Fonksiyonların ve grafiklerinin incelenmesi, lise müfredatı çerçevesinde özel önem verilen bir konudur. Matematiksel analizin bazı temelleri - farklılaşma - matematikte sınavın profil seviyesine dahil edilmiştir. Bazı okul çocukları, fonksiyon ve türevin grafiklerini karıştırdıkları ve ayrıca algoritmaları unuttukları için bu konuyla ilgili sorunlar yaşarlar. Bu makale, ana görev türlerini ve bunların nasıl çözüleceğini ele alacaktır.
İşlev değeri nedir?
Bir matematik işlevi özel bir denklemdir. Sayılar arasında ilişki kurar. İşlev, argümanın değerine bağlıdır.
Fonksiyonun değeri verilen formüle göre hesaplanır. Bunu yapmak için, bu formüldeki geçerli değerler aralığına karşılık gelen herhangi bir argümanı x yerine değiştirin ve gerekli matematiksel işlemleri gerçekleştirin. Ne?
Bir fonksiyonun en küçük değerini nasıl bulabilirsin,bir grafik işlevi mi kullanıyorsunuz?
Bir fonksiyonun bir argümana bağımlılığının grafik temsiline fonksiyon grafiği denir. Bir değişkenin veya argümanın değerinin yatay apsis ekseni boyunca ve karşılık gelen fonksiyon değerinin dikey ordinat ekseni boyunca çizildiği, belirli bir birim segmentine sahip bir düzlem üzerine kuruludur.
Argümanın değeri ne kadar büyükse, grafikte o kadar sağda bulunur. Ve fonksiyonun kendi değeri ne kadar büyükse, nokta o kadar yüksektir.
Bu ne diyor? Fonksiyonun en küçük değeri, grafikte en altta kalan nokta olacaktır. Bir grafik segmentinde bulmak için ihtiyacınız olan:
1) Bu bölümün sonlarını bulun ve işaretleyin.
2) Bu segmentte hangi noktanın en altta olduğunu görsel olarak belirleyin.
3) Yanıt olarak, y eksenine bir nokta yansıtılarak belirlenebilecek sayısal değerini yazın.
Türev grafiğindeki aşırı noktalar. Nereye bakmalı?
Ancak, problem çözerken bazen bir fonksiyonun değil, türevinin bir grafiği verilir. Yanlışlıkla aptalca bir hata yapmaktan kaçınmak için, ekstremum noktaları nerede aramanız gerektiğine bağlı olduğundan, koşulları dikkatlice okumak daha iyidir.
Yani, türev, fonksiyonun anlık artış oranıdır. Geometrik tanıma göre türev, verilen noktaya doğrudan çizilen tanjantın eğimine karşılık gelir.
Ekstremum noktalarında teğetin Öküz eksenine paralel olduğu bilinmektedir. Bu, eğiminin 0 olduğu anlamına gelir.
Bundan yola çıkarak, uç noktalarda türevin x ekseni üzerinde olduğu veya yok olduğu sonucuna varabiliriz. Ancak ek olarak, bu noktalarda fonksiyon yönünü değiştirir. Yani, bir artış döneminden sonra azalmaya başlar ve buna göre türev pozitiften negatife değişir. Veya tam tersi.
Türev pozitiften negatife dönerse, bu maksimum noktadır. Negatiften pozitif olursa - minimum nokta.
Önemli: Görevde bir minimum veya maksimum nokta belirtmeniz gerekiyorsa, yanıt olarak apsis ekseni boyunca karşılık gelen değeri yazmalısınız. Ama eğer fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyorsa, o zaman önce argümanın karşılık gelen değerini fonksiyona koymanız ve onu hesaplamanız gerekir.
Türev kullanarak ekstremum noktaları nasıl bulunur?
Değerlendirilen örnekler, esas olarak, bir türev veya bir ters türev grafiğiyle çalışmayı içeren sınavın 7 numaralı görevine atıfta bulunur. Ancak KULLANIM'ın 12. görevi - bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak (bazen en büyük) - herhangi bir çizim olmadan gerçekleştirilir ve matematiksel analizde temel beceriler gerektirir.
Bunu gerçekleştirmek için türevi kullanarak uç noktaları bulabilmeniz gerekir. Bunları bulma algoritması şu şekildedir:
- Bir fonksiyonun türevini bulun.
- Sıfıra ayarlayın.
- Denklemin köklerini bulun.
- Elde edilen noktaların ekstremum veya bükülme noktaları olup olmadığını kontrol edin.
Bunu yapmak için bir diyagram çizin veelde edilen aralıklar, türevde segmentlere ait sayıları değiştirerek türevin işaretlerini belirler. Denklemi çözerken çift katlı kökleriniz varsa, bunlar bükülme noktalarıdır.
Teoremleri uygulayarak, hangi noktaların minimum ve hangilerinin maksimum olduğunu belirleyin
Bir türev kullanarak bir fonksiyonun en küçük değerini hesaplayın
Ancak, tüm bu eylemleri gerçekleştirdikten sonra, x ekseni boyunca minimum ve maksimum noktaların değerlerini bulacağız. Ama bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur?
Belirli bir noktada fonksiyona karşılık gelen sayıyı bulmak için ne yapılması gerekiyor? Argümanın değerini bu formülde değiştirmelisiniz.
Minimum ve maksimum noktaları, segmentteki işlevin en küçük ve en büyük değerine karşılık gelir. Yani fonksiyonun değerini bulmak için elde edilen x değerlerini kullanarak fonksiyonu hesaplamanız gerekir.
Önemli! Görev bir minimum veya maksimum nokta belirlemenizi gerektiriyorsa, yanıt olarak x ekseni boyunca karşılık gelen değeri yazmalısınız. Ama eğer fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyorsa, o zaman önce argümanın karşılık gelen değerini fonksiyona koymalı ve gerekli matematiksel işlemleri yapmalısınız.
Bu segmentte düşüş yoksa ne yapmalıyım?
Fakat ekstremum noktaları olmayan bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur?
Bu, fonksiyonun üzerinde monoton olarak azaldığı veya arttığı anlamına gelir. Ardından, bu segmentin uç noktalarının değerini fonksiyona koymanız gerekir. İki yol var.
1) Hesapladıktan sonrafonksiyonun belirli bir segmentte azalan veya artan olup olmadığına karar vermek için türev ve pozitif veya negatif olduğu aralıklar.
Onlara uygun olarak, argümanın daha büyük veya daha küçük bir değerini fonksiyona değiştirin.
2) Fonksiyonun her iki noktasını da değiştirin ve elde edilen fonksiyon değerlerini karşılaştırın.
Türevi bulmak hangi görevlerde isteğe bağlıdır
Kural olarak, KULLANIM atamalarında yine de türevi bulmanız gerekir. Yalnızca birkaç istisna vardır.
1) Parabol.
Parabolün tepe noktası formülle bulunur.
Eğer bir < 0 ise, parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir. Ve zirvesi maksimum noktadır.
0 ise, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir, tepe noktası minimum noktadır.
Parabolün köşe noktasını hesapladıktan sonra, onun değerini fonksiyonda yerine koymalı ve fonksiyonun karşılık gelen değerini hesaplamalısınız.
2) y fonksiyonu=tg x. Veya y=ctg x.
Bu işlevler monoton olarak artıyor. Bu nedenle, argümanın değeri ne kadar büyükse, fonksiyonun kendisinin değeri de o kadar büyük olur. Ardından, bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin nasıl bulunacağına örneklerle bakacağız.
Ana görev türleri
Görev: işlevin en büyük veya en küçük değeri. Grafikte örnek.
Resimde f (x) fonksiyonunun [-6; 6]. Segmentin hangi noktasında [-3; 3] f(x) en küçük değeri alır mı?
Öyleyse, yeni başlayanlar için belirtilen segmenti seçmelisiniz. Üzerinde, işlev bir kez sıfır değeri alır ve işaretini değiştirir - bu uç noktadır. Negatiften türev pozitif olduğu için, bunun fonksiyonun minimum noktası olduğu anlamına gelir. Bu nokta, 2. argümanının değerine karşılık gelir.
Cevap: 2.
Örneklere bakmaya devam edin. Görev: segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.
y=(x - 8) fonksiyonunun en küçük değerini bulun [6; 8].
1. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alın.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Elde edilen türevi sıfıra eşitleyin ve denklemi çözün.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 veya ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, kök yok
3. Uç noktaların değerini, denklemin elde edilen köklerinin yanı sıra fonksiyonda değiştirin.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Cevap: -1.
Yani, bu makalede, özel matematikte USE görevlerini başarılı bir şekilde çözmek için gerekli olan, bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değerinin nasıl bulunacağına dair ana teori ele alındı. Ayrıca matematiksel unsurlaranaliz, sınavın C bölümündeki görevleri çözerken kullanılır, ancak açıkçası farklı bir karmaşıklık düzeyini temsil ederler ve çözümlerinin algoritmalarını tek bir materyalin çerçevesine sığdırmak zordur.
