Fonksiyon ve özelliklerinin incelenmesi, modern matematiğin en önemli bölümlerinden biridir. Herhangi bir fonksiyonun ana bileşeni, sadece özelliklerini değil, aynı zamanda bu fonksiyonun türevinin parametrelerini de gösteren grafiklerdir. Gelin bu çetrefilli konuya bir göz atalım. Peki bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulmanın en iyi yolu nedir?
İşlev: Tanım
Bir şekilde başka bir değerin değerlerine bağlı olan herhangi bir değişken fonksiyon olarak adlandırılabilir. Örneğin, f(x2) işlevi ikinci derecedendir ve tüm x kümesi için değerleri belirler. Diyelim ki x=9, o zaman fonksiyonumuzun değeri 92=81 olacak.
İşlevler birçok farklı türde gelir: mantıksal, vektör, logaritmik, trigonometrik, sayısal ve diğerleri. Lacroix, Lagrange, Leibniz ve Bernoulli gibi seçkin beyinler çalışmalarına katıldılar. Onların yazıları, işlevleri incelemenin modern yollarında bir siper görevi görür. Minimum noktaları bulmadan önce, fonksiyonun anlamını ve türevini anlamak çok önemlidir.
Türev ve rolü
Tüm işlevlerdeğişken değerlerine bağlıdır, bu da değerlerini istedikleri zaman değiştirebilecekleri anlamına gelir. Grafikte bu, y ekseni boyunca alçalan veya yükselen bir eğri olarak gösterilecektir (bu, grafiğin düşeyindeki "y" sayılarının tamamıdır). Ve böylece bir maksimum ve minimum fonksiyonun bir noktasının tanımı bu "salınımlar" ile bağlantılıdır. Bu ilişkinin ne olduğunu açıklayalım.
Herhangi bir fonksiyonun türevi, ana karakteristiklerini incelemek ve fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini (yani değerini "x" değişkenine bağlı olarak değiştirir) hesaplamak için bir grafik üzerinde çizilir. Fonksiyonun arttığı anda, türevinin grafiği de artacaktır, ancak herhangi bir saniyede fonksiyon azalmaya başlayabilir ve sonra türevin grafiği azalacaktır. Türevin eksiden artıya gittiği noktalara minimum puan denir. Minimum noktaları nasıl bulacağınızı bilmek için türev kavramını daha iyi anlamalısınız.
Türev nasıl hesaplanır?
Bir fonksiyonun türevini tanımlamak ve hesaplamak, diferansiyel hesaptan çeşitli kavramları ima eder. Genel olarak, türevin tanımı şu şekilde ifade edilebilir: bu, fonksiyonun değişim oranını gösteren değerdir.
Birçok öğrenci için bunu belirlemenin matematiksel yolu karmaşık görünüyor, ama aslında her şey çok daha basit. takip etmeniz yeterliherhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için standart plan. Aşağıda, türevlendirme kurallarını uygulamadan ve türev tablosunu ezberlemeden bir fonksiyonun minimum noktasını nasıl bulacağınız anlatılmaktadır.
- Bir fonksiyonun türevini bir grafik kullanarak hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için, fonksiyonun kendisini göstermeniz, ardından üzerinde bir nokta almanız gerekir (Şekilde A noktası) Apsis eksenine dikey olarak bir çizgi çizin (nokta x0) ve A noktasında fonksiyon grafiğine bir teğet çizin. Apsis ekseni ve tanjant bir a açısı oluşturur. Fonksiyonun ne kadar hızlı arttığının değerini hesaplamak için bu açının tanjantını hesaplamanız gerekir a.
- Teğet ile x ekseninin yönü arasındaki açının tanjantının, fonksiyonun A noktalı küçük bir alandaki türevi olduğu ortaya çıktı. Bu yöntem, türevi belirlemenin geometrik bir yolu olarak kabul edilir..
Bir işlevi araştırma yöntemleri
Matematik okul müfredatında bir fonksiyonun minimum noktasını iki şekilde bulmak mümkündür. Grafiği kullanarak ilk yöntemi zaten analiz ettik, ancak türevin sayısal değeri nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, türevin özelliklerini tanımlayan ve "x" gibi değişkenleri sayılara dönüştürmeye yardımcı olan birkaç formül öğrenmeniz gerekecek. Aşağıdaki yöntem evrenseldir, bu nedenle hemen hemen her tür fonksiyona (hem geometrik hem de logaritmik) uygulanabilir.
- Fonksiyonu türev fonksiyona eşitlemek ve ardından kuralları kullanarak ifadeyi sadeleştirmek gerekir.farklılaşma.
- sıfıra böl.
- Bundan sonra, tüm ifadeyi sıfıra eşitleyerek, işlevin orijinal biçimini basit bir denkleme dönüştürmelisiniz. Örneğin, fonksiyon şuna benziyorsa: f(x)=2x3+38x, o zaman türev kurallarına göre türevi f'(x)=3x'e eşittir. 2 +1. Sonra bu ifadeyi aşağıdaki formda bir denkleme dönüştürürüz: 3x2+1=0.
- Denklemi çözdükten ve "x" noktalarını bulduktan sonra, onları x eksenine çizmeli ve işaretli noktalar arasındaki bu alanlardaki türevin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirlemelisiniz. Tanımlamadan sonra, fonksiyonun hangi noktada azalmaya başladığı, yani eksiden tersine işaret değiştirdiği anlaşılacaktır. Hem minimum hem de maksimum noktaları bu şekilde bulabilirsiniz.
Farklılaştırma kuralları
Bir fonksiyonu ve türevini öğrenmenin en temel kısmı türev alma kurallarını bilmektir. Sadece onların yardımıyla hantal ifadeleri ve büyük karmaşık işlevleri dönüştürmek mümkündür. Onları tanıyalım, oldukça fazla var, ancak hem güç hem de logaritmik fonksiyonların düzenli özellikleri nedeniyle hepsi çok basit.
- Herhangi bir sabitin türevi sıfırdır (f(x)=0). Yani, f(x)=x5+ x - 160 türevi aşağıdaki formu alacaktır: f' (x)=5x4+1.
- İki terimin toplamının türevi: (f+w)'=f'w + fw'.
- Bir logaritmik fonksiyonun türevi: (logad)'=d/ln ad. Bu formül her türlü logaritma için geçerlidir.
- Derecenin türevi: (x)'=nxn-1. Örneğin, (9x2)'=92x=18x.
- Sinüsoidal bir fonksiyonun türevi: (sin a)'=cos a. a açısının günahı 0,5 ise türevi √3/2. olur.
Aşırı noktalar
Minimum noktaların nasıl bulunacağını zaten bulduk, ancak bir fonksiyonun maksimum noktaları kavramı var. Minimum, fonksiyonun eksiden artıya gittiği noktaları gösteriyorsa, maksimum noktalar, fonksiyonun türevinin artıdan ters eksiye değiştiği x ekseni üzerindeki noktalardır.
Maksimum noktaları yukarıda açıklanan yöntemi kullanarak bulabilirsiniz, sadece fonksiyonun azalmaya başladığı alanları gösterdiği, yani türevin sıfırdan küçük olacağı dikkate alınmalıdır.
Matematikte, her iki kavramı da "aşırı noktalar" ifadesiyle değiştirerek genelleştirmek gelenekseldir. Görev bu noktaları belirlemek istediğinde bu, bu fonksiyonun türevini hesaplamak ve minimum ve maksimum noktaları bulmak gerektiği anlamına gelir.
