Mekansal figürlerin hacmini belirleme yeteneği, geometrik ve pratik problemlerin çözümü için önemlidir. Bu şekillerden biri prizmadır. Makalede ne olduğunu ele alacağız ve eğimli bir prizmanın hacminin nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.
Geometride prizma ne anlama gelir?
Bu, paralel düzlemlerde bulunan iki özdeş tabandan ve işaretli tabanları birbirine bağlayan birkaç paralelkenardan oluşan düzenli bir çokyüzlüdür (çokyüzlü).
Prizma tabanları, üçgen, dörtgen, yedigen vb. gibi rastgele çokgenler olabilir. Ayrıca çokgenin köşe (kenar) sayısı şeklin adını belirler.
N-gon tabanlı herhangi bir prizma (n, kenar sayısıdır) n+2 yüz, 2 × n köşe ve 3 × n kenardan oluşur. Verilen sayılardan prizmanın eleman sayısının Euler teoremine karşılık geldiği görülebilir:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Aşağıdaki resim camdan yapılmış üçgen ve dörtgen prizmaların neye benzediğini gösteriyor.
Figür türleri. Eğik prizma
Bir prizmanın adının çokgenin tabandaki kenar sayısı ile belirlendiği yukarıda zaten söylenmişti. Ancak yapısında figürün özelliklerini belirleyen başka özellikler de vardır. Bu nedenle, prizmanın yan yüzeyini oluşturan tüm paralelkenarlar dikdörtgenler veya kareler ile temsil ediliyorsa, böyle bir şekle düz çizgi denir. Düz bir prizma için tabanlar arasındaki mesafe, herhangi bir dikdörtgenin yan kenarının uzunluğuna eşittir.
Tarafların bir kısmı veya tamamı paralelkenarsa, o zaman eğimli bir prizmadan bahsediyoruz. Yüksekliği zaten yan kenarın uzunluğundan daha az olacaktır.
İncelenen şekillerin sınıflandırıldığı bir diğer kriter de kenar uzunlukları ve çokgenin tabandaki açılarıdır. Birbirlerine eşitse, çokgen doğru olacaktır. Tabanlarında düzgün bir çokgen bulunan düz bir şekle düzenli denir. Yüzey alanını ve hacmini belirlerken onunla çalışmak uygundur. Bu konuda eğimli bir prizma bazı zorluklar sunar.
Aşağıdaki şekil, tabanı kare olan iki prizmayı göstermektedir. 90° açı, düz ve eğik prizma arasındaki temel farkı gösterir.
Bir şeklin hacmini belirleme formülü
Bir prizmanın yüzleriyle sınırlanan uzay parçasına hacmi denir. Herhangi bir türdeki dikkate alınan rakamlar için bu değer aşağıdaki formülle belirlenebilir:
V=h × So
Burada h sembolü prizmanın yüksekliğini gösterir,ki bu iki baz arasındaki mesafenin bir ölçüsüdür. Sembol So- bir taban kare.
Taban alanı bulmak kolaydır. Çokgenin düzgün olup olmadığı ve kenar sayısını bilerek, uygun formülü uygulamalı ve So almalısınız. Örneğin, kenar uzunluğu a olan normal bir n-gon için alan şöyle olacaktır:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Şimdi h yüksekliğine geçelim. Düz bir prizma için yüksekliği belirlemek zor değildir, ancak eğik bir prizma için bu kolay bir iş değildir. Belirli başlangıç koşullarından başlayarak çeşitli geometrik yöntemlerle çözülebilir. Bununla birlikte, bir figürün yüksekliğini belirlemenin evrensel bir yolu vardır. Kısaca anlatalım.
Fikir, uzaydaki bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaktır. Düzlemin şu denklemle verildiğini varsayalım:
A × x+ B × y + C × z + D=0
O zaman uçak uzakta olacak:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Koordinat eksenleri (0; 0; 0) noktası prizmanın alt tabanının düzleminde yer alacak şekilde düzenlenirse, taban düzlemi için denklem şu şekilde yazılabilir:
z=0
Bu, yükseklik formülünün yazılacağı anlamına geliryani:
h=z1
Şeklin yüksekliğini belirlemek için üst tabanın herhangi bir noktasının z-koordinatını bulmak yeterlidir.
Problem çözme örneği
Aşağıdaki şekil bir dörtgen prizmayı göstermektedir. Eğik bir prizmanın tabanı 10 cm kenarlı bir karedir Yan kenarın uzunluğunun 15 cm olduğu ve ön paralelkenarın dar açısının 70 ° olduğu biliniyorsa hacmini hesaplamak gerekir.
Şeklin h yüksekliği aynı zamanda paralelkenarın yüksekliği olduğundan, h'yi bulmak için alanını belirlemek için formüller kullanırız. Paralelkenarın kenarlarını aşağıdaki gibi gösterelim:
a=10cm;
b=15cm
Ardından Sp:
alanını belirlemek için aşağıdaki formülleri yazabilirsiniz.
Sp=a × b × günah (α);
Sp=a × h
Nereden geliyoruz:
h=b × günah (α)
Burada α paralelkenarın bir dar açısıdır. Taban kare olduğundan, eğimli bir prizmanın hacim formülü şu şekilde olacaktır:
V=a2 × b × sin (α)
Koşuldaki verileri formülde yerine koyarız ve cevabı alırız: V ≈ 1410 cm3.
