Rastgele değişkenlerin ve değişkenlerinin dağılım fonksiyonlarını bulmak için bu bilgi alanının tüm özelliklerini incelemek gerekir. Bir değişkeni değiştirmek ve bir an oluşturmak da dahil olmak üzere, söz konusu değerleri bulmak için birkaç farklı yöntem vardır. Dağılım, dağılım, varyasyon gibi unsurlara dayalı bir kavramdır. Ancak, yalnızca saçılma genliğinin derecesini karakterize ederler.
Rastgele değişkenlerin daha önemli işlevleri, ilişkili, bağımsız ve eşit olarak dağıtılmış olanlardır. Örneğin, X1 bir erkek popülasyondan rastgele seçilen bir bireyin ağırlığı ise, X2 bir diğerinin ağırlığı ise, … ve Xn erkek popülasyondan bir kişinin daha ağırlığı ise, o zaman rastgele fonksiyonun nasıl olduğunu bilmemiz gerekir. X dağıtılır. Bu durumda merkezi limit teoremi olarak adlandırılan klasik teorem geçerlidir. Büyük n için fonksiyonun standart dağılımları takip ettiğini göstermenizi sağlar.
Bir rastgele değişkenin fonksiyonları
Merkezi Limit Teoremi, binom ve Poisson gibi dikkate alınan ayrık değerlerin yaklaştırılması içindir. Rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları, her şeyden önce, bir değişkenin basit değerleri üzerinde düşünülür. Örneğin, X, kendi olasılık dağılımına sahip sürekli bir rastgele değişken ise. Bu durumda, dağılım fonksiyonu yöntemi ve değişkendeki değişim olmak üzere iki farklı yaklaşım kullanarak Y'nin yoğunluk fonksiyonunu nasıl bulacağımızı araştırıyoruz. İlk olarak, sadece bire bir değerler dikkate alınır. Ardından, olasılığını bulmak için değişkeni değiştirme tekniğini değiştirmeniz gerekir. Son olarak, ters kümülatif dağılım fonksiyonunun belirli sıralı modelleri izleyen rastgele sayıları modellemeye nasıl yardımcı olabileceğini öğrenmemiz gerekiyor.
Değerlendirilen değerlerin dağıtım yöntemi
Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu yöntemi, yoğunluğunu bulmak için uygulanabilir. Bu yöntemi kullanırken, kümülatif bir değer hesaplanır. Ardından, türevini alarak olasılık yoğunluğunu elde edebilirsiniz. Artık dağıtım işlevi yöntemine sahip olduğumuza göre, birkaç örneğe daha bakabiliriz. X, belirli bir olasılık yoğunluğuna sahip sürekli bir rastgele değişken olsun.
x2'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu nedir? (Üst ve sağ) y \u003d x2 işlevine bakarsanız veya grafiğini çizerseniz, bunun artan bir X ve 0 <y<1 olduğunu not edebilirsiniz. Şimdi Y'yi bulmak için dikkate alınan yöntemi kullanmanız gerekiyor. İlk olarak, kümülatif dağılım fonksiyonu bulunur, olasılık yoğunluğunu elde etmek için türevlendirmeniz yeterlidir. Bunu yaparak şunu elde ederiz: 0<y<1. Y, X'in artan bir fonksiyonu olduğunda Y'yi bulmak için dağıtım yöntemi başarıyla uygulandı. Bu arada, f(y) 1 bölü y'ye entegre olur.
Son örnekte, hangi rastgele değişkene ait olduklarını belirtmek için kümülatif fonksiyonları ve olasılık yoğunluğunu X veya Y ile endekslemek için büyük özen gösterildi. Örneğin, Y'nin kümülatif dağılım fonksiyonunu bulurken, X elde ettik. Bir rastgele değişken X ve yoğunluğunu bulmanız gerekiyorsa, o zaman sadece onu türevlendirmeniz gerekir.
Değişken Değiştirme Tekniği
X, ortak paydası f (x) olan bir dağılım fonksiyonu tarafından verilen sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda, y değerini X=v (Y) içine koyarsanız, x değerini elde edersiniz, örneğin v (y). Şimdi, sürekli bir rastgele değişken Y'nin dağılım fonksiyonunu elde etmemiz gerekiyor. Birinci ve ikinci eşitliğin kümülatif Y tanımından gerçekleştiği yerde. Üçüncü eşitlik geçerlidir, çünkü fonksiyonun u (X) ≦ y'nin olduğu kısmıdır. X ≦ v (Y) için de doğrudur. Ve sonuncusu, sürekli bir rastgele değişken X'teki olasılığı belirlemek için yapılır. Şimdi, Y olasılık yoğunluğunu elde etmek için Y'nin kümülatif dağılım fonksiyonu olan FY (y)'nin türevini almamız gerekiyor.
Düşürme işlevi için genelleştirme
X, c1<x<c2 üzerinde tanımlanan ortak f (x) ile sürekli bir rastgele değişken olsun. Ve Y=u (X), X'in ters X=v (Y) ile azalan bir fonksiyonu olsun. Fonksiyon sürekli ve azalan olduğundan, ters bir X=v (Y) fonksiyonu vardır.
Bu sorunu çözmek için nicel veriler toplayabilir ve ampirik kümülatif dağıtım işlevini kullanabilirsiniz. Bu bilgilerle ve buna çekici olarak, ortalama örnekleri, standart sapmaları, medya verilerini vb. birleştirmeniz gerekir.
Benzer şekilde, oldukça basit bir olasılık modeli bile çok sayıda sonuca sahip olabilir. Örneğin, 332 kez yazı tura atarsanız. O zaman çevirmelerden elde edilen sonuçların sayısı google'ınkinden (10100) daha fazladır - bir sayı, ancak bilinen evrendeki temel parçacıklardan 100 kentilyon kattan daha az değildir. Olası her sonuca cevap veren bir analizle ilgilenmiyorum. Kafa sayısı veya kuyrukların en uzun vuruşu gibi daha basit bir konsepte ihtiyaç duyulacaktır. İlgilenilen konulara odaklanmak için belirli bir sonuç kabul edilir. Bu durumda tanım şu şekildedir: rasgele değişken, olasılık uzayı olan gerçek bir fonksiyondur.
Rastgele bir değişkenin S aralığına bazen durum uzayı denir. Dolayısıyla, söz konusu değer X ise, bu durumda N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, vb. Bunların sonuncusu, X'i en yakın tam sayıya yuvarlama, kat fonksiyonu olarak adlandırılır.
Dağıtım işlevleri
Bir rasgele değişken x için ilgilenilen dağılım fonksiyonu belirlendikten sonra, soru genellikle şu olur: "X'in B değerlerinin bir alt kümesine düşme olasılığı nedir?". Örneğin, X içeren sonuçları belirtmek için B={tek sayılar}, B={1'den büyük} veya B={2 ile 7 arasında}, değerA alt kümesindeki rastgele değişken. Bu nedenle, yukarıdaki örnekte olayları aşağıdaki gibi tanımlayabilirsiniz.
{X tek sayıdır}, {X 1'den büyüktür}={X> 1}, {X 2 ile 7 arasındadır}={2 <X <7} altküme B için yukarıdaki üç seçeneği eşleştirmek için. Rastgele niceliklerin birçok özelliği belirli bir X ile ilgili değildir. Bunun yerine, X'in değerlerini nasıl tahsis ettiğine bağlıdırlar. Bu, kulağa şöyle gelen bir tanıma yol açar: x rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu birikimlidir ve nicel gözlemlerle belirlenir.
Rastgele değişkenler ve dağıtım işlevleri
Böylece rastgele bir değişken x'in dağılım fonksiyonunun çıkarma ile aralıkta değerler alma olasılığını hesaplayabilirsiniz. Uç noktaları dahil etmeyi veya hariç tutmayı düşünün.
Sonlu veya sayılabilir sonsuz bir durum uzayına sahipse, rastgele bir değişkeni ayrık olarak adlandıracağız. Bu nedenle, X, p olasılığı ile artan taraflı bir madeni paranın üç bağımsız atışındaki tura sayısıdır. X için ayrı bir rastgele değişken FX'in kümülatif dağılım fonksiyonunu bulmamız gerekiyor. X, üç kartlık bir koleksiyondaki tepe sayısı olsun. Sonra FX yoluyla Y=X3. FX 0'da başlar, 1'de biter ve x değerleri arttıkça azalmaz. Kesikli bir rasgele değişken X'in kümülatif FX dağılım fonksiyonu, atlamalar dışında sabittir. Zıplarken FX süreklidir. Doğru ile ilgili ifadeyi kanıtlayınolasılık özelliğinden dağılım fonksiyonunun sürekliliği tanımı kullanılarak mümkündür. Kulağa şöyle geliyor: Sabit bir rastgele değişken, türevlenebilir bir birikimli FX'e sahiptir.
Bunun nasıl olabileceğini göstermek için bir örnek verebiliriz: birim yarıçaplı bir hedef. Muhtemelen. dart belirtilen alana eşit olarak dağıtılır. Bazı λ> 0 için. Böylece, sürekli rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları düzgün bir şekilde artar. FX, bir dağıtım işlevinin özelliklerine sahiptir.
Bir adam otobüs gelene kadar otobüs durağında bekler. Bekleme 20 dakikaya ulaştığında reddedeceğine kendisi karar verdi. Burada T için kümülatif dağılım fonksiyonunu bulmak gerekir. Bir kişinin hala otogarda olacağı veya gitmeyeceği zaman. Her rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu tanımlanmış olmasına rağmen. Yine de, diğer özellikler oldukça sık kullanılacaktır: ayrık bir değişkenin kütlesi ve rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluk fonksiyonu. Genellikle değer, bu iki değerden biri aracılığıyla verilir.
Kütle fonksiyonları
Bu değerler, genel (kütle) karaktere sahip olan aşağıdaki özelliklere göre değerlendirilir. Birincisi, olasılıkların negatif olmadığı gerçeğine dayanmaktadır. İkincisi, tüm x=2S için kümenin, X için durum uzayının, X'in olasılıksal özgürlüğünün bir bölümünü oluşturduğu gözleminden çıkar. Örnek: sonuçları bağımsız olan taraflı bir madeni parayı atmak. yapmaya devam edebilirsinkafaları toplayana kadar belirli eylemler. X, ilk başın önündeki kuyruk sayısını veren rastgele bir değişkeni göstersin. Ve p, verilen herhangi bir eylemdeki olasılığı belirtir.
Yani, kütle olasılık fonksiyonu aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir. Terimler sayısal bir dizi oluşturduğundan, X'e geometrik rastgele değişken denir. Geometrik şema c, cr, cr2,.,,, crn'nin bir toplamı var. Bu nedenle, sn'nin n 1 gibi bir limiti vardır. Bu durumda, sonsuz toplam limittir.
Yukarıdaki kütle fonksiyonu, oranı olan bir geometrik dizi oluşturur. Bu nedenle, a ve b doğal sayıları. Dağılım fonksiyonundaki değerlerin farkı kütle fonksiyonunun değerine eşittir.
İncelenen yoğunluk değerlerinin bir tanımı vardır: X, FX dağılımının türevi olan rastgele bir değişkendir. Z'yi karşılayan FX xFX (x)=fX (t) dt-1 olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. Ve X'e sürekli rastgele değişken denir. Kalkülüsün temel teoreminde yoğunluk fonksiyonu dağılımın türevidir. Belirli integralleri hesaplayarak olasılıkları hesaplayabilirsiniz.
Veriler birden fazla gözlemden toplandığından, deneysel prosedürleri modellemek için aynı anda birden fazla rastgele değişken dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, bu değerlerin kümesi ve bunların iki değişken X1 ve X2 için ortak dağılımı, olayları görüntüleme anlamına gelir. Kesikli rastgele değişkenler için birleşik olasılıksal kütle fonksiyonları tanımlanır. Sürekli olanlar için fX1, X2 dikkate alınır, buradaortak olasılık yoğunluğu karşılandı.
Bağımsız rastgele değişkenler
İki rastgele değişken X1 ve X2, kendileriyle ilişkili herhangi iki olay aynıysa bağımsızdır. Başka bir deyişle, {X1 2 B1} ve {X2 2 B2} olaylarının aynı anda meydana gelme olasılığı, y, yukarıdaki değişkenlerin her birinin ayrı ayrı meydana gelmesine eşittir. Bağımsız ayrık rastgele değişkenler için, sınırlayıcı iyon hacminin ürünü olan birleşik bir olasılıksal kütle fonksiyonu vardır. Bağımsız olan sürekli rastgele değişkenler için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunluk değerlerinin ürünüdür. Son olarak, x1, x2, n bağımsız gözlemi ele alıyoruz.,,, bilinmeyen bir yoğunluk veya kütle fonksiyonundan kaynaklanan xn f. Örneğin, bir veriyolu için bekleme süresini tanımlayan üstel rastgele değişken için fonksiyonlarda bilinmeyen bir parametre.
Rastgele değişkenlerin taklidi
Bu teorik alanın temel amacı, sağlam istatistiksel bilim ilkelerine dayalı çıkarım prosedürleri geliştirmek için gerekli araçları sağlamaktır. Bu nedenle, yazılım için çok önemli bir kullanım durumu, gerçek bilgiyi taklit etmek için sözde veri üretme yeteneğidir. Bu, analiz yöntemlerini gerçek veritabanlarında kullanmadan önce test etmeyi ve iyileştirmeyi mümkün kılar. Bu, verilerin özelliklerini aşağıdakiler aracılığıyla keşfetmek için gereklidir:modelleme. Yaygın olarak kullanılan birçok rastgele değişken ailesi için R, bunları oluşturmak için komutlar sağlar. Diğer durumlar için, ortak bir dağılıma sahip bir dizi bağımsız rastgele değişken modelleme yöntemlerine ihtiyaç duyulacaktır.
Ayrık rasgele değişkenler ve Komut modeli. Sample komutu, basit ve tabakalı rastgele örnekler oluşturmak için kullanılır. Sonuç olarak, bir x dizisi girilirse, sample(x, 40), x'ten 40 kayıt seçer, böylece 40 boyutundaki tüm seçimler aynı olasılığa sahip olur. Bu, değiştirmeden getirme için varsayılan R komutunu kullanır. Ayrık rastgele değişkenleri modellemek için de kullanılabilir. Bunu yapmak için, x vektöründe ve f kütle fonksiyonunda bir durum uzayı sağlamanız gerekir. Değiştirilecek çağrı=TRUE, örneklemenin değiştirme ile gerçekleştiğini gösterir. Ardından, ortak kütle fonksiyonu f olan n bağımsız rastgele değişkenin bir örneğini vermek için örnek (x, n, yerine=DOĞRU, prob=f) kullanılır.
1'in temsil edilen en küçük değer ve 4'ün en büyüğü olduğu belirlendi. prob=f komutu atlanırsa, örnek x vektöründeki değerlerden düzgün bir şekilde örneklenecektir. Simülasyonu, çift eşittir işaretine==bakarak verileri oluşturan kütle işlevine göre kontrol edebilirsiniz. Ve x için her olası değeri alan gözlemleri yeniden hesaplamak. Bir tablo yapabilirsiniz. Bunu 1000 için tekrarlayın ve simülasyonu karşılık gelen kütle fonksiyonuyla karşılaştırın.
Olasılık dönüşümünün çizimi
İlku1, u2, rasgele değişkenlerinin homojen dağılım fonksiyonlarını simüle eder.,,, un [0, 1] aralığında. Sayıların yaklaşık %10'u [0, 3, 0, 4] içinde olmalıdır. Bu, gösterilen FX dağılım fonksiyonu ile rastgele bir değişken için [0, 28, 0, 38] aralığındaki simülasyonların %10'una karşılık gelir. Benzer şekilde, rastgele sayıların yaklaşık %10'u [0, 7, 0, 8] aralığında olmalıdır. Bu, dağılım fonksiyonu FX ile rastgele değişkenin [0, 96, 1, 51] aralığındaki %10 simülasyonlara karşılık gelir. X eksenindeki bu değerler FX'ten tersi alınarak elde edilebilir. X, etki alanında her yerde fX yoğunluğu pozitif olan sürekli bir rastgele değişken ise, o zaman dağılım fonksiyonu kesinlikle artıyor. Bu durumda, FX, nicelik işlevi olarak bilinen bir ters FX-1 işlevine sahiptir. FX (x) u sadece x FX-1 (u) olduğunda. Olasılık dönüşümü, U=FX (X) rasgele değişkeninin analizinden gelir.
FX 0 ile 1 arasında bir aralığa sahiptir. 0'ın altında veya 1'in üzerinde olamaz. 0 ile 1 arasındaki u değerleri için, U simüle edilebiliyorsa, FX dağılımına sahip bir rastgele değişken olması gerekir. nicel bir fonksiyon aracılığıyla simüle edilmiştir. u yoğunluğunun 1 içinde değiştiğini görmek için türev alın. Runif komutu ile R'de modellenmiştir. Özdeşliğe olasılıksal dönüşüm denir. Dart tahtası örneğinde nasıl çalıştığını görebilirsiniz. 0 ile 1 arasında X, fonksiyondağılımı u=FX (x)=x2 ve dolayısıyla nicelik fonksiyonu x=FX-1 (u). Dart panelinin merkezinden uzaklığın bağımsız gözlemlerini modellemek ve böylece tek tip rastgele değişkenler U1, U2, oluşturmak mümkündür.,, Ün. Dağıtım işlevi ve deneysel işlev, bir dart tahtası dağılımının 100 simülasyonuna dayanmaktadır. Üstel bir rastgele değişken için, muhtemelen u=FX (x)=1 - exp (- x) ve dolayısıyla x=- 1 ln (1 - u). Bazen mantık eşdeğer ifadelerden oluşur. Bu durumda, argümanın iki bölümünü birleştirmeniz gerekir. Kesişme kimliği, bir değer yerine tüm 2 {S i i} S için benzerdir. Ci birliği, S durum uzayına eşittir ve her bir çift birbirini dışlar. Bi - üç aksiyoma ayrıldığından beri. Her kontrol, karşılık gelen olasılık P'ye dayalıdır. Herhangi bir alt küme için. Yanıtın aralık uç noktalarının dahil edilip edilmediğine bağlı olmadığından emin olmak için bir kimlik kullanmak.
Üslü fonksiyon ve değişkenleri
Tüm olaylardaki her sonuç için, en sonunda, aksiyomatik olarak kabul edilen olasılıkların sürekliliğinin ikinci özelliği kullanılır. Buradaki rastgele bir değişkenin fonksiyonunun dağılım yasası, her birinin kendi çözümüne ve cevabına sahip olduğunu gösterir.
