Üçgen, kare, altıgen - bu rakamlar hemen hemen herkes tarafından bilinir. Ancak herkes normal bir çokgenin ne olduğunu bilmiyor. Ama bunların hepsi aynı geometrik şekiller. Düzgün çokgen, açıları ve kenarları eşit olan çokgendir. Bu tür çok sayıda şekil var ama hepsi aynı özelliklere sahip ve onlar için aynı formüller geçerli.
Düzenli çokgenlerin özellikleri
Herhangi bir normal çokgen, ister kare ister sekizgen olsun, bir daire içine yazılabilir. Bu temel özellik genellikle bir figür oluşturulurken kullanılır. Ek olarak, bir çokgene bir daire de yazılabilir. Bu durumda, temas noktalarının sayısı, taraflarının sayısına eşit olacaktır. Düzgün bir çokgenin içine yazılan bir dairenin, onunla ortak bir merkeze sahip olması önemlidir. Bu geometrik şekiller aynı teoremlere tabidir. herhangi bir tarafdüzgün bir n-gon'un değeri, etrafındaki dairenin yarıçapı R ile ilişkilidir. Bu nedenle, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: a=2R ∙ sin180°. Dairenin yarıçapı sayesinde çokgenin yalnızca kenarlarını değil çevresini de bulabilirsiniz.
Düzenli bir çokgenin kenar sayısı nasıl bulunur
Herhangi bir normal n-gon, bağlandığında kapalı bir çizgi oluşturan birbirine eşit belirli sayıda segmentten oluşur. Bu durumda, oluşturulan şeklin tüm köşeleri aynı değere sahiptir. Çokgenler basit ve karmaşık olarak ikiye ayrılır. İlk grup bir üçgen ve bir kare içerir. Karmaşık çokgenlerin daha fazla kenarı vardır. Ayrıca yıldız şeklindeki figürleri de içerirler. Karmaşık düzgün çokgenler için, kenarlar bir daire içine alınarak bulunur. Bir kanıt verelim. İsteğe bağlı sayıda kenar n olan normal bir çokgen çizin. Etrafında bir daire tanımlayın. R yarıçapını belirtin. Şimdi bir miktar n-gon verildiğini hayal edin. Açılarının noktaları bir daire üzerinde bulunuyorsa ve birbirine eşitse, kenarlar şu formülle bulunabilir: a=2R ∙ sinα: 2.
Yazılı bir düzgün üçgenin kenar sayısını bulma
Eşkenar üçgen düzgün bir çokgendir. Aynı formüller kare ve n-gon için de geçerlidir. Kenar uzunlukları aynı olan bir üçgen doğru kabul edilecektir. Bu durumda açılar 60⁰'dir. Bir kenar uzunluğu a olan bir üçgen oluşturun. Ortancasını ve yüksekliğini bilerek,yanlarının değerini bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, x'in medyan veya yükseklik olduğu a \u003d x: cosα formülüyle bulma yöntemini kullanacağız. Üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan a=b=c elde ederiz. O zaman aşağıdaki ifade doğru olacaktır a=b=c=x: cosα. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgende kenarların değerini bulabilirsiniz, ancak verilen yükseklik x olacaktır. Aynı zamanda, kesinlikle şeklin tabanına yansıtılmalıdır. Böylece, x yüksekliğini bilerek, a \u003d b \u003d x: cosα formülünü kullanarak bir ikizkenar üçgenin a tarafını buluruz. a değerini bulduktan sonra c tabanının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Pisagor teoremini uygulayalım. c tabanının yarısının değerini arayacağız: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. O zaman c=2xtanα. Herhangi bir yazılı çokgenin kenar sayısını bulmanın basit bir yolu.
Bir daire içine alınmış bir karenin kenarlarını hesaplayın
Diğer yazılı normal çokgenler gibi, karenin kenarları ve açıları eşittir. Aynı formüller üçgen için de geçerlidir. Köşegenin değerini kullanarak bir karenin kenarlarını hesaplayabilirsiniz. Bu yöntemi daha ayrıntılı olarak ele alalım. Köşegenin açıyı ikiye böldüğü bilinmektedir. Başlangıçta değeri 90 dereceydi. Böylece bölme işleminden sonra iki dik üçgen oluşur. Taban açıları 45 derece olacaktır. Buna göre, karenin her bir tarafı eşit olacaktır, yani: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, burada e karenin köşegeni veya tabanıdır. Bölündükten sonra oluşan dik üçgen. tek yol bu değilkarenin kenarlarını bulma Bu rakamı bir daire içine yazalım. Bu R çemberinin yarıçapını bilerek karenin kenarını buluruz. a4=R√2 şeklinde hesaplayacağız. Normal çokgenlerin yarıçapları, R=a: 2tg (360o: 2n) formülüyle hesaplanır, burada a kenar uzunluğudur.
Bir n-gon'un çevresi nasıl hesaplanır
Bir n-genin çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır. Bunu hesaplamak kolaydır. Bunu yapmak için, tüm tarafların değerlerini bilmeniz gerekir. Bazı çokgen türleri için özel formüller vardır. Çevreyi çok daha hızlı bulmanızı sağlarlar. Herhangi bir düzgün çokgenin eşit kenarları olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, çevresini hesaplamak için bunlardan en az birini bilmek yeterlidir. Formül, şeklin kenar sayısına bağlı olacaktır. Genel olarak şöyle görünür: P \u003d an, burada a, kenar değeridir ve n, açı sayısıdır. Örneğin, bir kenarı 3 cm olan normal bir sekizgenin çevresini bulmak için, onu 8 ile çarpmanız gerekir, yani, P=3 ∙ 8=24 cm. Kenarı 5 cm olan bir altıgen için hesaplıyoruz. aşağıdaki gibidir: P=5 ∙ 6=30 cm Ve böylece her çokgen için.
Paralelkenarın, karenin ve eşkenar dörtgenin çevresini bulma
Düzenli bir çokgenin kaç kenarı olduğuna bağlı olarak çevresi hesaplanır. Bu, görevi çok daha kolay hale getirir. Gerçekten de, diğer rakamların aksine, bu durumda tüm taraflarını aramak gerekli değildir, sadece bir tanesi yeterlidir. Aynı prensibe göre, çevreyi de buluyoruz.dörtgenler, yani bir kare ve bir eşkenar dörtgen. Bunların farklı rakamlar olmasına rağmen, onlar için formül aynı P=4a'dır, burada a kenardır. Bir örnek alalım. Bir eşkenar dörtgen veya karenin kenarı 6 cm ise, çevreyi aşağıdaki gibi buluruz: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Bir paralelkenarın sadece zıt kenarları vardır. Bu nedenle, çevresi farklı bir yöntem kullanılarak bulunur. Bu yüzden şeklin a uzunluğunu ve b genişliğini bilmemiz gerekiyor. Sonra P=(a + c) ∙ 2 formülünü uygularız. Tüm kenarların ve aralarındaki açıların eşit olduğu bir paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar ve dik üçgenin çevresini bulma
Düzenli bir eşkenar üçgenin çevresi, a kenar uzunluğu olmak üzere P=3a formülüyle bulunabilir. Bilinmiyorsa, medyan aracılığıyla bulunabilir. Bir dik üçgende sadece iki kenar eşittir. Temel Pisagor teoremi aracılığıyla bulunabilir. Üç tarafın da değerleri bilindikten sonra çevreyi hesaplıyoruz. A ve b'nin eşit taraflar olduğu ve c'nin taban olduğu P \u003d a + b + c formülü uygulanarak bulunabilir. Bir ikizkenar üçgende a \u003d b \u003d a, bu nedenle, a + b \u003d 2a, sonra P \u003d 2a + c olduğunu hatırlayın. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin bir kenarı 4 cm'dir, tabanını ve çevresini bulun. Pisagor teoremi c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm'yi kullanarak hipotenüsün değerini hesaplıyoruz. Şimdi çevreyi hesaplıyoruz Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Düzenli bir çokgenin köşeleri nasıl bulunur
Normal çokgenhayatımızda her gün meydana gelir, örneğin sıradan bir kare, üçgen, sekizgen. Bu rakamı kendiniz oluşturmaktan daha kolay bir şey yok gibi görünüyor. Ama bu sadece ilk bakışta. Herhangi bir n-gon inşa etmek için açılarının değerini bilmeniz gerekir. Ama onları nasıl bulacaksınız? Antik çağın bilim adamları bile düzenli çokgenler oluşturmaya çalıştı. Onları dairelere sığdırmayı tahmin ettiler. Ve sonra üzerinde düz çizgilerle bağlanan gerekli noktalar işaretlendi. Basit rakamlar için inşaat sorunu çözüldü. Formüller ve teoremler elde edildi. Örneğin, ünlü eseri "Başlangıç" ta Öklid, 3-, 4-, 5-, 6- ve 15-gonlar için problem çözmekle meşguldü. Onları inşa etmenin ve açıları bulmanın yollarını buldu. Bunu 15-gon için nasıl yapacağımızı görelim. İlk önce iç açılarının toplamını hesaplamanız gerekir. S=180⁰(n-2) formülünü kullanmak gerekir. Yani bize 15-gon verildi, yani n sayısı 15'tir. Bildiğimiz verileri formülde yerine koyuyoruz ve S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ elde ediyoruz. 15-gon'un tüm iç açılarının toplamını bulduk. Şimdi her birinin değerini almamız gerekiyor. Toplamda 15 açı var 2340⁰: 15=156⁰ hesabını yapıyoruz. Bu, her bir iç açının 156⁰ olduğu anlamına gelir, şimdi bir cetvel ve bir pusula kullanarak normal bir 15-gon inşa edebilirsiniz. Peki ya daha karmaşık n-gon'lar? Yüzyıllar boyunca bilim adamları bu sorunu çözmek için mücadele ettiler. Sadece 18. yüzyılda Carl Friedrich Gauss tarafından bulundu. Bir 65537-gon inşa edebildi. O zamandan beri, sorun resmi olarak tamamen çözülmüş kabul ediliyor.
n-gonların açılarının hesaplanmasıradyan olarak
Elbette, çokgenlerin köşelerini bulmanın birkaç yolu vardır. Çoğu zaman derece olarak hesaplanırlar. Ancak bunları radyan cinsinden de ifade edebilirsiniz. Nasıl yapılır? Aşağıdaki gibi ilerlemek gereklidir. İlk önce düzgün bir çokgenin kenar sayısını buluyoruz, sonra ondan 2 çıkarıyoruz. Böylece, n - 2 değerini alıyoruz. Bulunan farkı n sayısıyla çarpın (“pi”=3, 14). Şimdi sadece ortaya çıkan ürünü n-gon'daki açı sayısına bölmek kalıyor. Aynı on beş taraflı örneğini kullanarak bu hesaplamaları düşünün. Yani, n sayısı 15'tir. S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 formülünü uygulayın. Bu, elbette, radyan cinsinden açıyı hesaplamanın tek yolu bu değildir. Açının boyutunu derece olarak 57, 3 sayısına bölebilirsiniz. Sonuçta, bu kadar çok derece bir radyana eşittir.
Açıların değerini derece cinsinden hesaplayın
Derece ve radyanın yanı sıra, bir düzgün çokgenin açılarının değerini derece cinsinden bulmaya çalışabilirsiniz. Bu, aşağıdaki şekilde yapılır. Toplam açı sayısından 2 çıkarın, ortaya çıkan farkı düzgün bir çokgenin kenar sayısına bölün. Bulunan sonucu 200 ile çarpıyoruz. Bu arada, dolu taneleri gibi bir açı ölçü birimi pratikte kullanılmaz.
n-gonların dış açılarının hesaplanması
Dahili olan hariç herhangi bir normal çokgen için dış açıyı da hesaplayabilirsiniz. Değeri, diğer rakamlarla aynı şekilde bulunur. Bir düzgün çokgenin bir dış açısını bulmak içiniçindekinin anlamını bil. Ayrıca, bu iki açının toplamının her zaman 180 derece olduğunu biliyoruz. Bu nedenle hesaplamaları şu şekilde yapıyoruz: 180⁰ eksi iç açı değeri. Farkı buluyoruz. Yanındaki açının değerine eşit olacaktır. Örneğin, bir karenin iç köşesi 90 derece olduğundan dış açı 180⁰ - 90⁰=90⁰ olacaktır. Gördüğümüz gibi, onu bulmak zor değil. Dış açı sırasıyla +180⁰ ile -180⁰ arasında bir değer alabilir.
