Uzamsal şekillerin hacmini hesaplama yeteneği, geometrideki bir takım pratik problemlerin çözümünde önemlidir. En yaygın şekillerden biri piramittir. Bu yazıda piramidin hem tam hem de kesik hacim formüllerini ele alacağız.
Üç boyutlu bir şekil olarak piramit
Mısır piramitlerini herkes biliyor, bu yüzden hangi figürün tartışılacağına dair iyi bir fikre sahipler. Bununla birlikte, Mısır taş yapıları, büyük bir piramit sınıfının yalnızca özel bir durumudur.
Genel durumda dikkate alınan geometrik nesne, her bir köşesi uzayda taban düzlemine ait olmayan bir noktaya bağlı olan çokgen bir tabandır. Bu tanım, bir n-gon ve n üçgenden oluşan bir şekle yol açar.
Herhangi bir piramit n+1 yüz, 2n kenar ve n+1 köşeden oluşur. İncelenen şekil mükemmel bir çokyüzlü olduğundan, işaretli elemanların sayısı Euler eşitliğine uyar:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Tabandaki çokgen piramidin adını verir,örneğin, üçgen, beşgen vb. Aşağıdaki fotoğrafta farklı tabanlara sahip bir dizi piramit gösterilmektedir.
Şeklin n üçgeninin bağlandığı noktaya piramidin tepesi denir. Bir dik ondan tabana indirilirse ve onu geometrik merkezde keserse, böyle bir şekle düz çizgi denir. Bu koşul sağlanmazsa eğik piramit vardır.
Tabanı bir eşkenar (eşkenar) n-gon tarafından oluşturulan düz bir şekle düzgün denir.
Piramit hacim formülü
Piramidin hacmini hesaplamak için integral hesabını kullanırız. Bunu yapmak için, şekli tabana paralel kesen düzlemlerle sonsuz sayıda ince katmana böleriz. Aşağıdaki şekil, h yüksekliğinde ve L kenar uzunluğunda, ince bir kesit katmanının bir dörtgen ile işaretlendiği bir dörtgen piramidi göstermektedir.
Bu tür her katmanın alanı şu formül kullanılarak hesaplanabilir:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Burada A0 tabanın alanıdır, z dikey koordinatın değeridir. z=0 ise formülün A0 değerini verdiği görülebilir.
Bir piramidin hacminin formülünü elde etmek için, şeklin tüm yüksekliği üzerinden integrali hesaplamanız gerekir, yani:
V=∫h0(A(z)dz).
A(z) bağımlılığını yerine koyarak ve ters türevi hesaplayarak şu ifadeye ulaşırız:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Piramidin hacminin formülünü bulduk. V değerini bulmak için şeklin yüksekliğini taban alanıyla çarpmak ve ardından sonucu üçe bölmek yeterlidir.
Sonuçta elde edilen ifadenin rastgele tipte bir piramidin hacmini hesaplamak için geçerli olduğuna dikkat edin. Yani, eğimli olabilir ve tabanı keyfi bir n-gon olabilir.
Doğru piramit ve hacmi
Yukarıdaki paragrafta elde edilen genel hacim formülü, doğru tabana sahip bir piramit olması durumunda geliştirilebilir. Böyle bir tabanın alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Burada L, n köşesi olan düzgün bir çokgenin kenar uzunluğudur. Pi sembolü pi sayısıdır.
A0 ifadesini genel formülde değiştirerek, normal bir piramidin hacmini elde ederiz:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Örneğin, üçgen bir piramit için bu formül şu ifadeye yol açar:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Düzenli bir dörtgen piramit için hacim formülü şöyle olur:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Düzenli piramitlerin hacmini belirlemek, tabanlarının kenarını ve şeklin yüksekliğini bilmeyi gerektirir.
Kesilmiş piramit
Diyelim ki aldıkkeyfi bir piramit ve üst kısmı içeren yan yüzeyinin bir kısmını kesti. Kalan şekle kesik piramit denir. Zaten iki n köşeli tabandan ve bunları birbirine bağlayan n yamuktan oluşuyor. Kesme düzlemi şeklin tabanına paralel ise, paralel benzer tabanlarla kesik bir piramit oluşturulur. Yani, birinin kenar uzunlukları, diğerinin uzunlukları bir k katsayısı ile çarpılarak elde edilebilir.
Yukarıdaki resim, kesik bir düzenli altıgen piramidi göstermektedir. Alttaki gibi üst tabanının da düzgün bir altıgenden oluştuğu görülebilir.
Verilene benzer bir integral hesabı kullanılarak türetilebilen, kesik bir piramidin hacminin formülü şudur:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1))).
Where A0 ve A1 sırasıyla alt (büyük) ve üst (küçük) tabanların alanlarıdır. h değişkeni, kesik piramidin yüksekliğidir.
Keops piramidinin hacmi
En büyük Mısır piramidinin içerdiği hacmi belirleme problemini çözmek ilginç.
1984'te İngiliz Mısırbilimciler Mark Lehner ve Jon Goodman, Cheops piramidinin tam boyutlarını belirledi. Orijinal yüksekliği 146.50 metre (şu anda yaklaşık 137 metre) idi. Yapının dört tarafının her birinin ortalama uzunluğu 230.363 metre idi. Piramidin tabanı yüksek doğrulukla kare şeklindedir.
Bu taş devin hacmini belirlemek için verilen rakamları kullanalım. Piramit düzgün bir dörtgen olduğundan, formül onun için geçerlidir:
V4=1/3L2h.
Sayıları değiştirin, şunu elde ederiz:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Keops piramidinin hacmi neredeyse 2,6 milyon m3. Karşılaştırma için, olimpik havuzun 2.5 bin m3 hacmine sahip olduğunu belirtelim. Yani Cheops piramidinin tamamını doldurmak için bu havuzlardan 1000'den fazlasına ihtiyaç duyulacak!
