"Olasılık teorisi" kavramıyla karşı karşıya kalan birçok kişi, bunun çok karmaşık, çok zor bir şey olduğunu düşünerek korkar. Ama aslında o kadar da trajik değil. Bugün olasılık teorisinin temel kavramını ele alacağız, belirli örnekler kullanarak problemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.
Bilim
"Olasılık teorisi" gibi bir matematik dalı neyi inceler? Rastgele olayların ve miktarların kalıplarını not eder. Bilim adamları ilk kez, kumar okuduklarında on sekizinci yüzyılda bu konuyla ilgilenmeye başladılar. Olasılık teorisinin temel kavramı bir olaydır. Tecrübe veya gözlemle tespit edilen herhangi bir gerçektir. Ama deneyim nedir? Olasılık teorisinin bir diğer temel kavramı. Bu, koşulların bu bileşiminin tesadüfen değil, belirli bir amaç için yaratıldığı anlamına gelir. Gözleme gelince, burada araştırmacının kendisi deneye katılmaz, sadece bu olaylara tanıktır, olan biteni hiçbir şekilde etkilemez.
Olaylar
Olasılık teorisinin temel kavramının bir olay olduğunu öğrendik ama sınıflandırmayı dikkate almadık. Hepsi aşağıdaki kategorilere ayrılmıştır:
- Güvenilir.
- İmkansız.
- Rastgele.
Önemli değildeneyim sürecinde ne tür olaylar gözlemlenir veya oluşturulursa hepsi bu sınıflandırmaya tabidir. Her türü ayrı ayrı tanımayı teklif ediyoruz.
Belirli bir olay
Bu, daha önce gerekli önlemlerin alındığı bir durumdur. Özü daha iyi anlamak için birkaç örnek vermekte fayda var. Fizik, kimya, ekonomi ve yüksek matematik bu yasaya tabidir. Olasılık teorisi, belirli bir olay gibi önemli bir kavramı içerir. İşte bazı örnekler:
- Çalışıyoruz ve ücret şeklinde ücret alıyoruz.
- Sınavları iyi geçtik, yarışmayı geçtik, bunun için bir eğitim kurumuna kabul şeklinde bir ödül alıyoruz.
- Bankaya para yatırdık, gerekirse geri alırız.
Bu tür olaylar güvenilirdir. Gerekli tüm şartları yerine getirdiysek, o zaman kesinlikle beklenen sonucu alacağız.
İmkansız olaylar
Şimdi olasılık teorisinin unsurlarını ele alıyoruz. Bir sonraki olay türünün, yani imkansızın bir açıklamasına geçmeyi öneriyoruz. İlk olarak, en önemli kuralı belirleyelim - imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Problemleri çözerken bu ifadeden sapamazsınız. Açıklığa kavuşturmak için, işte bu tür olaylara örnekler:
- Su artı onda dondu (bu imkansız).
- Elektrik eksikliği üretimi hiçbir şekilde etkilemez (önceki örnekte olduğu gibi imkansız).
Daha fazla örnekYukarıda açıklananlar bu kategorinin özünü çok açık bir şekilde yansıttığı için alıntı yapmaya değmez. İmkansız olay hiçbir koşulda deneyim sırasında asla gerçekleşmeyecektir.
Rastgele olaylar
Olasılık teorisinin öğelerini incelerken, bu özel olay türüne özel dikkat gösterilmelidir. Bilimin çalıştığı şey budur. Deneyimin bir sonucu olarak, bir şey olabilir veya olmayabilir. Ayrıca test sınırsız sayıda tekrar edilebilir. Canlı örnekler:
- Yazı tura atmak bir deneyim veya testtir, başlık atmak bir olaydır.
- Bir torbadan körü körüne top çıkarmak bir testtir, kırmızı bir topun yakalanması bir olaydır ve böyle devam eder.
Sınırsız sayıda bu tür örnekler olabilir, ancak genel olarak öz açık olmalıdır. Olaylar hakkında kazanılan bilgileri özetlemek ve sistematize etmek için bir tablo verilir. Olasılık teorisi, sunulanların yalnızca son türünü inceler.
| başlık | tanım | örnek |
| Güvenilir | Belirli koşullar altında %100 garanti ile gerçekleşen olaylar. | İyi bir giriş sınavı olan bir eğitim kurumuna giriş. |
| İmkansız | Hiçbir koşulda asla olmayacak olaylar. | Artı otuz santigrat derece sıcaklıkta kar yağıyor. |
| Rastgele | Bir deney/test sırasında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olay. | Basketbol topunu çembere atarken vur veya ıskala. |
Yasalar
Olasılık teorisi, bir olayın meydana gelme olasılığını inceleyen bir bilimdir. Diğerleri gibi onun da bazı kuralları var. Olasılık teorisinin aşağıdaki yasaları vardır:
- Rastgele değişken dizilerinin yakınsaması.
- Büyük sayılar yasası.
Bir kompleksin olasılığını hesaplarken, sonuca daha kolay ve daha hızlı bir şekilde ulaşmak için basit olaylardan oluşan bir kompleks kullanabilirsiniz. Olasılık teorisinin yasalarının bazı teoremlerin yardımıyla kolayca kanıtlanabileceğini unutmayın. İlk yasayla başlayalım.
Rastgele değişken dizilerinin yakınsaması
Birkaç yakınsama türü olduğunu unutmayın:
- Rastgele değişkenlerin sırası olasılıkla yakınsar.
- Neredeyse imkansız.
- RMS yakınsama.
- Dağıtımda yakınsama.
Yani, anında, dibine ulaşmak çok zor. İşte bu konuyu anlamanıza yardımcı olacak bazı tanımlar. İlk bakışla başlayalım. Aşağıdaki koşul karşılanıyorsa, bir dizi yakınsak olarak adlandırılır: n sonsuzluğa eğilimlidir, dizinin yöneldiği sayı sıfırdan büyük ve bire yakındır.
Bir sonraki görünüme geçmek, neredeyse kesin. öyle diyorlardizi, n'nin sonsuza ve P'nin bire yakın bir değere eğilimli olduğu rastgele bir değişkene neredeyse kesin olarak yakınsar.
Bir sonraki tür, kök-ortalama-kare yakınsamadır. SC-yakınsama kullanılırken, vektör rasgele süreçlerin incelenmesi, onların koordinat rasgele süreçlerinin çalışmasına indirgenir.
Son tip kaldı, doğrudan problem çözmeye geçmek için kısaca bir göz atalım. Dağıtım yakınsamasının başka bir adı var - “zayıf”, nedenini aşağıda açıklayacağız. Zayıf yakınsama, limit dağılım fonksiyonunun tüm süreklilik noktalarında dağıtım fonksiyonlarının yakınsamasıdır.
Sözü yerine getirdiğinizden emin olun: zayıf yakınsama, rastgele değişkenin olasılık uzayında tanımlanmaması nedeniyle yukarıdakilerin hepsinden farklıdır. Koşul yalnızca dağıtım işlevleri kullanılarak oluşturulduğu için bu mümkündür.
Büyük sayılar yasası
Bu yasayı kanıtlamada mükemmel yardımcılar, olasılık teorisinin teoremleri olacaktır, örneğin:
- Chebyshev'in eşitsizliği.
- Chebyshev teoremi.
- Genelleştirilmiş Chebyshev teoremi.
- Markov teoremi.
Tüm bu teoremleri göz önünde bulundurursak, bu soru birkaç düzine sayfa uzayabilir. Ana görevimiz olasılık teorisini pratikte uygulamaktır. Sizi hemen şimdi bunu yapmaya davet ediyoruz. Ama ondan önce, olasılık teorisinin aksiyomlarını ele alalım, problem çözmede ana yardımcılar olacaklar.
Aksiyomlar
İmkansız olaydan bahsettiğimizde ilkiyle zaten tanışmıştık. Unutmayalım: imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. Çok canlı ve akılda kalıcı bir örnek verdik: Otuz derecelik bir hava sıcaklığında kar yağdı.
İkincisi kulağa şöyle geliyor: Olasılığı bire eşit olan güvenilir bir olay meydana geliyor. Şimdi matematiksel dili kullanarak nasıl yazılacağını gösterelim: P(B)=1.
Üçüncü: Rastgele bir olay meydana gelebilir veya gelmeyebilir, ancak olasılık her zaman sıfırdan bire kadar değişir. Değer bire ne kadar yakınsa, şans o kadar fazladır; değer sıfıra yaklaşırsa, olasılık çok düşüktür. Bunu matematik dilinde yazalım: 0<Р(С)<1.
Şuna benzeyen son, dördüncü aksiyomu ele alalım: İki olayın toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir. Matematik dilinde yazıyoruz: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Olasılık teorisinin aksiyomları, hatırlaması kolay en basit kurallardır. Halihazırda kazanılan bilgilere dayanarak bazı problemleri çözmeye çalışalım.
Piyango bileti
Önce, en basit örneği ele alalım - piyango. İyi şanslar için bir piyango bileti aldığınızı düşünün. En az yirmi ruble kazanma olasılığınız nedir? Toplamda, biri beş yüz ruble, on yüz ruble, elli yirmi ruble ve yüz beş olmak üzere tirajlara bin bilet katılır. Olasılık teorisindeki problemler, olasılığı bulmaya dayanır.iyi şanslar. Şimdi birlikte yukarıda sunulan görevin çözümünü analiz edeceğiz.
A harfi ile beş yüz rublelik bir kazancı gösterirsek, A gelme olasılığı 0,001 olacaktır. Nasıl elde ettik? "Şanslı" biletlerin sayısını toplam sayısına bölmeniz yeterlidir (bu durumda: 1/1000).
B, yüz rublelik bir kazançtır, olasılık 0,01 olacaktır. Şimdi önceki eylemde (10/1000)
ile aynı prensibe göre hareket ettik.
C - kazançlar yirmi rubleye eşittir. 0,05'e eşit olasılığı bulun.
Ödül fonları koşulda belirtilenden daha az olduğu için biletlerin geri kalanı bizi ilgilendirmiyor. Dördüncü aksiyomu uygulayalım: En az yirmi ruble kazanma olasılığı P(A)+P(B)+P(C)'dir. P harfi, bu olayın meydana gelme olasılığını belirtir, bunları önceki adımlarda zaten bulduk. Sadece gerekli verileri eklemek için kalır, cevapta 0, 061 alırız. Bu sayı ödev sorusunun cevabı olacaktır.
Kart destesi
Olasılık teorisi problemleri daha karmaşık olabilir, örneğin aşağıdaki görevi üstlenin. Önünüzde otuz altı kartlık bir deste var. Görevin, yığını karıştırmadan arka arkaya iki kart çekmek, birinci ve ikinci kartlar as olmalı, rengin önemi yok.
İlk olarak, ilk kartın bir as olma olasılığını bulalım, bunun için dördü otuz altıya böleriz. Bir kenara koydular. İkinci kartı çıkarıyoruz, bu, otuz beşinci üç olasılığa sahip bir as olacak. İkinci olayın olasılığı, ilk hangi kartı çektiğimize, ilgilendiğimize bağlıdır. As mıydı, değil miydi? B olayının A olayına bağlı olduğu sonucu çıkar.
Bir sonraki adım, eşzamanlı uygulama olasılığını bulmaktır, yani, A ve B'yi çarparız. Çarpımları şu şekilde bulunur: bir olayın olasılığı, hesapladığımız diğerinin koşullu olasılığı ile çarpılır., ilk olayın gerçekleştiğini varsayarak, yani ilk kartla bir as çektik.
Her şeyi açıklığa kavuşturmak için, bir olayın koşullu olasılığı gibi bir öğeye bir atama yapalım. A olayının meydana geldiği varsayılarak hesaplanır. Şu şekilde hesaplanır: P(B/A).
Sorunumuzu çözmeye devam edin: P(AB)=P(A)P(B/A) veya P (AB)=P(B)P(A/B). Olasılık (4/36)((3/35)/(4/36). Yüzdelere yuvarlayarak hesaplayın. Elimizde: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Arka arkaya iki as çekme olasılığımız yüzde dokuzdur Değer çok küçüktür, olayın meydana gelme olasılığının son derece küçük olduğunu takip eder.
Unutulan numara
Olasılık teorisi tarafından incelenen görevler için birkaç seçeneği daha analiz etmeyi öneriyoruz. Bu makalede bunlardan bazılarını çözmenin örneklerini zaten gördünüz, şu sorunu çözmeye çalışalım: çocuk arkadaşının telefon numarasının son rakamını unuttu, ancak arama çok önemli olduğu için sırayla her şeyi aramaya başladı. Üç kereden fazla aramama olasılığını hesaplamamız gerekiyor. Olasılık teorisinin kuralları, yasaları ve aksiyomları biliniyorsa sorunun çözümü en basitidir.
İzlemeden önceçözüm, kendin çözmeye çalış. Son basamağın sıfırdan dokuza kadar olabileceğini biliyoruz, yani toplamda on değer var. Doğru olanı bulma olasılığı 1/10'dur.
Ardından, olayın kökeni için seçenekleri göz önünde bulundurmalıyız, çocuğun doğru tahmin ettiğini ve hemen doğru olanı puanladığını varsayalım, böyle bir olayın olasılığı 1/10. İkinci seçenek: ilk arama cevapsız, ikincisi hedefte. Böyle bir olayın olasılığını hesaplıyoruz: 9/10'u 1/9 ile çarpın, sonuç olarak 1/10 elde ederiz. Üçüncü seçenek: birinci ve ikinci aramaların yanlış adreste olduğu ortaya çıktı, sadece üçüncü çocuktan istediği yere geldi. Böyle bir olayın olasılığını hesaplıyoruz: 9/10 ile 8/9 ve 1/8 ile çarpıyoruz, sonuç olarak 1/10 elde ediyoruz. Sorunun durumuna göre, diğer seçeneklerle ilgilenmiyoruz, bu yüzden sonuçları toplamak bize kalıyor, sonuç olarak 3/10'umuz var. Cevap: Çocuğun üç defadan fazla aramama olasılığı 0,3'tür.
Sayılı kartlar
Önünüzde dokuz kart var, her birinde birden dokuza kadar bir sayı yazılı, sayılar tekrarlanmıyor. Bir kutuya yerleştirildiler ve iyice karıştırıldılar.
olasılığını hesaplamanız gerekir.
- çift sayı gelecek;
- iki basamaklı.
Çözüme geçmeden önce, m'nin başarılı durum sayısı ve n'nin toplam seçenek sayısı olduğunu belirtelim. Sayının çift olma olasılığını bulunuz. Dört çift sayı olduğunu hesaplamak zor olmayacak, bu bizim m olacak, toplamda dokuz seçenek var, yani m=9. O zaman olasılık0, 44 veya 4/9'a eşittir.
İkinci durumu ele alalım: seçeneklerin sayısı dokuzdur ve hiçbir başarılı sonuç olamaz, yani m sıfıra eşittir. Çekilen kartın iki basamaklı bir sayı içerme olasılığı da sıfırdır.
