Saniyeler, teğetler - tüm bunlar geometri derslerinde yüzlerce kez duyulabilirdi. Ancak okuldan mezuniyet biter, yıllar geçer ve tüm bu bilgiler unutulur. Neler hatırlanmalıdır?
Öz
"Bir daireye teğet" terimi muhtemelen herkese tanıdık gelir. Ancak herkesin tanımını hızlı bir şekilde formüle etmesi pek olası değildir. Bu arada, bir teğet, onu yalnızca bir noktada kesen bir daire ile aynı düzlemde uzanan düz bir çizgidir. Çok çeşitli olabilir, ancak hepsi aşağıda tartışılacak olan aynı özelliklere sahiptir. Tahmin edebileceğiniz gibi, temas noktası daire ve çizginin kesiştiği yerdir. Her durumda, birdir, ancak daha fazlası varsa, o zaman bir sekant olacaktır.
Keşif ve çalışma tarihi
Teğet kavramı antik çağda ortaya çıktı. Bu düz çizgilerin, önce bir daireye, daha sonra bir cetvel ve bir pergel yardımıyla elips, parabol ve hiperbollere yapımı, geometrinin gelişiminin ilk aşamalarında bile gerçekleştirildi. Elbette tarih, keşfedenin adını korumadı, ancakAçıktır ki o zamanlar bile insanlar çembere teğetin özelliklerinin oldukça farkındaydılar.
Modern zamanlarda, bu fenomene olan ilgi yeniden alevlendi - yeni eğrilerin keşfiyle birlikte bu kavramı incelemeye yönelik yeni bir tur başladı. Böylece Galileo bir sikloid kavramını tanıttı ve Fermat ve Descartes ona bir teğet oluşturdu. Çemberlere gelince, bu alanda eskiler için hiçbir sır kalmamış gibi görünüyor.
Özellikler
Kesişim noktasına çizilen yarıçap, çizgiye dik olacaktır. Bu
ana, ancak bir daireye teğetin sahip olduğu tek özellik değil. Bir diğer önemli özellik ise halihazırda iki düz çizgiyi içeriyor. Böylece, çemberin dışında kalan bir noktadan iki teğet çizilebilir ve bölümleri eşit olacaktır. Bu konuda başka bir teorem daha var, ancak bazı problemleri çözmek için son derece uygun olmasına rağmen, nadiren standart bir okul kursu çerçevesinde ele alınmaktadır. Kulağa böyle geliyor. Çemberin dışında bulunan bir noktadan, ona bir teğet ve bir sekant çizilir. AB, AC ve AD segmentleri oluşturulur. A, çizgilerin kesişimi, B temas noktası, C ve D kesişme noktalarıdır. Bu durumda şu eşitlik geçerli olacaktır: Çembere teğetin uzunluğu, karesi, AC ve AD doğru parçalarının çarpımına eşit olacaktır.
Yukarıdakilerden önemli bir sonuç çıkıyor. Çemberin her noktası için bir teğet oluşturabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Bunun kanıtı oldukça basittir: teorik olarak yarıçaptan onun üzerine bir dik açıyı düşürerek, oluşanüçgen olamaz. Bu da teğetin tek olduğu anlamına gelir.
Bina
Geometrideki diğer problemler arasında, kural olarak özel bir kategori vardır,
değil
öğrenciler ve öğrenciler tarafından sevilir. Bu kategorideki görevleri çözmek için sadece bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız var. Bunlar inşaat işleridir. Teğet oluşturmanın da yöntemleri vardır.
Öyleyse, bir daire ve sınırlarının dışında kalan bir nokta verildi. Ve içlerinden bir teğet çizmek gerekiyor. Nasıl yapılır? Her şeyden önce, O çemberinin merkezi ile belirli bir nokta arasında bir doğru parçası çizmeniz gerekir. Ardından, bir pusula kullanarak ikiye bölün. Bunu yapmak için yarıçapı ayarlamanız gerekir - orijinal dairenin merkezi ile verilen nokta arasındaki mesafenin yarısından biraz fazla. Bundan sonra, kesişen iki yay oluşturmanız gerekir. Ayrıca, pusulanın yarıçapının değiştirilmesine gerek yoktur ve dairenin her bir parçasının merkezi sırasıyla başlangıç noktası ve O olacaktır. Yayların kesişme noktaları, segmenti ikiye bölecek şekilde bağlanmalıdır. Pusulada bu mesafeye eşit bir yarıçap ayarlayın. Ardından, merkez kesişme noktasında olacak şekilde başka bir daire çizin. Hem başlangıç noktası hem de O üzerinde duracaktır. Bu durumda problemde verilen daire ile iki kesişme daha olacaktır. Bunlar, başlangıçta verilen nokta için temas noktaları olacaktır.
İlginç
Doğumuna yol açan daireye teğetlerin inşasıydı
diferansiyel hesap. Bu konudaki ilk çalışma M. Ö.ünlü Alman matematikçi Leibniz tarafından yayınlandı. Kesirli ve irrasyonel değerlerden bağımsız olarak maksimum, minimum ve teğet bulma imkanı sağladı. Pekala, artık birçok başka hesaplama için de kullanılıyor.
Ayrıca çemberin tanjantı, tanjantın geometrik anlamı ile ilgilidir. Adı da buradan gelmektedir. Latince'den tercüme edilen tangens, "tanjant" anlamına gelir. Dolayısıyla bu kavram sadece geometri ve diferansiyel hesap ile değil, aynı zamanda trigonometri ile de bağlantılıdır.
İki daire
Teğet her zaman yalnızca bir şekli etkilemez. Bir daireye çok sayıda düz çizgi çizilebiliyorsa, neden tam tersi olmasın? Yapabilir. Ancak bu durumda görev ciddi şekilde karmaşıktır, çünkü iki dairenin teğeti herhangi bir noktadan geçmeyebilir ve tüm bu şekillerin göreli konumu çok
olabilir.
farklı.
Türler ve çeşitler
İki daire ve bir veya daha fazla doğru söz konusu olduğunda, bunların teğet olduğu bilinse bile, tüm bu şekillerin birbirine göre nasıl konumlandığı hemen ortaya çıkmaz. Buna dayanarak, birkaç çeşit var. Yani çemberlerin bir veya iki ortak noktası olabilir veya hiç olmayabilir. İlk durumda kesişecekler ve ikincisinde dokunacaklar. Ve burada iki çeşit var. Bir daire olduğu gibi ikinciye gömülüyse, dokunmaya dahili, değilse harici denir. karşılıklı anlamakŞekillerin konumu sadece çizime göre değil, aynı zamanda yarıçaplarının toplamı ve merkezleri arasındaki mesafe hakkında da bilgi sahibi olmakla mümkündür. Bu iki miktar eşitse, daireler birbirine dokunur. Birincisi daha büyükse kesişirler, daha küçükse ortak noktaları yoktur.
Düz çizgilerle aynı. Ortak noktaları olmayan herhangi iki daire için
dört teğet oluşturun. İkisi rakamlar arasında kesişecek, bunlara iç denir. Birkaç kişi daha harici.
Bir ortak noktası olan çemberlerden bahsediyorsak, görev büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Gerçek şu ki, bu durumda herhangi bir karşılıklı düzenleme için yalnızca bir teğete sahip olacaklardır. Ve onların kesiştiği noktadan geçecek. Yani zorluğun yapımı neden olmaz.
Şekillerin iki kesişme noktası varsa, o zaman onlar için daireye teğet, hem bir hem de ikinci, ancak yalnızca dış olan düz bir çizgi oluşturulabilir. Bu sorunun çözümü aşağıda tartışılacak olana benzer.
Problem çözme
İki dairenin hem iç hem de dış teğetlerini oluşturmak o kadar kolay değildir, ancak bu sorun çözülebilir. Gerçek şu ki, bunun için bir yardımcı figür kullanılıyor, bu yüzden bu yöntemi kendiniz düşünün
oldukça sorunlu. Böylece, O1 ve O2 merkezleri ve yarıçapları farklı olan iki daire verilmiştir. Onlar için iki çift teğet oluşturmanız gerekir.
Öncelikle, daha büyük olanın merkezine yakınçevrelerin yardımcı inşa edilmesi gerekir. Bu durumda, ilk iki rakamın yarıçapları arasındaki fark pusula üzerinde belirlenmelidir. Yardımcı daireye teğetler, daha küçük dairenin merkezinden oluşturulur. Bundan sonra, O1 ve O2'den, orijinal şekillerle kesişene kadar bu doğrulara dikler çizilir. Teğetin ana özelliğinden aşağıdaki gibi, her iki çember üzerinde de istenilen noktalar bulunur. Sorun çözüldü, en azından ilk kısmı.
İç teğetleri oluşturmak için pratik olarak çözmeniz gerekecek
benzer bir görev. Yine yardımcı bir şekle ihtiyaç vardır, ancak bu sefer yarıçapı orijinallerin toplamına eşit olacaktır. Teğetler, verilen çevrelerden birinin merkezinden ona inşa edilir. Çözümün devamı önceki örnekten anlaşılabilir.
Bir daireye teğet, hatta iki veya daha fazlası o kadar da zor bir iş değil. Tabii ki, matematikçiler bu tür problemleri manuel olarak çözmeyi çoktan bıraktılar ve hesaplamaları özel programlara emanet ettiler. Ancak şimdi bunu kendiniz yapmanın gerekli olmadığını düşünmeyin, çünkü bir bilgisayar için bir görevi doğru bir şekilde formüle etmek için çok şey yapmanız ve anlamanız gerekir. Ne yazık ki, bilgi kontrolünün test formuna son geçişten sonra, inşaat görevlerinin öğrenciler için giderek daha fazla zorluğa neden olacağına dair korkular var.
Daha fazla daire için ortak teğet bulmaya gelince, bunlar aynı düzlemde olsalar bile her zaman mümkün değildir. Ama bazı durumlarda böyle düz bir çizgi bulabilirsin.
Yaşam örnekleri
Her zaman fark edilmese de pratikte iki daireye ortak bir teğet ile karşılaşılır. Konveyörler, blok sistemleri, kasnak aktarım kayışları, bir dikiş makinesindeki iplik gerginliği ve hatta sadece bir bisiklet zinciri - bunların hepsi hayattan örnekler. Bu yüzden geometrik problemlerin sadece teoride kaldığını düşünmeyin: mühendislik, fizik, inşaat ve diğer birçok alanda pratik uygulamalar bulurlar.
