Bir noktadan bir düzleme ve bir noktadan bir doğruya olan mesafeyi belirleme formülleri

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Bir noktadan bir düzleme veya düz bir çizgiye olan mesafeyi bilmek, uzaydaki şekillerin hacmini ve yüzey alanını hesaplamanıza olanak tanır. Geometride bu mesafenin hesaplanması, belirtilen geometrik nesneler için karşılık gelen denklemler kullanılarak gerçekleştirilir. Makalede bunu belirlemek için hangi formüllerin kullanılabileceğini göstereceğiz.

Doğru ve düzlem denklemleri

Bir noktadan bir düzleme ve bir doğruya olan uzaklığı belirlemek için formüller vermeden önce, bu nesneleri hangi denklemlerin tanımladığını gösterelim.

Bir noktayı tanımlamak için, verilen koordinat eksenleri sisteminde bir dizi koordinat kullanılır. Burada sadece eksenlerin aynı birim vektörlere sahip olduğu ve karşılıklı olarak dik olduğu Kartezyen dikdörtgen sistemini ele alacağız. Bir düzlemde, rastgele bir nokta uzayda iki koordinatla tanımlanır - üç ile.

Düz bir çizgiyi tanımlamak için farklı denklem türleri kullanılır. Makalenin konusuna uygun olarak, sunuyoruzçizgileri tanımlamak için iki boyutlu uzayda kullanılan bunlardan sadece ikisi.

Vektör denklemi. Aşağıdaki gösterime sahiptir:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Buradaki ilk terim, doğru üzerinde bulunan bilinen bir noktanın koordinatlarını temsil eder. İkinci terim, keyfi bir λ sayısı ile çarpılan yön vektörü koordinatlarıdır.

Genel denklem. Notasyonu aşağıdaki gibidir:

Ax + By + C=0;

A, B, C bazı katsayılardır.

Genel denklem genellikle bir düzlemdeki çizgileri belirlemek için kullanılır, ancak bir noktanın düzlemdeki bir çizgiye olan uzaklığını bulmak için bir vektör ifadesi ile çalışmak daha uygundur.

Üç boyutlu uzayda bir düzlem birkaç matematiksel yolla da yazılabilir. Bununla birlikte, çoğu zaman problemlerde aşağıdaki gibi yazılan genel bir denklem vardır:

Ax + By + Cz + D=0.

Bu gösterimin diğerlerine göre avantajı, düzleme dik bir vektörün koordinatlarını açıkça içermesidir. Bu vektöre kılavuz denir, normalin yönü ile çakışır ve koordinatları (A; B; C)'ye eşittir.

Yukarıdaki ifadenin iki boyutlu uzayda düz bir doğru için genel bir denklem yazma şekliyle örtüştüğüne dikkat edin, bu yüzden problem çözerken bu geometrik nesneleri karıştırmamaya dikkat etmelisiniz.

Nokta ve çizgi arasındaki mesafe

Düz bir çizgi ile bir çizgi arasındaki mesafenin nasıl hesaplanacağını gösterelim.iki boyutlu uzayda nokta.

Bir Q(x₁; y_{1) noktası ve şu şekilde verilen bir doğru olsun:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Bir doğru ile bir nokta arasındaki uzaklık, bu doğruya dik olan ve Q noktasından aşağıya indirilen doğru parçasının uzunluğu olarak anlaşılır.

Bu mesafeyi hesaplamadan önce, bu denklemde Q koordinatlarını değiştirmelisiniz. Eğer bunu sağlıyorlarsa, Q verilen doğruya aittir ve karşılık gelen mesafe sıfıra eşittir. Noktanın koordinatları eşitliğe yol açmazsa, geometrik nesneler arasındaki mesafe sıfır değildir. Şu formül kullanılarak hesaplanabilir:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Burada P, PQ¯ vektörünün başlangıcı olan düz çizginin keyfi bir noktasıdır. u¯ vektörü düz bir çizgi için bir kılavuz parçadır, yani koordinatları (a; b).

Bu formülü kullanmak, paydaki çapraz çarpımı hesaplayabilmeyi gerektirir.

Nokta ve doğru ile ilgili problem

Diyelim ki Q(-3; 1) ile denklemi sağlayan düz bir çizgi arasındaki mesafeyi bulmanız gerekiyor:

y=5x -2.

Q'nun koordinatlarını ifadede yerine koyarak, Q'nun doğru üzerinde olmadığından emin olabiliriz. Yukarıdaki paragrafta verilen d formülünü bu denklemi vektörel olarak gösteriyorsanız uygulayabilirsiniz. Şöyle yapalım:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Şimdi bu doğru üzerinde herhangi bir noktayı alalım, örneğin (0; -2) ve bu noktadan başlayıp Q ile biten bir vektör oluşturalım:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Şimdi mesafeyi belirlemek için formülü uygulayın, şunu elde ederiz:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Noktadan düzleme olan mesafe

Düz bir çizgi durumunda olduğu gibi, bir düzlem ile uzaydaki bir nokta arasındaki mesafe, verilen bir noktadan düzleme dik olarak indirilen ve onu kesen doğru parçasının uzunluğu olarak anlaşılır.

Uzayda, bir nokta üç koordinatla verilir. (x₁; y₁; z_{1) eşitse, o zaman düzlem ve bu nokta şu formül kullanılarak hesaplanabilir:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Formülü kullanmanın yalnızca düzlemden çizgiye olan mesafeyi bulmanızı sağladığını unutmayın. Bir dik doğru parçasının bir düzlemi kestiği noktanın koordinatlarını bulmak için, bu doğru parçasının ait olduğu doğru için bir denklem yazmak ve sonra bu doğru ve verilen bir düzlem için ortak bir nokta bulmak gerekir.

Bir düzlem ve bir nokta ile ilgili problem

Noktanın (3; -1; 2) koordinatlarına sahip olduğu ve düzlemin şu şekilde verildiği biliniyorsa, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun:

-y + 3z=0.

Karşılık gelen formülü kullanmak için önce katsayıları yazıyoruz.verilen uçak. x değişkeni ve serbest terim bulunmadığından, A ve D katsayıları sıfıra eşittir. Bizde:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Bu düzlemin orijinden geçtiğini ve x ekseninin ona ait olduğunu göstermek kolaydır.

D mesafesi için formülde noktanın koordinatlarını ve düzlemin katsayılarını yerine koyarsak şunu elde ederiz:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Bir noktanın x koordinatını değiştirirseniz, d mesafesinin değişmeyeceğini unutmayın. Bu gerçek, (x; -1; 2) noktalarının verilen düzleme paralel düz bir çizgi oluşturduğu anlamına gelir.