Uzaysal figürlerin hacimlerinin hesaplanması, stereometrinin önemli görevlerinden biridir. Bu yazıda, bir piramit gibi böyle bir çokyüzlülüğün hacmini belirleme konusunu ele alacağız ve ayrıca düzenli bir altıgen piramidin hacminin formülünü vereceğiz.
altıgen piramit
Öncelikle makalede ele alınacak olan figürün ne olduğuna bakalım.
Tarafları birbirine eşit olmak zorunda olmayan keyfi bir altıgen alalım. Ayrıca uzayda altıgenin düzleminde olmayan bir nokta seçtiğimizi varsayalım. İkincisinin tüm köşelerini seçilen nokta ile birleştirerek bir piramit elde ederiz. Altıgen tabanlı iki farklı piramit aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şeklin altıgenin yanı sıra bağlantı noktası tepe noktası olarak adlandırılan altı üçgenden oluştuğu görülebilir. Gösterilen piramitler arasındaki fark, sağlarının h yüksekliğinin geometrik merkezinde altıgen tabanı kesmemesi ve soldaki şeklin yüksekliğinin düşmesidir.tam o merkezde Bu kriter sayesinde, sol piramit düz ve sağ - eğik olarak adlandırıldı.
Şekilde soldaki şeklin tabanı eşit kenarlara ve açılara sahip bir altıgen tarafından oluşturulduğundan doğru denir. Makalenin devamında sadece bu piramit hakkında konuşacağız.
Altıgen piramidin hacmi
Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formül geçerlidir:
V=1/3hSo
Burada h şeklin yüksekliğinin uzunluğu, So ise tabanının alanıdır. Normal bir altıgen piramidin hacmini belirlemek için bu ifadeyi kullanalım.
İlgili şekil bir eşkenar altıgene dayalı olduğundan, alanını hesaplamak için bir n-gon için aşağıdaki genel ifadeyi kullanabilirsiniz:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Burada n çokgenin kenar (köşe) sayısına eşit bir tamsayıdır, a kenar uzunluğudur, kotanjant fonksiyonu uygun tablolar kullanılarak hesaplanır.
n=6 için ifadeyi uygulayarak şunu elde ederiz:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Şimdi geriye bu ifadeyi V hacmi için genel formülde ikame etmek kalıyor:
V6=S6h=√3/2ha2
Bu nedenle, incelenen piramidin hacmini hesaplamak için, iki doğrusal parametresini bilmek gerekir: tabanın kenarının uzunluğu ve şeklin yüksekliği.
Problem çözme örneği
V6 için elde edilen ifadenin aşağıdaki problemi çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterelim.
Düzenli bir altıgen piramidin hacminin 100 cm3 olduğu bilinmektedir. Aşağıdaki eşitlikle birbirleriyle ilişkili olduğu biliniyorsa, tabanın kenarını ve şeklin yüksekliğini belirlemek gerekir:
a=2h
Hacim formülüne yalnızca a ve h dahil edildiğinden, bu parametrelerden herhangi biri, diğer cinsinden ifade edilerek formüle ikame edilebilir. Örneğin, a yerine şunu elde ederiz:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Bir şeklin yükseklik değerini bulmak için, hacimden uzunluk boyutuna karşılık gelen üçüncü derecenin kökünü almanız gerekir. Piramidin hacim değerini V6 problem ifadesinden değiştiririz, yüksekliği elde ederiz:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 cm
Tabanın kenarı, problemin durumuna göre, bulunan değerin iki katı olduğundan, onun değerini alırız:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Altıgen bir piramidin hacmi, yalnızca şeklin yüksekliğinden ve tabanının kenarının değerinden bulunabilir. Bunu hesaplamak için piramidin iki farklı lineer parametresini bilmek yeterlidir, örneğin apotema ve yan kenarın uzunluğu.
