Matematikte önemli bir kavram bir fonksiyondur. Onun yardımıyla doğada meydana gelen birçok işlemi görselleştirebilir, belirli miktarlar arasındaki ilişkiyi formüller, tablolar ve grafikler kullanarak bir grafik üzerinde yansıtabilirsiniz. Bir örnek, bir sıvı tabakasının bir gövde üzerindeki basıncının daldırma derinliğine, hızlanma - belirli bir kuvvetin bir nesne üzerindeki etkisine, sıcaklık artışına - iletilen enerjiye ve diğer birçok işleme bağımlılığıdır. Bir fonksiyonun incelenmesi, bir grafiğin oluşturulmasını, özelliklerinin açıklığa kavuşturulmasını, kapsam ve değerleri, artış ve azalma aralıklarını içerir. Bu süreçte önemli bir nokta ekstremum noktalarının bulunmasıdır. Nasıl doğru yapılacağı hakkında ve konuşma devam edecek.
Belirli bir örnekte kavramın kendisi hakkında
Tıpta, bir fonksiyon grafiği çizmek, hastanın vücudundaki bir hastalığın ilerleyişini anlatabilir ve durumunu görsel olarak yansıtabilir. Gün cinsinden zamanın OX ekseni boyunca çizildiğini ve insan vücudunun sıcaklığının OY ekseni boyunca çizildiğini varsayalım. Şekil, bu göstergenin nasıl keskin bir şekilde yükseldiğini açıkça göstermektedir vesonra düşüyor. Ayrıca, daha önce artan işlevin azalmaya başladığı ve bunun tersi olduğu anları yansıtan tekil noktaları fark etmek de kolaydır. Bunlar uç noktalardır, yani hastanın sıcaklığındaki bu durumda kritik değerler (maksimum ve minimum), sonrasında durumunda değişiklikler meydana gelir.
Eğim açısı
Bir fonksiyonun türevinin nasıl değiştiğini şekilden belirlemek kolaydır. Grafiğin düz çizgileri zamanla yükselirse, o zaman pozitiftir. Ve ne kadar dik olursa, eğim açısı arttıkça türevin değeri o kadar büyük olur. Azalma dönemlerinde bu değer negatif değerler alır, uç noktalarda sıfıra döner ve sonraki durumda türevin grafiği OX eksenine paralel olarak çizilir.
Başka herhangi bir işlem aynı şekilde ele alınmalıdır. Ancak bu konseptle ilgili en iyi şey, grafiklerde açıkça gösterilen çeşitli cisimlerin hareketini anlatmasıdır.
Hareket
Bir nesnenin düz bir çizgide hareket ettiğini ve eşit olarak hız kazandığını varsayalım. Bu süre boyunca, vücudun koordinatlarındaki değişiklik, bir matematikçinin parabolün bir dalı olarak adlandıracağı belirli bir eğriyi grafiksel olarak temsil eder. Aynı zamanda, koordinat göstergeleri her saniye daha hızlı ve daha hızlı değiştiği için fonksiyon sürekli artmaktadır. Hız grafiği, değeri de artan türevin davranışını gösterir. Bu, hareketin kritik noktaları olmadığı anlamına gelir.
Süresiz devam ederdi. Ancak vücut aniden yavaşlamaya karar verirse, durun ve başka bir yerde hareket etmeye başlayın.yön? Bu durumda koordinat göstergeleri azalmaya başlayacaktır. Ve fonksiyon kritik değeri geçecek ve artandan azalana dönecektir.
Bu örnekte, fonksiyon grafiğindeki ekstremum noktalarının monoton olmaktan çıktığı anlarda göründüğünü tekrar anlayabilirsiniz.
Türevin fiziksel anlamı
Daha önce açıklanan, türevin esasen fonksiyonun değişim oranı olduğunu açıkça gösterdi. Bu arıtma, fiziksel anlamını içerir. Uç noktalar, grafikteki kritik alanlardır. Sıfıra eşit olduğu ortaya çıkan türevin değerini hesaplayarak bunları bulmak ve tespit etmek mümkündür.
Bir ekstremum için yeterli koşul olan başka bir işaret daha var. Bu tür bükülme yerlerindeki türev, işaretini değiştirir: maksimum bölgesinde "+" dan "-" ye ve minimum bölgesinde "-" den "+" ye.
Yerçekimi etkisi altında hareket
Başka bir durum hayal edelim. Top oynayan çocuklar, ufka doğru bir açıyla hareket etmeye başlayacak şekilde fırlattı. İlk anda, bu nesnenin hızı en büyüktü, ancak yerçekiminin etkisi altında azalmaya başladı ve her saniye aynı değerde, yaklaşık 9,8 m/s2. Bu, serbest düşüş sırasında yerçekimi etkisi altında meydana gelen ivmenin değeridir. Ay'da yaklaşık altı kat daha küçük olurdu.
Vücudun hareketini anlatan grafik dalları olan bir paraboldür,aşağı. Ekstremum noktaları nasıl bulunur? Bu durumda bu, cismin (top) hızının sıfır değerini aldığı fonksiyonun tepe noktasıdır. Fonksiyonun türevi sıfır olur. Bu durumda, yön ve dolayısıyla hızın değeri tersine değişir. Vücut her saniye daha hızlı ve daha hızlı uçar ve aynı miktarda hızlanır - 9.8 m/s2.
İkinci türev
Önceki durumda, hız modülünün grafiği düz bir çizgi olarak çizilmiştir. Bu miktarın değeri sürekli azaldığından, bu çizgi ilk önce aşağıya doğru yönlendirilir. Zamandaki noktalardan birinde sıfıra ulaştıktan sonra, bu değerin göstergeleri artmaya başlar ve hız modülünün grafiksel gösteriminin yönü önemli ölçüde değişir. Çizgi şimdi yukarıyı gösteriyor.
Hız, koordinatın zamana göre türevi olduğu için de kritik bir noktaya sahiptir. Bu bölgede başlangıçta azalan fonksiyon artmaya başlar. Bu, fonksiyonun türevinin uç noktasının yeridir. Bu durumda teğetin eğimi sıfır olur. Koordinatın zamana göre ikinci türevi olan ivme ise işareti “-”den “+”ya değiştirir. Ve tekdüze yavaştan gelen hareket, eşit şekilde hızlanır.
Hızlanma tablosu
Şimdi dört resim düşünün. Her biri, hızlanma gibi fiziksel bir niceliğin zaman içindeki değişiminin bir grafiğini gösterir. "A" durumunda, değeri pozitif ve sabit kalır. Bu, vücudun hızının, koordinatı gibi sürekli arttığı anlamına gelir. Eğer bircismin sonsuz uzun bir süre bu şekilde hareket edeceğini hayal edin, koordinatın zamana bağımlılığını yansıtan fonksiyon sürekli artan olacak. Bundan, kritik bölgelerinin olmadığı sonucu çıkar. Ayrıca türevin grafiğinde, yani lineer olarak değişen hız üzerinde ekstremum noktaları da yoktur.
Aynı durum, pozitif ve sürekli artan ivmeli "B" durumu için de geçerlidir. Doğru, koordinatlar ve hız çizimleri burada biraz daha karmaşık olacak.
Hızlanma sıfıra düştüğünde
"B" resmine bakarken, vücudun hareketini karakterize eden tamamen farklı bir resim görebilirsiniz. Hızı, dalları aşağıyı gösteren bir parabol olarak grafiksel olarak gösterilecektir. OX ekseni ile kesişene kadar ivmedeki değişimi tanımlayan satıra devam edersek ve dahası, ivmenin sıfıra eşit olduğu bu kritik değere kadar, nesnenin hızının artacağını hayal edebiliriz. giderek daha yavaş. Koordinat fonksiyonunun türevinin uç noktası parabolün tam tepesinde olacak, bundan sonra vücut hareketin doğasını kökten değiştirecek ve diğer yönde hareket etmeye başlayacak.
İkinci durumda, "G", hareketin doğası tam olarak belirlenemez. Burada sadece, incelenen bir dönem için hızlanma olmadığını biliyoruz. Bu, nesnenin yerinde kalabileceği veya hareketin sabit bir hızda gerçekleştiği anlamına gelir.
Koordinat toplama görevi
Okulda cebir çalışmasında sıklıkla bulunan ve öğrenciler için önerilen görevlere geçelim.sınava hazırlık. Aşağıdaki şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Ekstremum noktalarının toplamını hesaplamak gerekir.
Fonksiyonun özelliklerinde değişiklik gözlemlenen kritik bölgelerin koordinatlarını belirleyerek bunu y ekseni için yapalım. Basitçe söylemek gerekirse, bükülme noktaları için x ekseni boyunca değerleri buluyoruz ve ardından ortaya çıkan terimleri toplamaya devam ediyoruz. Grafiğe göre şu değerleri aldıkları açıktır: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Bu, cevap olan -21'e kadar ekler.
Optimal çözüm
Pratik görevlerin yerine getirilmesinde optimal çözümün seçiminin ne kadar önemli olabileceğini açıklamaya gerek yok. Sonuçta, hedefe ulaşmanın birçok yolu vardır ve kural olarak en iyi çıkış yolu sadece bir tanesidir. Bu, örneğin gemiler, uzay araçları ve uçaklar tasarlarken, bu insan yapımı nesnelerin en uygun şeklini bulmak için mimari yapılar tasarlarken son derece gereklidir.
Araçların hızı, büyük ölçüde, su ve havada hareket ederken yaşadıkları direncin, yerçekimi kuvvetlerinin ve diğer birçok göstergenin etkisi altında ortaya çıkan aşırı yüklenmelerin yetkin bir şekilde en aza indirilmesine bağlıdır. Denizdeki bir geminin fırtına sırasında stabilite gibi niteliklere ihtiyacı vardır; bir nehir gemisi için minimum su çekimi önemlidir. Optimum tasarımı hesaplarken, grafikteki uç noktalar, karmaşık bir problemin en iyi çözümü hakkında görsel olarak fikir verebilir. Bu tür görevler genellikleekonomide, ekonomik alanlarda, diğer birçok yaşam durumunda çözülür.
Antik tarihten
Aşırı sorunlar eski bilgeleri bile meşgul etti. Yunan bilim adamları, matematiksel hesaplamalar yoluyla alanların ve hacimlerin gizemini başarıyla çözdüler. Aynı çevreye sahip çeşitli şekillerden oluşan bir düzlemde dairenin her zaman en büyük alana sahip olduğunu ilk anlayan onlardı. Benzer şekilde, bir top, aynı yüzey alanına sahip uzaydaki diğer nesneler arasında maksimum hacme sahiptir. Arşimet, Öklid, Aristoteles, Apollonius gibi ünlü şahsiyetler kendilerini bu tür sorunları çözmeye adadılar. Heron, hesaplamalara başvurarak ustaca cihazlar inşa eden uç noktaları bulmada çok başarılı oldu. Bunlar arasında buharla hareket eden otomatik makineler, aynı prensipte çalışan pompalar ve türbinler vardı.
Kartaca'nın İnşası
Konusu aşırı problemlerden birinin çözümüne dayanan bir efsane var. Bilgelerden yardım isteyen Fenike prensesinin gösterdiği iş yaklaşımının sonucu, Kartaca'nın inşasıydı. Bu antik ve ünlü şehrin arsası, Afrika kabilelerinden birinin lideri tarafından Dido'ya (hükümdarın adıydı) sunuldu. Tahsis alanı ilk başta ona çok büyük görünmüyordu, çünkü sözleşmeye göre bir öküz derisi ile kaplanması gerekiyordu. Ancak prenses, askerlerine onu ince şeritler halinde kesmelerini ve onlardan bir kemer yapmalarını emretti. Siteyi kaplayacak kadar uzun olduğu ortaya çıktı,tüm şehrin sığdığı yer.
Hesabın kökenleri
Ve şimdi eski zamanlardan sonraki bir çağa geçelim. İlginç bir şekilde, 17. yüzyılda Kepler bir şarap satıcısıyla yaptığı görüşmede matematiksel analizin temellerini anlamaya yönlendirildi. Tüccar mesleğinde o kadar bilgiliydi ki, fıçıdaki içeceğin hacmini sadece demir bir turnike indirerek kolayca belirleyebiliyordu. Böyle bir merak üzerine düşünen ünlü bilim adamı, bu ikilemi kendisi çözmeyi başardı. O zamanların usta bakırcılarının, sabitleme halkalarının çevresinin belirli bir yüksekliğinde ve yarıçapında maksimum kapasiteye sahip olacak şekilde kaplar yapma konusunda ustalaştığı ortaya çıktı.
Bu, Kepler'in daha fazla düşünme nedeniydi. Bochars, deneyimlerini nesilden nesile aktararak, uzun bir arayış, hatalar ve yeni girişimlerle en uygun çözüme ulaştı. Ancak Kepler, süreci hızlandırmak ve matematiksel hesaplamalarla kısa sürede nasıl yapılacağını öğrenmek istedi. Meslektaşları tarafından toplanan tüm gelişmeleri, şimdi bilinen Fermat ve Newton - Leibniz teoremlerine dönüştü.
Maksimum alan sorunu
50 cm uzunluğunda bir telimiz olduğunu düşünelim. Bundan en geniş alana sahip bir dikdörtgen nasıl yapılır?
Bir karara başlarken, basit ve bilinen gerçeklerden hareket edilmelidir. Figürümüzün çevresinin 50 cm olacağı açıktır. Ayrıca her iki kenar uzunluğunun iki katından oluşmaktadır. Bu, biri "X" olarak belirlendikten sonra diğerinin (25 - X) olarak ifade edilebileceği anlamına gelir.
Buradan şunu alıyoruzX'e eşit bir alan (25 - X). Bu ifade birçok değer alan bir fonksiyon olarak gösterilebilir. Problemin çözümü bunların maksimumunu bulmayı gerektirir, bu da ekstremum noktalarını bulmanız gerektiği anlamına gelir.
Bunu yapmak için birinci türevi bulup sıfıra eşitliyoruz. Sonuç basit bir denklemdir: 25 - 2X=0.
Bundan, kenarlardan birinin X=12, 5 olduğunu öğreniyoruz.
Dolayısıyla, başka bir: 25 – 12, 5=12, 5.
Sorunun çözümünün bir kenarı 12,5 cm olan bir kare olacağı ortaya çıktı.
Maksimum hız nasıl bulunur
Bir örnek daha düşünelim. Doğrusal hareketi S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 denklemiyle tanımlanan bir cisim olduğunu hayal edin, burada mesafe kat edilen metre cinsinden ve süre saniye cinsinden ifade edilir. Maksimum hızı bulmak için gereklidir. Nasıl yapılır? İndirilen hızı bul, yani ilk türev.
Denklemi elde ederiz: V=- 3t2 + 18t – 24. Şimdi, problemi çözmek için tekrar ekstremum noktalarını bulmamız gerekiyor. Bu, önceki görevdekiyle aynı şekilde yapılmalıdır. Hızın ilk türevini bulun ve sıfıra eşitleyin.
Alırız: - 6t + 18=0. Dolayısıyla t=3 s. Bu, vücudun hızının kritik bir değer aldığı zamandır. Elde edilen verileri hız denkleminde yerine koyarız ve şunu elde ederiz: V=3 m/s.
Fakat bunun tam olarak maksimum hız olduğu nasıl anlaşılır, çünkü bir fonksiyonun kritik noktaları onun maksimum veya minimum değerleri olabilir? Kontrol etmek için bir saniye bulmanız gerekir.hızın türevi. Eksi işareti ile 6 sayısı olarak ifade edilir. Bu, bulunan noktanın maksimum olduğu anlamına gelir. Ve ikinci türevin pozitif bir değeri olması durumunda, bir minimum olacaktır. Böylece bulunan çözüm doğru çıktı.
Örnek olarak verilen görevler, bir fonksiyonun uç noktalarını bularak çözülebileceklerin sadece bir kısmıdır. Aslında, çok daha fazlası var. Ve böyle bir bilgi, insan uygarlığı için sınırsız olanaklar açar.
