"Fermat teoremi - kısa bir ispat" talebinin popülaritesine bakılırsa, bu matematiksel problem gerçekten birçok kişinin ilgisini çekiyor. Bu teorem ilk olarak Pierre de Fermat tarafından 1637'de Aritmetik'in bir kopyasının kenarında ifade edildi ve burada kenara sığamayacak kadar büyük bir çözümü olduğunu iddia etti.
İlk başarılı kanıt 1995'te yayınlandı - Andrew Wiles tarafından Fermat Teoreminin tam kanıtıydı. "Şaşırtıcı bir ilerleme" olarak tanımlandı ve Wiles'ın 2016'da Abel Ödülü'nü almasına yol açtı. Nispeten kısaca açıklanmasına rağmen, Fermat teoreminin ispatı aynı zamanda modülerlik teoreminin çoğunu kanıtladı ve modülerliği kaldırmak için çok sayıda başka soruna yeni yaklaşımlar ve etkili yöntemler açtı. Bu başarılar matematiği 100 yıl ileriye taşıdı. Fermat'ın küçük teoreminin bugün ispatısıra dışı bir şeydir.
Çözümlenmemiş problem, 19. yüzyılda cebirsel sayı teorisinin gelişimini ve 20. yüzyılda modülerlik teoreminin bir kanıtının aranmasını teşvik etti. Bu matematik tarihinin en dikkate değer teoremlerinden biridir ve Fermat'ın Son Teoreminin tam bölme kanıtına kadar Guinness Rekorlar Kitabı'nda "en zor matematik problemi" olarak yer almıştır, özelliklerinden biri de şudur: en fazla sayıda başarısız kanıta sahiptir.
Tarihsel arka plan
Pisagor denklemi x2 + y2=z2 sonsuz sayıda pozitife sahiptir x, y ve z için tamsayı çözümleri. Bu çözümler Pisagor üçlüleri olarak bilinir. 1637 civarında, Fermat kitabın kenarına daha genel denklemin a + b =colmadığını yazdı. n 2'den büyük bir tam sayı ise doğal sayılarda çözümler. Fermat teoreminin yaratıcısı tarafından iddia edilen temel kanıtı, onun övünen buluşuydu. Büyük Fransız matematikçinin kitabı, ölümünden 30 yıl sonra keşfedildi. Fermat'ın Son Teoremi adı verilen bu denklem matematikte üç buçuk yüzyıl boyunca çözülmeden kaldı.
Teorem sonunda matematikteki çözülmemiş en dikkate değer problemlerden biri haline geldi. Bunu kanıtlama girişimleri, sayılar teorisinde önemli bir gelişmeye neden oldu vezaman, Fermat'ın son teoremi matematikte çözülmemiş bir problem olarak bilinir hale geldi.
Kanıtın Kısa Tarihi
Eğer n=4 ise, Fermat'ın kendisinin kanıtladığı gibi, asal sayılar olan n indisleri için teoremi kanıtlamak yeterlidir. Sonraki iki yüzyıl boyunca (1637-1839) bu varsayım yalnızca 3, 5 ve 7 asal sayıları için kanıtlandı, ancak Sophie Germain tüm asal sınıflara uygulanan bir yaklaşımı güncelleyip kanıtladı. 19. yüzyılın ortalarında, Ernst Kummer bunu genişletti ve tüm düzenli asal sayılar için teoremi kanıtladı, böylece düzensiz asallar ayrı ayrı analiz edildi. Kummer'in çalışmasına ve karmaşık bilgisayar araştırmasını kullanarak, diğer matematikçiler teoremin çözümünü dört milyona kadar tüm ana üsleri kapsayacak şekilde genişletmeyi başardılar, ancak tüm üsler için kanıt hala mevcut değildi (yani matematikçilerin genellikle teoremin çözümünün imkansız, son derece zor veya mevcut bilgilerle ulaşılamaz olduğu düşünülür).
Shimura ve Taniyama'nın işi
1955'te Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, matematiğin çok farklı iki dalı olan eliptik eğriler ile modüler formlar arasında bir bağlantı olduğundan şüphelendiler. O zamanlar Taniyama-Shimura-Weyl varsayımı ve (nihayetinde) modülerlik teoremi olarak bilinen bu varsayım, Fermat'ın son teoremiyle görünür bir bağlantısı olmaksızın kendi başına var oldu. Kendisi yaygın olarak önemli bir matematik teoremi olarak kabul edildi, ancak (Fermat'ın teoremi gibi) kanıtlanması imkansız olarak kabul edildi. OndaAynı zamanda, Fermat'ın Son Teoreminin ispatı (karmaşık matematiksel formülleri bölerek ve uygulayarak) ancak yarım asır sonra gerçekleştirildi.
1984'te Gerhard Frey, daha önce alakasız ve çözülmemiş bu iki problem arasında bariz bir bağlantı olduğunu fark etti. İki teoremin yakından ilişkili olduğuna dair tam bir doğrulama, 1986'da, Jean-Pierre Serra'nın kısmi bir kanıtına dayanan ve "epsilon hipotezi" olarak bilinen bir kısım hariç hepsini kanıtlayan Ken Ribet tarafından yayınlandı. Basitçe söylemek gerekirse, Frey, Serra ve Ribe tarafından yapılan bu çalışmalar, modülerlik teoreminin, en azından yarı kararlı bir eliptik eğri sınıfı için kanıtlanabilmesi durumunda, Fermat'ın son teoreminin kanıtının da er ya da geç keşfedileceğini gösterdi. Fermat'ın son teoremiyle çelişebilecek herhangi bir çözüm, modülerlik teoremiyle çelişmek için de kullanılabilir. Bu nedenle, modülerlik teoremi doğru çıktıysa, tanım gereği Fermat'ın son teoremiyle çelişen bir çözüm olamaz, bu da yakında kanıtlanması gerektiği anlamına gelir.
Her iki teorem de matematikte zor problemler olmasına ve çözülemez olarak kabul edilmelerine rağmen, iki Japon'un çalışması, Fermat'ın son teoreminin sadece bazı sayılar için değil, tüm sayılar için nasıl genişletilip kanıtlanabileceğine dair ilk öneriydi. Çalışma konusunu seçen araştırmacılar için önemli olan, Fermat'ın son teoreminin aksine, modülerlik teoreminin ana aktif araştırma alanı olduğu gerçeğiydi. Kanıtlar geliştirildi ve sadece tarihsel tuhaflık değil, çalışmasına harcanan zaman profesyonel bir bakış açısıyla haklı gösterilebilirdi. Ancak genel fikir birliği, Taniyama-Shimura varsayımını çözmenin uygunsuz olduğu yönündeydi.
Farm's Last Teoremi: Wiles'ın ispatı
Ribet'in Frey'in teorisinin doğruluğunu kanıtladığını öğrenen İngiliz matematikçi Andrew Wiles, çocukluğundan beri Fermat'ın Son Teoremi ile ilgilenen ve eliptik eğriler ve bitişik etki alanları ile çalışma tecrübesi olan İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Taniyama-Shimura'yı kanıtlamaya karar verdi. Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamanın bir yolu olarak varsayım. 1993 yılında, hedefini açıkladıktan altı yıl sonra, teoremi çözme problemi üzerinde gizlice çalışırken Wiles, Fermat'ın son teoremini kanıtlamasına yardımcı olacak ilgili bir varsayımı kanıtlamayı başardı. Wiles'ın belgesi boyut ve kapsam olarak çok büyüktü.
Akran değerlendirmesi sırasında orijinal makalesinin bir bölümünde bir kusur keşfedildi ve teoremi ortaklaşa çözmek için Richard Taylor ile bir yıl daha işbirliği yapılması gerekiyordu. Sonuç olarak, Wiles'ın Fermat'ın Son Teoreminin son kanıtının gelmesi uzun sürmedi. 1995'te, Wiles'ın önceki matematiksel çalışmasından çok daha küçük bir ölçekte yayınlandı ve teoremi kanıtlama olasılığı hakkında önceki sonuçlarında yanılmadığını gösterdi. Wiles'ın başarısı, popüler basında geniş çapta duyuruldu ve kitaplarda ve televizyon programlarında popüler hale getirildi. Taniyama-Shimura-Weil varsayımının şimdi kanıtlanmış olan kalan kısımları veModülerlik teoremi olarak bilinen, daha sonra Wiles'ın 1996 ve 2001 yılları arasındaki çalışmalarını temel alan diğer matematikçiler tarafından kanıtlandı. Wiles, başarısından dolayı onurlandırıldı ve 2016 Abel Ödülü de dahil olmak üzere çok sayıda ödül aldı.
Wiles'ın Fermat'ın son teoreminin kanıtı, eliptik eğriler için modülerlik teoremini çözmenin özel bir durumudur. Ancak bu, böylesine büyük ölçekli bir matematiksel işlemin en ünlü örneğidir. İngiliz matematikçi Ribe teoremini çözmenin yanı sıra Fermat'ın son teoreminin bir kanıtını da elde etti. Fermat'ın Son Teoremi ve Modülerlik Teoremi, modern matematikçiler tarafından neredeyse evrensel olarak kanıtlanamaz olarak kabul edildi, ancak Andrew Wiles bilim dünyasına uzmanların bile yanlış olabileceğini kanıtlamayı başardı.
Wyles keşfini ilk olarak 23 Haziran 1993 Çarşamba günü Cambridge'de "Modüler Formlar, Eliptik Eğriler ve Galois Temsilleri" başlıklı bir konferansta duyurdu. Ancak, Eylül 1993'te hesaplamalarının bir hata içerdiği tespit edildi. Bir yıl sonra, 19 Eylül 1994'te, "çalışma hayatının en önemli anı" olarak adlandırdığı anda, Wiles, problemin çözümünü matematiksel olarak tatmin edebileceği noktaya kadar düzeltmesine izin veren bir vahiy buldu. topluluk.
İş tanımı
Andrew Wiles tarafından yazılan Fermat Teoreminin Kanıtı cebirsel geometri ve sayı teorisinden birçok yöntem kullanır ve bunlarda birçok sonuca sahiptir.matematik alanları. Ayrıca, şema kategorisi ve Iwasawa teorisi gibi modern cebirsel geometrinin standart yapılarının yanı sıra 20. yüzyılın Pierre de Fermat için mevcut olmayan diğer yöntemlerini de kullanır.
Kanıtı içeren iki makale 129 sayfa uzunluğundadır ve yedi yıl boyunca yazılmıştır. John Coates, bu keşfi sayı teorisinin en büyük başarılarından biri olarak nitelendirdi ve John Conway bunu 20. yüzyılın en büyük matematiksel başarısı olarak nitelendirdi. Wiles, yarı kararlı eliptik eğrilerin özel durumu için modülerlik teoremini kanıtlayarak Fermat'ın son teoremini kanıtlamak için modülerliği kaldırmak için güçlü yöntemler geliştirdi ve çok sayıda başka soruna yeni yaklaşımlar açtı. Fermat'ın son teoremini çözdüğü için şövalye oldu ve başka ödüller aldı. Wiles'ın Abel Ödülü'nü kazandığı öğrenildiğinde, Norveç Bilimler Akademisi başarısını "Fermat'ın son teoreminin keyifli ve basit bir kanıtı" olarak nitelendirdi.
Nasıldı
Teoremin çözümüyle Wiles'ın orijinal elyazmasını inceleyen kişilerden biri Nick Katz'dı. İncelemesi sırasında, Briton'a, Wiles'ın çalışmasının açıkça bir boşluk içerdiğini kabul etmesine yol açan bir dizi açıklayıcı soru sordu. İspatın kritik bir bölümünde, belirli bir grubun sıralaması için bir tahmin veren bir hata yapıldı: Kolyvagin ve Flach yöntemini genişletmek için kullanılan Euler sistemi eksikti. Bununla birlikte, bu hata işini işe yaramaz hale getirmedi - Wiles'ın çalışmalarının her bir parçası, birçok kişi gibi kendi içinde çok önemli ve yenilikçiydi. Çalışması sırasında yarattığı ve nüshanın sadece bir bölümünü etkileyen gelişmeler ve yöntemler. Ancak, 1993'te yayınlanan bu orijinal çalışma, Fermat'ın Son Teoreminin gerçekten bir kanıtına sahip değildi.
Wyles, önce tek başına, sonra da eski öğrencisi Richard Taylor ile işbirliği içinde, teoremin çözümünü yeniden keşfetmeye çalışırken yaklaşık bir yıl harcadı, ancak her şey boşuna gibi görünüyordu. 1993'ün sonunda, Wiles'ın kanıtının testlerde başarısız olduğuna dair söylentiler dolaşmıştı, ancak bu başarısızlığın ne kadar ciddi olduğu bilinmiyordu. Matematikçiler, daha geniş matematikçiler topluluğunun başarabildiği her şeyi keşfedip kullanabilmesi için, yapılıp yapılmadığına bakılmaksızın çalışmalarının ayrıntılarını ortaya koyması için Wiles'a baskı yapmaya başladı. Wiles, hatasını çabucak düzeltmek yerine, Fermat'ın Son Teoreminin ispatında yalnızca ek zor yönler keşfetti ve sonunda bunun ne kadar zor olduğunu anladı.
Wyles, 19 Eylül 1994 sabahı pes etmenin ve pes etmenin eşiğinde olduğunu ve neredeyse başarısızlığa uğradığını belirtiyor. Başkalarının üzerine inşa edip nerede yanıldığını bulabilmesi için bitmemiş çalışmasını yayınlamaya hazırdı. İngiliz matematikçi kendine son bir şans vermeye karar verdi ve yaklaşımının neden işe yaramadığını anlamak için son kez teoremi analiz etti.ayrıca Iwasawa'nın teorisini ispat sürecine dahil ederek çalışmasını sağlayacak.
6 Ekim'de Wiles, üç meslektaşından (F altins dahil) yeni çalışmasını gözden geçirmelerini istedi ve 24 Ekim 1994'te iki el yazması sundu: "Modüler eliptik eğriler ve Fermat'ın son teoremi" ve "Teorik özelliklerin teorik özellikleri. Wiles'ın Taylor ile birlikte yazdığı ve ana makaledeki düzeltilmiş adımı haklı çıkarmak için belirli koşulların karşılandığını kanıtladığı bazı Hecke cebirlerinin halkası".
Bu iki makale gözden geçirildi ve nihayet Mayıs 1995 Annals of Mathematics'te tam metin olarak yayınlandı. Andrew'un yeni hesaplamaları geniş çapta analiz edildi ve sonunda bilim topluluğu tarafından kabul edildi. Bu makalelerde, yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik teoremi oluşturuldu - Fermat'ın Son Teoremini, oluşturulduktan 358 yıl sonra kanıtlamaya yönelik son adım.
Büyük Problemin Tarihi
Bu teoremi çözmek, yüzyıllardır matematikteki en büyük problem olarak kabul edilmiştir. 1816 ve 1850'de Fransız Bilimler Akademisi, Fermat'ın Son Teoreminin genel bir kanıtı için bir ödül verdi. 1857'de Akademi, ödül için başvurmamasına rağmen, ideal sayılar üzerine yaptığı araştırma için Kummer'e 3.000 frank ve altın madalya verdi. 1883'te Brüksel Akademisi tarafından kendisine başka bir ödül daha verildi.
Wolfskell Ödülü
1908'de Alman sanayici ve amatör matematikçi Paul Wolfskel 100.000 altın mark (o zaman için büyük bir miktar) miras bıraktıGöttingen Bilimler Akademisi, böylece bu para Fermat'ın son teoreminin tam kanıtı için bir ödül olur. 27 Haziran 1908'de Akademi dokuz ödül kuralı yayınladı. Diğer şeylerin yanı sıra, bu kurallar kanıtın hakemli bir dergide yayınlanmasını gerektiriyordu. Ödül, yayınlandıktan sadece iki yıl sonra verilecekti. Yarışma, başladıktan yaklaşık bir asır sonra 13 Eylül 2007'de sona erecekti. 27 Haziran 1997'de Wiles, Wolfschel'in para ödülünü ve ardından 50.000 dolar daha aldı. Mart 2016'da, Abel Ödülü'nün bir parçası olarak Norveç hükümetinden "Fermat'ın son teoreminin yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik varsayımının yardımıyla sayı teorisinde yeni bir çağ açan inanılmaz bir kanıtı" için 600.000 € aldı. Mütevazı İngiliz'in dünya çapındaki zaferiydi.
Wiles'ın ispatından önce, Fermat'ın teoremi, daha önce bahsedildiği gibi, yüzyıllar boyunca kesinlikle çözülemez olarak kabul edildi. Wolfskell komitesine çeşitli zamanlarda yaklaşık 10 fit (3 metre) yazışmaya denk gelen binlerce yanlış kanıt sunuldu. Sadece ödülün ilk yılında (1907-1908) teoremi çözdüğünü iddia eden 621 başvuru sunuldu, ancak 1970'lerde sayıları ayda yaklaşık 3-4 başvuruya düştü. Wolfschel'in eleştirmeni F. Schlichting'e göre, kanıtların çoğu okullarda öğretilen temel yöntemlere dayanıyordu ve genellikle "teknik geçmişe sahip ancak başarısız kariyerleri olan insanlar" olarak sunuldu. Matematik tarihçisi Howard Aves'e göre, sonFermat'ın teoremi bir tür rekor kırdı - bu, en fazla sayıda yanlış ispatı olan teoremdir.
Çiftliğin defneleri Japonlara gitti
Daha önce de belirtildiği gibi, 1955 civarında, Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, matematiğin görünüşte tamamen farklı iki dalı - eliptik eğriler ve modüler formlar - arasında olası bir bağlantı keşfettiler. Ortaya çıkan modülerlik teoremi (daha sonra Taniyama-Shimura varsayımı olarak bilinir), her eliptik eğrinin modüler olduğunu, yani benzersiz bir modüler formla ilişkilendirilebileceğini belirtir.
Teori başlangıçta olası olmadığı veya oldukça spekülatif olduğu gerekçesiyle reddedildi, ancak sayı teorisyeni André Weil Japonların vardığı sonuçları destekleyecek kanıtlar bulduğunda daha ciddiye alındı. Sonuç olarak, hipotez genellikle Taniyama-Shimura-Weil hipotezi olarak anılır. Gelecekte kanıtlanması gereken önemli hipotezlerin bir listesi olan Langlands programının bir parçası oldu.
Ciddi bir incelemeden sonra bile, varsayım, modern matematikçiler tarafından son derece zor veya belki de kanıtlanması imkansız olarak kabul edildi. Şimdi bu özel teorem, çözümüyle tüm dünyayı şaşırtabilecek Andrew Wiles'ı bekliyor.
Fermat Teoremi: Perelman'ın ispatı
Popüler efsaneye rağmen, Rus matematikçi Grigory Perelman'ın tüm dehasına rağmen Fermat'ın teoremi ile hiçbir ilgisi yoktur. Ancak, bu hiçbir şekilde ondan uzaklaşmaz.bilimsel topluluğa sayısız katkı.
