Geometrideki devrim figürlerine, özellikleri ve özellikleri incelenirken özellikle dikkat edilir. Bunlardan biri kesik bir konidir. Bu makale, kesik bir koninin alanını hesaplamak için hangi formülün kullanılabileceği sorusuna cevap vermeyi amaçlamaktadır.
Hangi figürden bahsediyoruz?
Kesilmiş bir koninin alanını tanımlamadan önce, bu şeklin kesin bir geometrik tanımını vermek gerekir. Kesik, sıradan bir koninin tepe noktasının bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edilen böyle bir konidir. Bu tanımda, bir dizi nüans vurgulanmalıdır. İlk olarak, kesit düzlemi, koninin taban düzlemine paralel olmalıdır. İkinci olarak, orijinal şekil dairesel bir koni olmalıdır. Tabii ki, eliptik, hiperbolik ve diğer türde bir şekil olabilir, ancak bu yazıda kendimizi sadece dairesel bir koniyi dikkate almakla sınırlayacağız. Sonuncusu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Yalnızca düzlemle bir kesit yardımı ile değil, aynı zamanda bir döndürme işlemi yardımıyla da elde edilebileceğini tahmin etmek kolaydır. İçinBunu yapmak için, iki dik açısı olan bir yamuk almanız ve bu dik açılara bitişik olan taraf etrafında döndürmeniz gerekir. Sonuç olarak, yamuğun tabanları, kesik koninin tabanlarının yarıçapları olacak ve yamuğun yan eğimli tarafı konik yüzeyi tanımlayacaktır.
Şekil geliştirme
Kesilmiş bir koninin yüzey alanı göz önüne alındığında, gelişimini, yani üç boyutlu bir figürün yüzeyinin görüntüsünü bir düzlemde getirmekte fayda var. Aşağıda, incelenen şeklin rastgele parametrelerle taranmış hali bulunmaktadır.
Şeklin alanının üç bileşenden oluştuğu görülebilir: iki daire ve bir kesik dairesel parça. Açıkça, gerekli alanı belirlemek için, adlandırılmış tüm şekillerin alanlarını toplamak gerekir. Bu sorunu bir sonraki paragrafta çözelim.
Kesilmiş koni alanı
Aşağıdaki mantığı anlamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki gösterimi sunuyoruz:
- r1, r2 - sırasıyla büyük ve küçük tabanların yarıçapları;
- h - rakam yüksekliği;
- g - koninin generatrisi (yamuğun eğik tarafının uzunluğu).
Kesilmiş bir koninin taban alanının hesaplanması kolaydır. Karşılık gelen ifadeleri yazalım:
So1=pir12;
So2=pir22.
Dairesel bir segmentin bir parçasının alanını belirlemek biraz daha zordur. Bu dairesel sektörün merkezinin kesilmediğini hayal edersek, yarıçapı G değerine eşit olacaktır.benzer dik açılı koni üçgenler. Şuna eşittir:
G=r1g/(r1-r2).
O zaman G yarıçapı üzerine inşa edilmiş ve 2pir1 uzunluğundaki bir yaya dayanan tüm dairesel sektörün alanı eşit olacaktır. için:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Şimdi S1'dan çıkarılması gereken küçük dairesel sektör S2'nin alanını belirleyelim. Şuna eşittir:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Konik kesik yüzeyin alanı SbS1 ve S arasındaki farka eşittir 2. Şunu elde ederiz:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Bazı hantal hesaplamalara rağmen, şeklin yan yüzeyinin alanı için oldukça basit bir ifade elde ettik.
Tabanların alanlarını ve Sb toplayarak, kesik koninin alan formülüne ulaşırız:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Bu nedenle, incelenen şeklin S değerini hesaplamak için, onun üç doğrusal parametresini bilmeniz gerekir.
Örnek problem
Dairesel düz koniyarıçapı 10 cm ve yüksekliği 15 cm olan bir düzlemle kesilerek düzgün bir kesik koni elde edildi. Kesilmiş şeklin tabanları arasındaki mesafenin 10 cm olduğunu bilerek, yüzey alanını bulmak gerekir.
Kesilmiş bir koninin alanı için formülü kullanmak için, üç parametresini bulmanız gerekir. Tanıdığımız biri:
r1=10 cm.
Koninin eksenel bölümünün bir sonucu olarak elde edilen benzer dik açılı üçgenleri düşünürsek, diğer ikisini hesaplamak kolaydır. Sorunun durumunu dikkate alarak şunları elde ederiz:
r2=105/15=3,33 cm.
Son olarak, kesik koni g'nin kılavuzu şu şekilde olacaktır:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Artık S: formülünde r1, r2
ve g değerlerini değiştirebilirsiniz
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Şekilin istenilen yüzey alanı yaklaşık 852 cm2.
