Bir koninin hacmini belirleme formülü. Sorun çözümü örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Lisede stereometri çalışmasındaki her öğrenci bir koni ile karşılaştı. Bu uzamsal figürün iki önemli özelliği yüzey alanı ve hacimdir. Bu yazımızda yuvarlak bir koninin hacminin nasıl bulunacağını göstereceğiz.

Bir dik üçgenin dönme şekli olarak yuvarlak koni

Makalenin konusuna doğrudan geçmeden önce koniyi geometrik bir bakış açısıyla anlatmak gerekiyor.

Biraz dik üçgen olsun. Bacaklardan herhangi birinin etrafında döndürürseniz, bu eylemin sonucu aşağıdaki şekilde gösterilen istenen şekil olacaktır.

Burada, AB ayağı koninin ekseninin bir parçasıdır ve uzunluğu şeklin yüksekliğine karşılık gelir. İkinci bacak (segment CA) koninin yarıçapı olacaktır. Döndürme sırasında, şeklin tabanını sınırlayan bir daire tanımlayacaktır. BC hipotenüsü, şeklin generatrisi veya onun generatrisi olarak adlandırılır. B noktası koninin tek tepe noktasıdır.

ABC üçgeninin özellikleri göz önüne alındığında, g generatrisi, r yarıçapı ve h yüksekliği arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi yazabiliriz.eşitlik:

g²=h²+ r²

Bu formül, söz konusu şekille ilgili birçok geometrik problemin çözümünde faydalıdır.

Koni hacim formülü

Herhangi bir uzaysal figürün hacmi, bu figürün yüzeyleri ile sınırlanan uzayın alanıdır. Bir koni için böyle iki yüzey vardır:

1. Yanal veya konik. Tüm jeneriklerden oluşur.
2. Vakıf. Bu durumda, bir dairedir.

Bir koninin hacmini belirleme formülünü alın. Bunu yapmak için, zihinsel olarak tabana paralel birçok katmana böldük. Katmanların her biri, sıfıra eğilimli bir dx kalınlığına sahiptir. Şeklin üstünden x mesafesindeki katmanın S_x alanı aşağıdaki ifadeye eşittir:

S_x=pir²x²/h ²

Bu ifadenin geçerliliği, x=0 ve x=h değerlerinin yerine konarak sezgisel olarak doğrulanabilir. İlk durumda sıfıra eşit bir alan elde edeceğiz, ikinci durumda ise yuvarlak tabanın alanına eşit olacaktır.

Koninin hacmini belirlemek için, her katmanın küçük "hacimlerini" toplamanız gerekir, yani integral hesabını kullanmalısınız:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Bu integrali hesaplayarak, yuvarlak bir koni için son formüle ulaşırız:

V=1/3pir²h

Bu formülün rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için kullanılana tamamen benzer olduğunu belirtmek ilginçtir. Bu tesadüf tesadüfi değildir, çünkü herhangi bir piramit, kenarlarının sayısı sonsuza kadar arttığında bir koni haline gelir.

Hacim Hesaplama Problemi

V hacmi için türetilmiş formülün kullanımını gösterecek bir problem çözme örneği vermek yararlıdır.

Taban alanı 37 cm² olan ve şeklin üreteci yarıçapın üç katı olan yuvarlak bir koni verildiğinde. Koninin hacmi nedir?

İki miktar biliyorsak hacim formülünü kullanma hakkımız vardır: h yüksekliği ve r yarıçapı. Problemin durumuna göre bunları belirleyen formülleri bulalım.

Yarıçap r, S_o çemberinin alanı bilinerek hesaplanabilir, elimizde:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Problemin koşulunu kullanarak g:

jeneratörü için eşitliği yazıyoruz

g=3r=3√(S_o/pi)

r ve g formüllerini bilerek, h yüksekliğini hesaplayın:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Gerekli tüm parametreleri bulduk. Şimdi bunları V:

formülüne eklemenin zamanı geldi

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Yer değiştirmek için kalırtaban alanı S_o ve hacim değerini hesaplayın: V=119,75 cm³.