Bu geometrik şekiller bizi her yerde çevreliyor. Dışbükey çokgenler, petek gibi doğal veya yapay (insan yapımı) olabilir. Bu figürler, çeşitli kaplama türlerinin üretiminde, resim, mimari, dekorasyon vb. Dışbükey çokgenler, tüm noktalarının, bu geometrik şeklin bir çift bitişik köşesinden geçen düz bir çizginin aynı tarafında olma özelliğine sahiptir. Başka tanımlar da var. Bir çokgen, kenarlarından birini içeren herhangi bir düz çizgiye göre tek bir yarım düzlemde bulunuyorsa dışbükey olarak adlandırılır.
Dışbükey çokgenler
Temel geometri dersinde, her zaman sadece basit çokgenler dikkate alınır. Bu türlerin tüm özelliklerini anlamak içingeometrik şekiller, doğalarını anlamak gerekir. Başlamak için, uçları çakışan herhangi bir çizginin kapalı olarak adlandırıldığı anlaşılmalıdır. Ayrıca, oluşturduğu şekil çeşitli konfigürasyonlara sahip olabilir. Bir çokgen, komşu bağlantıların aynı düz çizgi üzerinde bulunmadığı basit bir kapalı kesik çizgidir. Bağlantıları ve köşeleri, sırasıyla bu geometrik şeklin kenarları ve köşeleridir. Basit bir çoklu çizgi kendi kendine kesişmelere sahip olmamalıdır.
Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçlarını temsil ediyorsa bitişik olarak adlandırılır. Köşe sayısı n, kenar sayısı n olan geometrik şekle n-gon denir. Kesik çizginin kendisine bu geometrik şeklin sınırı veya konturu denir. Çokgen bir düzlem veya düz bir çokgen, kendisi tarafından sınırlanan herhangi bir düzlemin uç kısmı olarak adlandırılır. Bu geometrik şeklin bitişik kenarlarına, bir tepe noktasından çıkan kesikli bir çizginin parçaları denir. Çokgenin farklı köşelerinden geliyorlarsa bitişik olmayacaklar.
Dışbükey çokgenlerin diğer tanımları
Temel geometride, hangi poligonun dışbükey olarak adlandırıldığını gösteren birkaç eşdeğer tanım daha vardır. Bu ifadelerin hepsi aynı derecede doğrudur. Bir çokgen şu durumlarda dışbükey olarak kabul edilir:
• içindeki herhangi iki noktayı birleştiren her parça tamamen onun içindedir;
• içindetüm köşegenleri yalan;
• herhangi bir iç açı 180°'yi geçmez.
Bir çokgen bir düzlemi her zaman 2 parçaya böler. Bunlardan biri sınırlıdır (bir daire içine alınabilir), diğeri ise sınırsızdır. Birincisi iç bölge, ikincisi ise bu geometrik şeklin dış bölgesidir. Bu çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir (başka bir deyişle, ortak bir bileşen). Ayrıca çokgene ait noktalarda biten her parça tamamen ona aittir.
Dışbükey çokgen çeşitleri
Dışbükey çokgenin tanımı, bunların pek çok türü olduğunu göstermez. Ve her birinin belirli kriterleri var. Bu nedenle iç açısı 180° olan dışbükey çokgenlere zayıf dışbükey denir. Üç köşesi olan bir dışbükey geometrik şekle üçgen, dört - dörtgen, beş - beşgen vb. denir. Dışbükey n-genlerin her biri aşağıdaki temel gereksinimi karşılar: n, 3'e eşit veya daha büyük olmalıdır. üçgenler dışbükeydir. Tüm köşelerin aynı daire üzerinde bulunduğu bu tip bir geometrik şekle daire içinde yazılı denir. Bir dışbükey çokgene, dairenin yakınındaki tüm kenarları ona dokunuyorsa, çevrelenmiş olarak adlandırılır. İki çokgenin, ancak üst üste bindirilebilirlerse eşit oldukları söylenir. Düzlem çokgene çokgen düzlem denir.(düzlem parçası), bu geometrik şekil ile sınırlıdır.
Düzenli dışbükey çokgenler
Düzenli çokgenler, açıları ve kenarları eşit olan geometrik şekillerdir. İçlerinde, köşelerinin her birinden aynı uzaklıkta olan bir 0 noktası vardır. Bu geometrik şeklin merkezi olarak adlandırılır. Bu geometrik şeklin merkezini köşeleriyle birleştiren doğrulara apothem, 0 noktasını kenarlara bağlayan doğrulara yarıçap denir.
Düzenli bir dörtgen bir karedir. Eşkenar üçgene eşkenar üçgen denir. Bu tür şekiller için şu kural vardır: dışbükey bir çokgenin her köşesi 180°(n-2)/ n, burada n, bu dışbükey geometrik şeklin köşe sayısıdır.
Herhangi bir normal çokgenin alanı şu formülle belirlenir:
S=ph, burada p, verilen çokgenin tüm kenarlarının toplamının yarısıdır ve h, özdeyişin uzunluğudur.
Dışbükey çokgenlerin özellikleri
Dışbükey çokgenlerin belirli özellikleri vardır. Bu nedenle, böyle bir geometrik şeklin herhangi 2 noktasını birleştiren bir segment mutlaka içinde bulunur. Kanıt:
P'nin belirli bir dışbükey çokgen olduğunu varsayalım. 2 keyfi nokta alıyoruz, örneğin, P'ye ait olan A, B. Mevcut bir dışbükey çokgenin tanımına göre, bu noktalar, P'nin herhangi bir tarafını içeren çizginin aynı tarafında bulunur. Bu nedenle AB de bu özelliğe sahiptir ve P'de bulunur. Bir dışbükey çokgen her zaman köşelerinden birinden çizilen tüm köşegenler tarafından her zaman birkaç üçgene bölünebilir.
Dışbükey geometrik şekillerin açıları
Dışbükey bir çokgenin köşeleri, kenarlarının oluşturduğu köşelerdir. İç köşeler, belirli bir geometrik şeklin iç bölgesinde bulunur. Bir köşede birleşen kenarlarının oluşturduğu açıya dışbükey çokgenin açısı denir. Belirli bir geometrik şeklin iç açılarına bitişik açılara dış açılar denir. İçinde bulunan bir dışbükey çokgenin her köşesi:
180° - x, burada x, dış açının değeridir. Bu basit formül, bu türdeki herhangi bir geometrik şekil için işe yarar.
Genel olarak, dış köşeler için şu kural vardır: bir dışbükey çokgenin her bir açısı, 180° ile iç açının değeri arasındaki farka eşittir. -180° ile 180° arasında değişen değerlere sahip olabilir. Bu nedenle, iç açı 120° olduğunda, dış açı 60° olacaktır.
Dışbükey çokgenlerin açılarının toplamı
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı şu formülle belirlenir:
180°(n-2), burada n, n-gon'un köşe sayısıdır.
Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamını hesaplamak oldukça kolaydır. Böyle bir geometrik figür düşünün. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamını bulmak içinköşelerinden birini diğer köşelere bağlayın. Bu işlem sonucunda (n-2) üçgenleri elde edilir. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180° olduğunu biliyoruz. Herhangi bir çokgendeki sayıları (n-2) olduğundan, böyle bir şeklin iç açılarının toplamı 180° x (n-2)'dir.
Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı, yani belirli bir dışbükey geometrik şekil için herhangi iki iç ve bitişik dış açı her zaman 180°'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak, tüm açılarının toplamını belirleyebilirsiniz:
180 x n.
İç açıların toplamı 180° (n-2)'dir. Buna dayanarak, bu şeklin tüm dış köşelerinin toplamı şu formülle belirlenir:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360° olacaktır (kenar sayısından bağımsız olarak).
Dışbükey çokgenin dış açısı genellikle 180° ile iç açının değeri arasındaki farkla temsil edilir.
Dışbükey çokgenin diğer özellikleri
Bu geometrik şekillerin temel özelliklerine ek olarak, onları manipüle ederken ortaya çıkan başka özellikleri de vardır. Bu nedenle, çokgenlerden herhangi biri birkaç dışbükey n-gona bölünebilir. Bunu yapmak için, her bir kenarına devam etmek ve bu geometrik şekli bu düz çizgiler boyunca kesmek gerekir. Herhangi bir çokgeni, parçaların her birinin köşeleri tüm köşeleriyle çakışacak şekilde birkaç dışbükey parçaya bölmek de mümkündür. Böyle bir geometrik figürden, üçgenler çok basit bir şekilde çizilerek yapılabilir.bir köşeden köşegenler. Böylece, herhangi bir çokgen sonunda belirli sayıda üçgene bölünebilir, bu da bu tür geometrik şekillerle ilgili çeşitli problemlerin çözümünde çok faydalı olur.
Dışbükey bir çokgenin çevresi
Bir çokgenin kenarları olarak adlandırılan kesikli bir çizginin parçaları çoğunlukla şu harflerle gösterilir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar, köşeleri a, b, c, d, e olan bir geometrik şeklin kenarlarıdır. Bu dışbükey çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına çevresi denir.
Poligon çevresi
Dışbükey çokgenler yazılabilir ve sınırlandırılabilir. Bu geometrik şeklin her tarafına dokunan daireye yazılı denir. Böyle bir çokgene sınırlı denir. Bir çokgenin içine yazılan bir dairenin merkezi, belirli bir geometrik şekil içindeki tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasıdır. Böyle bir çokgenin alanı:
S=pr, burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve p, verilen çokgenin yarı-çevresidir.
Bir çokgenin köşelerini içeren daireye, çevresi çevrelenmiş denir. Ayrıca, bu dışbükey geometrik şekle yazılı denir. Böyle bir çokgenin çevrelediği dairenin merkezi, tüm kenarların sözde dik açıortaylarının kesişme noktasıdır.
Dışbükey geometrik şekillerin köşegenleri
Dışbükey bir çokgenin köşegenleri,bitişik olmayan köşeleri bağlayın. Her biri bu geometrik figürün içinde yatıyor. Böyle bir n-gon'un köşegen sayısı şu formülle belirlenir:
N=n (n – 3)/ 2.
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı, temel geometride önemli bir rol oynar. Her bir dışbükey çokgeni bölmenin mümkün olduğu üçgen sayısı (K) aşağıdaki formülle hesaplanır:
K=n – 2.
Dışbükey bir çokgenin köşegenlerinin sayısı her zaman köşelerinin sayısına bağlıdır.
Dışbükey çokgenin ayrıştırılması
Bazı durumlarda, geometrik problemleri çözmek için dışbükey bir çokgeni köşegenleri kesişmeyen birkaç üçgene bölmek gerekir. Bu sorun, belirli bir formül türetilerek çözülebilir.
Problemin tanımı: bir dışbükey n-gon'un sadece bu geometrik şeklin köşelerinde kesişen köşegenlerle birkaç üçgene uygun bir bölümü diyelim.
Çözüm: Р1, Р2, Р3 …, Pn'nin bu n-gonun köşeleri olduğunu varsayalım. Xn sayısı, bölümlerinin sayısıdır. Geometrik şekil Pi Pn'nin elde edilen köşegenini dikkatlice ele alalım. Düzenli bölümlerin herhangi birinde P1 Pn, 1<i<n'ye sahip belirli bir P1 Pi Pn üçgenine aittir. Bundan yola çıkarak ve i=2, 3, 4 …, n-1 olduğunu varsayarak, tüm olası özel durumları içeren bu bölümlerin (n-2) gruplarını elde ederiz.
i=2, her zaman köşegen Р2 Pn içeren bir düzenli bölmeler grubu olsun. Giren bölümlerin sayısı, bölümlerin sayısı ile aynıdır.(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Başka bir deyişle, Xn-1'e eşittir.
İ=3 ise, bu diğer bölüm grubu her zaman Р3 Р1 ve Р3 Pn köşegenlerini içerecektir. Bu durumda, bu grupta yer alan düzenli bölümlerin sayısı, (n-2)-gon P3 P4 … Pn'nin bölümlerinin sayısı ile çakışacaktır. Başka bir deyişle, Xn-2'ye eşit olacaktır.
Let i=4, o zaman üçgenler arasında düzenli bir bölüm kesinlikle bir P1 P4 Pn üçgeni içerecektir, buna P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn dörtgeni birleşecektir.. Böyle bir dörtgenin düzenli bölümlerinin sayısı X4'tür ve bir (n-3)-gon'un bölümlerinin sayısı Xn-3'tür. Yukarıdakilere dayanarak, bu grupta yer alan toplam doğru bölüm sayısının Xn-3 X4 olduğunu söyleyebiliriz. i=4, 5, 6, 7… olan diğer gruplar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … normal bölümleri içerecektir.
i=n-2 olsun, o zaman bu gruptaki doğru bölme sayısı, i=2 olan gruptaki bölme sayısı ile aynı olacaktır (diğer bir deyişle, Xn-1'e eşittir).
X1=X2=0, X3=1, X4=2… olduğuna göre, bir dışbükey çokgenin tüm bölümlerinin sayısı:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Örnek:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
İçinde bir köşegenle kesişen doğru bölümlerin sayısı
Özel durumları kontrol ederken,dışbükey n-gonların köşegenlerinin sayısının bu şeklin tüm bölümlerinin çarpımına (n-3) eşit olduğu varsayımı.
Bu varsayımın kanıtı: P1n=Xn(n-3) olduğunu hayal edin, o zaman herhangi bir n-gon (n-2)-üçgenlerine bölünebilir. Ayrıca bunlardan bir (n-3)-dörtgeni oluşturulabilir. Bununla birlikte, her dörtgende bir köşegen olacaktır. Bu dışbükey geometrik şekilde iki köşegen çizilebildiğinden, bu, herhangi bir (n-3)-dörtgeninde ek (n-3) köşegenlerinin çizilebileceği anlamına gelir. Buna dayanarak, herhangi bir düzenli bölmede, bu problemin koşullarını karşılayan (n-3)-köşegenleri çizmenin mümkün olduğu sonucuna varabiliriz.
Dışbükey çokgenlerin alanı
Genellikle, çeşitli temel geometri problemlerini çözerken, dışbükey bir çokgenin alanını belirlemek gerekli hale gelir. (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n'nin kendi kesişimi olmayan bir çokgenin tüm komşu köşelerinin koordinatlarının dizisi olduğunu varsayalım. Bu durumda alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), nerede (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
