Bir koninin alanı için formülün türetilmesi. Sorun çözümü örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Uzamsal figürlerin özelliklerinin incelenmesi, pratik problemlerin çözümünde önemli bir rol oynar. Uzaydaki rakamlarla ilgilenen bilime stereometri denir. Bu yazıda katı geometri açısından bir koniyi ele alacağız ve bir koninin alanının nasıl bulunacağını göstereceğiz.

Yuvarlak tabanlı koni

Genel durumda, bir koni, tüm noktaları uzayda bir nokta ile parçalarla bağlanan bir düzlem eğrisi üzerine inşa edilmiş bir yüzeydir. İkincisine koninin tepe noktası denir.

Yukarıdaki tanımdan, bir eğrinin parabolik, hiperbolik, eliptik vb. gibi keyfi bir şekle sahip olabileceği açıktır. Bununla birlikte, pratikte ve geometrideki problemlerde, sıklıkla karşılaşılan yuvarlak bir konidir. Aşağıdaki resimde gösterilmiştir.

Burada r sembolü şeklin tabanında bulunan dairenin yarıçapını, h şeklin üstünden çizilen dairenin düzlemine dik olan dairenin yarıçapını gösterir. Yükseklik denir. s değeri, koninin generatrisi veya onun generatrisidir.

r, h ve s segmentlerininbir dik üçgen oluşturun. h ayağı etrafında döndürülürse, hipotenüs s konik yüzeyi tanımlayacaktır ve r ayağı şeklin yuvarlak tabanını oluşturur. Bu nedenle koni bir devrim figürü olarak kabul edilir. Adlandırılmış üç doğrusal parametre, eşitlikle birbirine bağlıdır:

s²=r²+ h²

Verilen eşitliğin yalnızca yuvarlak düz bir koni için geçerli olduğuna dikkat edin. Düz bir şekil, yalnızca yüksekliği tam olarak taban çemberinin merkezine düşerse oluşur. Bu koşul karşılanmazsa, şekle eğik denir. Düz ve eğik koniler arasındaki fark aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şekil geliştirme

Bir koninin yüzey alanını incelemek, bir düzlemde düşünüldüğünde yapılması uygundur. Figürlerin yüzeyini uzayda temsil etmenin bu yoluna onların gelişimi denir. Bir koni için bu gelişme şu şekilde elde edilebilir: örneğin kağıttan yapılmış bir figür almanız gerekir. Ardından, yuvarlak tabanı çevre çevresinden makasla kesin. Bundan sonra, generatrix boyunca konik yüzeyden bir kesim yapın ve onu bir düzleme çevirin. Bu basit işlemlerin sonucu, aşağıdaki şekilde gösterilen koninin gelişimi olacaktır.

Gördüğünüz gibi, bir koninin yüzeyi gerçekten de bir düzlemde temsil edilebilir. Aşağıdaki iki bölümden oluşur:

• şeklin tabanını temsil eden r yarıçaplı daire;
• konik bir yüzey olan yarıçapı g olan dairesel sektör.

Bir koninin alan formülü, her iki katlanmamış yüzeyin alanlarını bulmayı içerir.

Bir şeklin yüzey alanını hesaplayın

Görevi iki aşamaya ayıralım. Önce koninin taban alanını, ardından konik yüzeyin alanını buluyoruz.

Problemin ilk kısmının çözülmesi kolaydır. Yarıçap r verildiğinden, taban alanını hesaplamak için bir dairenin alanına karşılık gelen ifadeyi hatırlamak yeterlidir. Yazalım:

S_o=pi × r²

Yarıçap bilinmiyorsa, önce yarıçap, yükseklik ve üreteç arasındaki ilişki formülünü kullanarak onu bulmalısınız.

Bir koninin alanını bulma probleminin ikinci kısmı biraz daha karmaşıktır. Dairesel sektörün, generatrisin g yarıçapı üzerine kurulduğuna ve uzunluğu dairenin çevresine eşit olan bir yay ile sınırlandığına dikkat edin. Bu gerçek, oranı yazmanıza ve dikkate alınan sektörün açısını bulmanızı sağlar. Yunanca φ harfi ile gösterelim. Bu açı şuna eşit olacaktır:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Dairesel bir sektörün merkez açısını φ bilerek, alanını bulmak için uygun oranı kullanabilirsiniz. S_b sembolü ile gösterelim. Şuna eşit olacaktır:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Yani, konik yüzeyin alanı, g generatrisinin, r tabanının yarıçapının ve Pi sayısının çarpımına karşılık gelir.

İkisinin de alanlarının ne olduğunu bilmekYüzeyleri göz önünde bulundurarak, bir koninin alanı için son formülü yazabiliriz:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Yazılı ifade, S'yi hesaplamak için koninin iki doğrusal parametresinin bilgisini varsayar. g veya r bilinmiyorsa, h yüksekliğinden bulunabilirler.

Koninin alanını hesaplama problemi

Yuvarlak düz bir koninin yüksekliğinin çapına eşit olduğu bilinmektedir. Taban alanının 50 cm olduğunu bilerek şeklin alanını hesaplamak gerekir².

Bir dairenin alanını bilerek, şeklin yarıçapını bulabilirsiniz. Bizde:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Şimdi g üretecini h ve r cinsinden bulalım. Koşullara göre, şeklin h yüksekliği iki yarıçap r'ye eşittir, o zaman:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

G ve r için bulunan formüller, koninin tüm alanı için ifadede değiştirilmelidir. Şunu elde ederiz:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Sonuçta S_o tabanının alanını değiştiriyoruz ve cevabı yazıyoruz: S ≈ 161,8 cm².