Düzenli altıgen piramit. Hacim ve yüzey alanı formülleri. Geometrik bir problemin çözümü

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Stereometri, uzayda geometrinin bir dalı olarak prizmaların, silindirlerin, konilerin, topların, piramitlerin ve diğer üç boyutlu şekillerin özelliklerini inceler. Bu makale, altıgen bir düzenli piramidin özelliklerinin ve özelliklerinin ayrıntılı bir incelemesine ayrılmıştır.

Hangi piramit incelenecek

Düzenli bir altıgen piramit, bir eşkenar ve eşkenar altıgen ve altı özdeş ikizkenar üçgen ile sınırlanan uzayda bir figürdür. Bu üçgenler belirli koşullar altında eşkenar da olabilir. Bu piramit aşağıda gösterilmiştir.

Aynı şekil burada gösterilmektedir, yalnızca bir durumda yan yüzü okuyucuya doğru, diğerinde ise yan kenarıyla döndürülmüştür.

Düzenli bir altıgen piramidin, yukarıda bahsedilen 7 yüzü vardır. Ayrıca 7 köşesi ve 12 kenarı vardır. Prizmalardan farklı olarak, tüm piramitler, yanalın kesişmesiyle oluşan özel bir tepe noktasına sahiptir.üçgenler. Düzenli bir piramit için önemli bir rol oynar, çünkü ondan şeklin tabanına indirilen dikey yüksekliktir. Ayrıca, yükseklik h harfi ile gösterilecektir.

Gösterilen piramit iki nedenden dolayı doğru olarak adlandırılır:

• tabanda eşit kenar uzunlukları a ve 120'lik eşit açılara sahip bir altıgen vardıro;
• H piramidinin yüksekliği, altıgeni tam merkezinde keser (kesişim noktası, altıgenin tüm kenarlarından ve tüm köşelerinden aynı uzaklıkta bulunur).

Yüzey alanı

Düzenli bir altıgen piramidin özellikleri, alanının tanımından ele alınacaktır. Bunu yapmak için önce figürü bir düzlemde açmak faydalıdır. Bunun şematik bir gösterimi aşağıda gösterilmiştir.

Süpürme alanının ve dolayısıyla söz konusu şeklin tüm yüzeyinin altı özdeş üçgen ve bir altıgenin alanlarının toplamına eşit olduğu görülebilir.

Bir altıgenin alanını belirlemek için S_{6, normal bir n-gon için evrensel formülü kullanın:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

A altıgenin kenar uzunluğudur.

Bir üçgenin alanı S₃ yan tarafının yüksekliğinin değerini biliyorsanız bulunabilir h_b:

S₃=1/2h_ba.

Çünkü altıüçgenler birbirine eşittir, o zaman doğru tabana sahip altıgen bir piramidin alanını belirlemek için çalışan bir ifade elde ederiz:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramit hacmi

Alan gibi, altıgen düzgün piramidin hacmi de onun önemli özelliğidir. Bu hacim, tüm piramitler ve koniler için genel formülle hesaplanır. Yazalım:

V=1/3S_oh.

Burada, S_o sembolü altıgen tabanın alanıdır, yani S_o=S _6.

Yukarıdaki S_{6 ifadesini V formülüyle değiştirerek, düzgün bir altıgen piramidin hacmini belirlemek için son eşitliğe ulaşırız:}

V=√3/2a2h.

Geometrik bir problem örneği

Düzenli bir altıgen piramidin yan kenarı, taban kenarının iki katı uzunluğundadır. İkincisinin 7 cm olduğunu bilerek, bu şeklin yüzey alanını ve hacmini hesaplamak gerekir.

Tahmin edebileceğiniz gibi, bu sorunun çözümü yukarıda S ve V için elde edilen ifadelerin kullanılmasıdır. Yine de özünü ve özünü bilmediğimiz için bunları hemen kullanmak mümkün olmayacaktır. düzenli altıgen piramidin yüksekliği. Onları hesaplayalım.

h_b öznesi b, a/2 ve h_{b kenarlarına inşa edilmiş bir dik üçgen göz önüne alınarak belirlenebilir. Burada b yan kenarın uzunluğudur. Problemin durumunu kullanarak şunu elde ederiz:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Piramidin h yüksekliği bir özdeyişle tam olarak aynı şekilde belirlenebilir, ancak şimdi piramidin içinde yer alan h, b ve a kenarları olan bir üçgen düşünmeliyiz. Yükseklik:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Hesaplanan yükseklik değerinin, herhangi bir piramit için geçerli olan apothem için olandan daha az olduğu görülebilir.

Artık hacim ve alan için ifadeleri kullanabilirsiniz:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Dolayısıyla, düzenli bir altıgen piramidin herhangi bir özelliğini açık bir şekilde belirlemek için, onun doğrusal parametrelerinden herhangi ikisini bilmeniz gerekir.