüne sahip az sayıda firmaya sahip piyasalar, marjinal maliyetin üzerinde fiyatlar talep etme eğilimindedir. Ampirik analiz, iki rakibi olan çoğu endüstrinin pozitif karlar ürettiğini gösteriyor.
Modern dünyada, bilim adamları paradoksa Cournot rekabet modeliyle daha tutarlı çözümler bulmaya çalışıyorlar. Bir pazardaki iki firmanın tam rekabet ve tekel seviyeleri arasında bir yerde pozitif karlar elde ettiği yer.
Bertrand'ın paradoksunun doğrudan ekonomiyle ilgili olmamasının bazı nedenleri:
- Kapasite sınırları. Bazen firmalar tüm talebi karşılamak için yeterli kapasiteye sahip değildir. Bu nokta ilk olarak Francis Edgeworth tarafından gündeme getirildi ve Bertrand-Edgeworth modeline yol açtı.
- Tamsayı fiyatları. MC'nin üzerindeki fiyatlar hariç tutulmuştur çünkü bir firma rastgele bir diğerinin altını kesebilir.küçük bir miktar. Fiyatlar kesikliyse (örneğin, tamsayı değerleri almaları gerekir), o zaman bir firma diğerinin en az bir ruble ile altını kesmelidir. Bu, küçük para biriminin değerinin MC'nin üzerinde olduğu anlamına gelir. Başka bir firma onun fiyatını yükseltirse, başka bir firma onu düşürebilir ve tüm pazarı ele geçirebilir, Bertrand'ın paradoksu tam olarak bundan ibarettir. Ona herhangi bir kazanç getirmeyecek. Bu işletme, satışları 50/50 oranında başka bir firmayla paylaşmayı ve tamamen pozitif bir gelir elde etmeyi tercih edecek.
- Ürün farklılaştırma. Farklı firmaların ürünleri birbirinden farklıysa tüketiciler tamamen daha düşük fiyatlı ürünlere geçmeyebilirler.
- Dinamik rekabet. Tekrarlanan etkileşim veya tekrarlanan fiyat rekabeti bir değer dengesine yol açabilir.
- Daha yüksek bir miktar için daha fazla ürün. Bu, tekrarlanan etkileşimden kaynaklanmaktadır. Bir şirket fiyatını biraz daha yüksek ayarlarsa, yine de aşağı yukarı aynı sayıda satın alma elde eder, ancak ürün başına daha fazla kâr elde eder. Bu nedenle, diğer şirket işaretlemesini artıracaktır vb. (Yalnızca tekrarlarda, aksi takdirde dinamikler diğer yöne gider).
Oligopol
İki şirket bir fiyat üzerinde anlaşabiliyorsa, anlaşmayı sürdürmek onların uzun vadeli çıkarlarınadır: değer az altma geliri, anlaşmaya uyumdan elde edilen gelirin iki katından azdır ve yalnızca diğer firma fiyatını düşürene kadar sürer. kendi fiyatları.
Teoriolasılıklar (matematiğin geri kalanı gibi) aslında yeni bir icattır. Ve gelişme pürüzsüz olmamıştır. Olasılık hesabını resmileştirmeye yönelik ilk girişimler, kavramı bir sonuca yol açan olayların sayısının oranı olarak tanımlamayı öneren Marquis de Laplace tarafından yapıldı.
Bu, elbette, yalnızca tüm olası olayların sayısı sınırlıysa anlamlıdır. Ayrıca, tüm olaylar eşit derecede olasıdır.
Dolayısıyla, o zamanlar bu kavramların sağlam bir temeli yokmuş gibi görünüyordu. Tanımı sonsuz sayıda olay durumuna genişletme girişimleri daha da büyük zorluklara yol açmıştır. Bertrand'ın paradoksu, matematikçileri olasılık kavramının tamamına karşı temkinli yapan böyle bir keşiftir.
