Düzlemlerin paralelliğini ve dikliğini belirlemek ve ayrıca bu geometrik nesneler arasındaki mesafeleri hesaplamak için, şu veya bu tür sayısal işlevleri kullanmak uygundur. Bir düzlemin denklemini segmentlerde kullanmak hangi problemler için uygundur? Bu yazımızda ne olduğuna ve pratik görevlerde nasıl kullanılacağına bakacağız.
Çizgi parçalarında denklem nedir?
Bir düzlem 3B uzayda çeşitli şekillerde tanımlanabilir. Bu yazıda, çeşitli türlerdeki problemleri çözerken bunlardan bazıları verilecektir. Burada, düzlemin segmentlerinde denklemin ayrıntılı bir tanımını veriyoruz. Genellikle şu biçimdedir:
x/p + y/q + z/r=1.
P, q, r simgelerinin bazı belirli sayıları gösterdiği yerde. Bu denklem, genel bir ifadeye ve düzlem için diğer sayısal fonksiyon biçimlerine kolayca çevrilebilir.
Denklemi segmentler halinde yazmanın rahatlığı, düzlemin dik koordinat eksenleriyle kesişiminin açık koordinatlarını içermesi gerçeğinde yatmaktadır. x eksenindeorijine göre, düzlem y ekseninde - q'ya eşit, z üzerinde - r uzunluğunda p uzunluğunda bir segment kesiyor.
Üç değişkenden herhangi biri denklemde yer almıyorsa, bu, düzlemin karşılık gelen eksenden geçmediği anlamına gelir (matematikçiler bunun sonsuzda kesiştiğini söyler).
Sırada, bu denklemle nasıl çalışılacağını göstereceğimiz bazı problemler var.
Denklemlerin genel ve segmentlerinde iletişim
Düzlemin aşağıdaki eşitlikle verildiği bilinmektedir:
2x - 3y + z - 6=0.
Düzlemin bu genel denklemini segmentler halinde yazmak gerekiyor.
Benzer bir problem ortaya çıktığında şu tekniği uygulamanız gerekiyor: Serbest terimi eşitliğin sağ tarafına aktarıyoruz. Daha sonra, önceki paragrafta verilen formda ifade etmeye çalışarak tüm denklemi bu terime böleriz. Bizde:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Başlangıçta genel bir biçimde verilen düzlemin denklemini segmentlerde elde ettik. Düzlemin x, y ve z eksenleri için uzunlukları sırasıyla 3, 2 ve 6 olan segmentleri kestiği dikkat çekiyor. Y ekseni, negatif koordinat alanında düzlemi keser.
Segmentler halinde bir denklem oluştururken, tüm değişkenlerin önünde bir "+" işareti olması önemlidir. Sadece bu durumda, bu değişkenin bölündüğü sayı eksende koordinat kesimini gösterecektir.
Düzlemdeki normal vektör ve nokta
Bazı düzlemlerin yön vektörü (3; 0; -1) olduğu bilinmektedir. (1; 1; 1) noktasından geçtiği de bilinmektedir. Bu düzlem için segmentler halinde bir denklem yazın.
Bu sorunu çözmek için öncelikle bu iki boyutlu geometrik nesnenin genel şeklini kullanmalısınız. Genel form şu şekilde yazılmıştır:
Ax + By + Cz + D=0.
Buradaki ilk üç katsayı, problem ifadesinde belirtilen kılavuz vektörün koordinatlarıdır, yani:
A=3;
B=0;
C=-1.
Serbest D terimini bulmak kalır. Aşağıdaki formülle belirlenebilir:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
İndeks 1 ile koordinat değerlerinin uçağa ait bir noktanın koordinatlarına karşılık geldiği yer. Değerlerini problemin durumundan değiştiririz, şunu elde ederiz:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Artık denklemin tamamını yazabilirsiniz:
3x - z - 2=0.
Bu ifadeyi düzlemin segmentlerinde bir denkleme dönüştürme tekniği yukarıda zaten gösterilmiştir. Uygula:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Sorunun cevabı alındı. Bu düzlemin yalnızca x ve z eksenlerini kestiğine dikkat edin. y için paraleldir.
Bir düzlemi tanımlayan iki düz çizgi
Uzamsal geometri dersinden her öğrenci, iki rastgele çizginin bir düzlemi benzersiz bir şekilde tanımladığını bilir.üç boyutlu uzay. Benzer bir problemi çözelim.
İki doğru denklemi bilinmektedir:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Uçağın denklemini bu doğrulardan geçen parçalar halinde yazmak gerekiyor.
Her iki doğrunun da düzlemde olması gerektiğinden, bu onların vektörlerinin (kılavuzlarının) düzlem için vektöre (kılavuz) dik olması gerektiği anlamına gelir. Aynı zamanda, keyfi iki yönlendirilmiş segmentin vektör ürününün, sonucu iki orijinal olana dik olan üçüncü koordinatlar şeklinde verdiği bilinmektedir. Bu özellik verildiğinde, istenen düzleme dik bir vektörün koordinatlarını elde ederiz:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Rastgele bir sayı ile çarpılabileceğinden, bu orijinaline paralel yeni bir yönlendirilmiş segment oluşturur, elde edilen koordinatların işaretini tersiyle değiştirebiliriz (-1 ile çarparız), şunu elde ederiz:
(1; 2; 1).
Yön vektörünü biliyoruz. Düz çizgilerden birinin keyfi bir noktasını almak ve düzlemin genel denklemini çizmek için kalır:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Bu eşitliği segmentler halinde bir ifadeye çevirerek şunları elde ederiz:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Böylece, düzlem koordinat sisteminin pozitif bölgesinde üç eksenin hepsini keser.
Üç nokta ve bir uçak
Tıpkı iki düz çizgi gibi, üç nokta da üç boyutlu uzayda benzersiz bir düzlem tanımlar. Düzlemde yer alan noktaların aşağıdaki koordinatları biliniyorsa, karşılık gelen denklemi segmentlere yazarız:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Şunu yapalım: bu noktaları birleştiren iki rastgele vektörün koordinatlarını hesaplayın, sonra bulunan yönlendirilmiş bölümlerin çarpımını hesaplayarak düzleme dik n¯ vektörünü bulun. Şunu elde ederiz:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Örnek olarak P noktasını alın, düzlemin denklemini oluşturun:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 veya z=0.
Verilen dikdörtgen koordinat sisteminde xy düzlemine karşılık gelen basit bir ifade elde ettik. X ve y eksenleri düzleme ait olduğundan ve z ekseninde kesilen doğru parçasının uzunluğu sıfır olduğundan (0; 0; 0) noktası düzleme ait olduğu için segmentler halinde yazılamaz.
