Birçok insanın az çok rastgele olan olayları hesaplamanın mümkün olup olmadığını düşünmesi pek olası değildir. Basit bir ifadeyle, zarın bir sonraki hangi tarafının düşeceğini bilmek gerçekçi mi? Bir olayın olasılığının oldukça kapsamlı bir şekilde incelendiği olasılık teorisi gibi bir bilimin temelini atan iki büyük bilim adamının sorduğu soru buydu.
Origination
Olasılık teorisi gibi bir kavramı tanımlamaya çalışırsanız, şunu elde edersiniz: Bu, matematiğin rastgele olayların sabitliğini inceleyen dallarından biridir. Elbette bu kavram özün tamamını ortaya koymuyor, bu yüzden daha detaylı düşünmek gerekiyor.
Teorinin yaratıcılarından başlamak istiyorum. Yukarıda bahsedildiği gibi ikisi vardı, bunlar Pierre Fermat ve Blaise Pascal. Formüller ve matematiksel hesaplamalar kullanarak bir olayın sonucunu hesaplamaya çalışan ilk kişiler onlardı. Genel olarak bakıldığında, bu bilimin temelleri, M. Ö. Orta Çağlar. O zamanlar, çeşitli düşünürler ve bilim adamları, rulet, barbut ve benzeri gibi kumarı analiz etmeye çalıştılar, böylece belirli bir sayının düşme yüzdesini ve modelini oluşturdular. Temeli, on yedinci yüzyılda adı geçen bilim adamları tarafından atıldı.
İlk başta, çalışmaları bu alandaki büyük başarılara atfedilemezdi, çünkü yaptıkları her şey sadece ampirik gerçeklerdi ve deneyler formül kullanılmadan görsel olarak ayarlandı. Zamanla, zarların atılmasını gözlemlemenin bir sonucu olarak ortaya çıkan harika sonuçlar elde ettiği ortaya çıktı. İlk anlaşılır formüllerin türetilmesine yardımcı olan bu araçtı.
Ortaklar
Olasılık teorisi adı verilen bir konuyu inceleme sürecinde Christian Huygens gibi bir kişiden bahsetmemek mümkün değil (bir olayın olasılığı tam olarak bu bilimde işlenir). Bu kişi çok ilginç. Yukarıda sunulan bilim adamları gibi, rastgele olayların düzenliliğini matematiksel formüller şeklinde elde etmeye çalıştı. Bunu Pascal ve Fermat ile birlikte yapmaması, yani tüm eserlerinin hiçbir şekilde bu zihinlerle kesişmemesi dikkat çekicidir. Huygens, olasılık teorisinin temel kavramlarını türetmiştir.
İlginç bir gerçek, çalışmalarının öncülerin çalışmalarının sonuçlarından çok önce, daha doğrusu yirmi yıl önce ortaya çıkmış olmasıdır. Belirlenen kavramlar arasında en ünlüleri:
- şansın büyüklüğü olarak olasılık kavramı;
- ayrık için beklentivakalar;
- çarpma teoremleri ve olasılıkların eklenmesi.
Sorunun araştırılmasına da önemli katkılarda bulunan Jacob Bernoulli'yi hatırlamamak da mümkün değil. Kimseden bağımsız olarak kendi testlerini yaparak, büyük sayılar yasasının bir kanıtını sunmayı başardı. Buna karşılık, on dokuzuncu yüzyılın başında çalışan bilim adamları Poisson ve Laplace, orijinal teoremleri kanıtlayabildiler. Bu andan itibaren, gözlemler sırasındaki hataları analiz etmek için olasılık teorisi kullanılmaya başlandı. Rus bilim adamları veya daha doğrusu Markov, Chebyshev ve Dyapunov da bu bilimi atlayamadı. Büyük dahilerin yaptığı çalışmalara dayanarak bu konuyu matematiğin bir dalı olarak belirlemişlerdir. Bu rakamlar on dokuzuncu yüzyılın sonunda zaten işe yaradı ve katkıları sayesinde şu gibi fenomenler ortaya çıktı:
- büyük sayılar yasası;
- Markov zincir teorisi;
- merkezi limit teoremi.
Yani, bilimin doğuşunun tarihi ve onu etkileyen başlıca insanlarla birlikte, her şey az çok açıktır. Şimdi tüm gerçekleri somutlaştırma zamanı.
Temel kavramlar
Kanunlara ve teoremlere değinmeden önce, olasılık teorisinin temel kavramlarını incelemeye değer. Olay, içinde başrolü üstleniyor. Bu konu oldukça hacimlidir, ancak onsuz diğer her şeyi anlamak mümkün olmayacaktır.
Olasılık teorisindeki bir olay, bir deneyin herhangi bir sonuç kümesidir. Bu fenomenin çok fazla kavramı yoktur. Yani, bilim adamı Lotman,Bu alanda çalışan, bu durumda “olmasa da olmuş” bir şeyden bahsettiğimizi söyledi.
Rastgele olaylar (olasılık teorisi onlara özel önem verir), meydana gelme yeteneğine sahip herhangi bir fenomeni kesinlikle ima eden bir kavramdır. Veya tam tersine, birçok koşul karşılandığında bu senaryo gerçekleşmeyebilir. Ayrıca, meydana gelen tüm fenomen hacmini yakalayan rastgele olaylar olduğunu bilmeye değer. Olasılık teorisi, tüm koşulların sürekli olarak tekrarlanabileceğini gösterir. "Deneyim" veya "test" denilen şey onların davranışlarıydı.
Belirli bir olay, belirli bir testte %100 gerçekleşecek olan bir olaydır. Buna göre, imkansız bir olay, olmayacak olandır.
Bir çift eylemin kombinasyonu (geleneksel olarak durum A ve durum B) aynı anda meydana gelen bir olgudur. AB olarak belirlenirler.
A ve B olay çiftlerinin toplamı C'dir, başka bir deyişle, bunlardan en az biri (A veya B) olursa, C elde edilir. Tarif edilen olgunun formülü aşağıdaki gibi yazılır.: C=A + B.
Olasılık teorisindeki ayrık olaylar, iki durumun birbirini dışladığı anlamına gelir. Asla aynı anda olamazlar. Olasılık teorisindeki ortak olaylar onların antipodudur. Bu, eğer A gerçekleştiyse, B'ye müdahale etmediğini ima eder.
Ters olaylar (olasılık teorisi onlarla çok detaylı bir şekilde ilgilenir) anlaşılması kolaydır. Onlarla karşılaştırmalı olarak uğraşmak en iyisidir. Onlar neredeyse aynıve olasılık teorisinde uyumsuz olaylar. Ancak aralarındaki fark, birçok olaydan birinin zaten olması gerektiği gerçeğinde yatmaktadır.
Eşdeğer olaylar, olasılığı eşit olan eylemlerdir. Daha açık hale getirmek için, bir madeni paranın havaya atıldığını hayal edebiliriz: Bir tarafının düşmesinin diğerinin de düşmesi eşit derecede olasıdır.
Hayırlı olayı bir örnekle görmek daha kolaydır. Diyelim ki B bölümü ve A bölümü var. Birincisi tek sayı görünümü ile zarın atılması, ikincisi ise beş numaranın zar üzerinde görünümü. Sonra A'nın B'yi desteklediği ortaya çıktı.
Olasılık teorisindeki bağımsız olaylar yalnızca iki veya daha fazla duruma yansıtılır ve herhangi bir eylemin diğerinden bağımsız olduğunu ima eder. Örneğin, A, bir yazı tura atıldığında yazıların kaybolmasıdır ve B, bir krikonun güverteden çekilmesidir. Olasılık teorisinde bağımsız olaylardır. Bu an ile daha da netleşti.
Olasılık teorisindeki bağımlı olaylar da sadece kendi kümeleri için kabul edilebilir. Birinin diğerine bağımlılığını ima ederler, yani B fenomeni ancak A zaten olmuşsa veya tam tersine, B için ana koşul olduğunda gerçekleşmemişse ortaya çıkabilir.
Bir bileşenden oluşan rastgele bir deneyin sonucu, temel olaylardır. Olasılık teorisi bunun yalnızca bir kez olan bir fenomen olduğunu açıklar.
Temel formüller
Yani, "olay", "olasılık teorisi" kavramları,Bu bilimin temel terimlerinin tanımı da verildi. Şimdi doğrudan önemli formüllerle tanışma zamanı. Bu ifadeler, olasılık teorisi gibi zor bir konudaki tüm ana kavramları matematiksel olarak doğrulamaktadır. Bir olayın olasılığı da burada büyük bir rol oynar.
Birleştiricilerin temel formülleriyle başlamak daha iyi. Ve onlara geçmeden önce, ne olduğunu düşünmeye değer.
Kombinatorik, öncelikle matematiğin bir dalıdır, çok sayıda tam sayının incelenmesiyle ve ayrıca sayıların kendilerinin ve öğelerinin çeşitli permütasyonları, çeşitli veriler vb. bir takım kombinasyonlar. Olasılık teorisine ek olarak, bu dal istatistik, bilgisayar bilimi ve kriptografi için önemlidir.
Artık formülleri sunmaya ve tanımlamaya geçebiliriz.
Birincisi permütasyon sayısının ifadesi olacak, şuna benziyor:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Denklem yalnızca öğeler yalnızca sırayla farklılık gösteriyorsa geçerlidir.
Şimdi yerleştirme formülü dikkate alınacak, şuna benziyor:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Bu ifade yalnızca öğenin sırası için değil, aynı zamanda bileşimi için de geçerlidir.
Birleştiricilerin üçüncü denklemi ve aynı zamanda sonuncusu, kombinasyon sayısı formülü olarak adlandırılır:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinasyonlar sırasıyla sıralanmamış seçimlerdir ve bu kural onlar için geçerlidir.
Birleştiricilerin formüllerini bulmanın kolay olduğu ortaya çıktı, şimdi olasılıkların klasik tanımına geçebiliriz. Bu ifade şuna benzer:
P(A)=m: n.
Bu formülde, m, A olayı için elverişli koşulların sayısıdır ve n, kesinlikle tüm eşit olası ve temel sonuçların sayısıdır.
Çok sayıda ifade var, makale hepsini kapsamayacak, ancak örneğin olayların toplamının olasılığı gibi en önemlilerine değinilecek:
P(A + B)=P(A) + P(B) - bu teorem yalnızca uyumsuz olayları eklemek içindir;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - ve bu yalnızca uyumlu olanları eklemek içindir.
Olay üretme olasılığı:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – bu teorem bağımsız olaylar içindir;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - ve bu bağımlılar.
Olay formülü listeyi sonlandırır. Olasılık teorisi bize şuna benzeyen Bayes teoremini anlatır:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Bu formülde, H1, H2, …, H tam bir hipotez grubu.
Burada duralım, sonra uygulamadan belirli problemleri çözmek için formül uygulama örnekleri ele alınacaktır.
Örnekler
Herhangi bir bölümü dikkatlice incelersenizmatematik, alıştırmalar ve örnek çözümler olmadan olmaz. Olasılık teorisi de öyle: buradaki olaylar, örnekler, bilimsel hesaplamaları doğrulayan ayrılmaz bir bileşendir.
Permütasyon sayısı formülü
Diyelim ki, bir iskambil destesinde, yüz değerinden başlayarak otuz kart var. Sonraki soru. Bir ve iki yüz değerine sahip kartların yan yana olmaması için desteyi istiflemenin kaç yolu vardır?
Görev belirlendi, şimdi onu çözmeye geçelim. İlk önce otuz elementin permütasyon sayısını belirlemeniz gerekiyor, bunun için yukarıdaki formülü alıyoruz, P_30=30 çıkıyor!.
Bu kurala dayanarak, desteyi farklı şekillerde katlamak için kaç seçenek olduğunu bulacağız, ancak bunlardan birinci ve ikinci kartların sıradakileri çıkarmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, ilki ikincinin üstünde olduğunda seçenekle başlayalım. İlk kartın yirmi dokuz yer alabileceği ortaya çıktı - birinciden yirmi dokuzuncuya ve ikinci karttan otuzuncuya kadar, bir çift kart için yirmi dokuz yer çıkıyor. Buna karşılık, geri kalanı yirmi sekiz yerde ve herhangi bir sırayla alabilir. Yani, yirmi sekiz kartın bir permütasyonu için yirmi sekiz seçenek vardır P_28=28!
Sonuç olarak, ilk kart ikinciyi geçtiğinde çözümü düşünürsek, 29 ⋅ 28 ekstra olasılık olduğu ortaya çıkıyor!=29!
Aynı yöntemi kullanarak, ilk kartın ikincinin altında olduğu durum için fazlalık seçeneklerin sayısını hesaplamanız gerekir. Ayrıca 29 ⋅ 28 çıkıyor!=29!
Öyleyse 2 ⋅ 29 ekstra seçenek var!, deste inşa etmek için gerekli 30 yol var! - 2 ⋅ 29!. Geriye sadece saymak kalıyor.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Şimdi birden yirmi dokuza kadar olan tüm sayıları birlikte çarpmanız ve sonunda her şeyi 28 ile çarpmanız gerekiyor. Cevap 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Örneğin çözümü. Yerleşim Numarası
Formülü
Bu problemde, toplamda otuz cilt olması koşuluyla, on beş cildi bir rafa koymanın kaç yolu olduğunu bulmanız gerekiyor.
Bu sorunun bir öncekinden biraz daha kolay bir çözümü var. Halihazırda bilinen formülü kullanarak, otuz onbeş ciltten toplam konum sayısını hesaplamak gerekir.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
Cevap sırasıyla 202 843 204 931 727 360 000 olacaktır.
Şimdi görevi biraz daha zorlaştıralım. Bir rafta yalnızca on beş cilt olmak koşuluyla, otuz kitabı iki rafa yerleştirmenin kaç yolu olduğunu bulmalısın.
Çözüme başlamadan önce, bazı problemlerin birkaç şekilde çözüldüğünü açıklığa kavuşturmak istiyorum, bu yüzden bunda iki yol var ama her ikisinde de aynı formül kullanılıyor.
Bu problemde, cevabı bir öncekinden alabilirsiniz, çünkü orada on beş kitapla bir rafı kaç kez doldurabileceğinizi hesapladık-farklı. A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
çıktı.
İkinci rafı permütasyon formülünü kullanarak hesaplayacağız, çünkü içine on beş kitap yerleştirilirken sadece on beş kitap kalır. P_15=15 formülünü kullanın!.
Toplamın A_30^15 ⋅ P_15 yolu olacağı ortaya çıktı, ancak buna ek olarak, otuzdan on altıya kadar olan tüm sayıların çarpımı, birden on beşe kadar olan sayıların çarpımı ile çarpılmalıdır. bir sonuç, birden otuza kadar tüm sayıların çarpımı, yani cevap 30!
Ancak bu sorun farklı bir şekilde çözülebilir - daha kolay. Bunu yapmak için otuz kitaplık bir raf olduğunu hayal edebilirsiniz. Hepsi bu düzleme yerleştirilmiş, ancak durum iki raf olmasını gerektirdiğinden, bir tane uzun bir ortadan ikiye kesiyoruz, her biri on beş tane çıkıyor. Buradan yerleşim seçeneklerinin P_30=30 olabileceği ortaya çıkıyor!.
Örneğin çözümü
kombinasyon numarası formülü
Şimdi kombinatorikteki üçüncü problemin bir varyantını ele alacağız. Tamamen aynı otuz kitap arasından seçim yapman şartıyla, on beş kitap düzenlemenin kaç yolu olduğunu bulman gerekiyor.
Çözüm için elbette kombinasyon sayısı formülü uygulanacaktır. Koşuldan, aynı on beş kitabın sırasının önemli olmadığı açıkça ortaya çıkıyor. Bu nedenle, başlangıçta on beş kitaptan otuz kitabın toplam kombinasyon sayısını bulmanız gerekir.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: onbeş !=155 117 520
İşte bu. Bu formülü kullanarak, mümkün olan en kısa sürede mümkün olduböyle bir sorunu çöz, cevap sırasıyla 155 117 520'dir.
Örneğin çözümü. Olasılığın klasik tanımı
Yukarıdaki formül ile basit bir sorunun cevabını bulabilirsiniz. Ancak eylemlerin seyrini görsel olarak görmenize ve takip etmenize yardımcı olacaktır.
Bir kavanozda on kesinlikle aynı top olduğu problemde verilmiştir. Bunlardan dördü sarı, altısı mavidir. Vazodan bir top alınır. Mavi olma olasılığını bulman gerekiyor.
Problemi çözmek için, mavi topu almayı A olayı olarak belirlemek gerekir. Bu deneyimin on sonucu olabilir, bu da sırasıyla temel ve eşit derecede olasıdır. Aynı zamanda, on üzerinden altısı A olayı için uygundur. Şu formüle göre çözeriz:
P(A)=6: 10=0, 6
Bu formülü uygulayarak mavi topun gelme olasılığının 0,6 olduğunu öğrendik.
Örneğin çözümü. Olayların toplamının olasılığı
Şimdi olayların toplamının olasılığı formülü kullanılarak çözülen bir değişken sunulacak. Yani, iki kutu olması koşuluyla, ilki bir gri ve beş beyaz top içerir ve ikincisi sekiz gri ve dört beyaz top içerir. Sonuç olarak, bunlardan biri birinci ve ikinci kutulardan alındı. Alacağınız topların gri ve beyaz olma olasılığının ne olduğunu bulmanız gerekiyor.
Bu sorunu çözmek için olayları etiketlemeniz gerekir.
- Öyleyse, A - ilk kutudan gri bir top alın: P(A)=1/6.
- A' – ilk kutudan da beyaz bir top alın: P(A')=5/6.
- B – gri top zaten ikinci kutudan çıkarıldı: P(B)=2/3.
- B' – ikinci kutudan gri bir top alın: P(B')=1/3.
Sorunun durumuna göre, olaylardan biri gerçekleşmelidir: AB' veya A'B. Formülü kullanarak şunu elde ederiz: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Şimdi olasılık çarpma formülü kullanıldı. Ardından, cevabı bulmak için, bunların eklenmesi için denklemi uygulamanız gerekir:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Bu formülü kullanarak benzer sorunları bu şekilde çözebilirsiniz.
Sonuç
Makalede, bir olayın olasılığının çok önemli bir rol oynadığı "Olasılık Teorisi" hakkında bilgi verildi. Tabii ki, her şey dikkate alınmadı, ancak sunulan metne dayanarak, matematiğin bu bölümü hakkında teorik olarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Söz konusu bilim sadece profesyonel işlerde değil, günlük hayatta da faydalı olabilir. Onun yardımıyla, herhangi bir olayın olasılığını hesaplayabilirsiniz.
Metinde ayrıca bir bilim olarak olasılık teorisinin oluşum tarihindeki önemli tarihlere ve buna emeği geçen kişilerin isimlerine de değinildi. İnsan merakı, insanların rastgele olayları bile hesaplamayı öğrenmesine bu şekilde yol açtı. Bir zamanlar sadece onunla ilgileniyorlardı, ama bugün herkes bunu zaten biliyor. Ve hiç kimse gelecekte bizi neyin beklediğini, söz konusu teoriyle ilgili başka hangi parlak keşiflerin yapılacağını söylemeyecek. Ancak kesin olan bir şey var - araştırma durmuyor!
